Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

плоская электромагнитная волна

Плоская электромагнитная волна имеет амплитуду электрического вектора Ет = 10 –4 В/м. Найти амплитуду магнитного поля и интенсивность волны.

Плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности электрической составляющей которой равна Е = 200 В/м, падает на расположенный в вакууме шар радиуса R = 50 см. Какая энергия попадает на шар за время t = 1 мин?

На рисунке под номерами 1, 3 указаны векторы скорости v, а под номерами 2, 4 – векторы Умова-Пойнтинга S плоской электромагнитной волны. Векторы E и B волны расположены в плоскости х0z в случаях, приведенных под номерами .
Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Плоская электромагнитная волна, уравнения которой в единицах СИ имеют вид: Е(х,t) = 140 · sin(6·10 6 π·t ? 0,02π·x), H(x,t) = 0,37 sin(6·10 6 π·t – 0,02π·x), распространяется в вакууме. Определить среднюю мощность, проходящую сквозь перпендикулярно расположенную к направлению распространения волны площадку 10 см 2 . При решении задачи следует учесть, что среднее значение квадрата синуса за период равно 0,5.

Плоская электромагнитная волна, интенсивность которой равна 12 Вт/м 2 , распространяется в вакууме. Частота колебаний волны 2·10 6 Гц. Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, произвольно выбрав начальные условия. При решении задачи следует учесть, что среднее значение квадрата синуса (либо косинуса) за период равно 0,5.

Ниже стрелками указаны векторы скорости V и векторы Умова-Пойнтинга S плоской электромагнитной волны. В каких случаях векторы E и B волны расположены в плоскости x0z? Укажите сумму номеров этих диаграмм.
Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Ниже стрелками указаны векторы скорости V, а под номерами 2, 8 — векторы Умова-Пойнтинга S плоской электромагнитной волны. В каких случаях векторы E и B волны расположены в плоскости x0z? Укажите сумму номеров этих диаграмм.
Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Видео:Парадокс электромагнитной волныСкачать

Парадокс электромагнитной волны

Тема 5. волновые уравнения для векторов ЭМП

Однородные и неоднородные волновые уравнения для векторов ЭМП. Уравнения Даламбера. Решение однородных уравнений Даламбера. Сферическая волна. Волновой фронт. Волновые уравнения Гельмгольца.

Плоские волны как частные решения волновых уравнений. Плоская волна как предельный случай сферической волны. Решения волновых уравнений для гармонических полей в виде плоских и сферических волн.

Плоские ЭМВ в однородной изотропной среде. Отличие понятий «волна» и «колебание». Свойства плоской волны, структура и ориентация векторов ЭМП. Коэффициенты фазы и ослабления. Длина волны. Фазовая скорость, скорость распространения энергии, групповая скорость.

Характеристическое и волновое сопротивления. Ослабление ЭМВ, глубина проникновения ЭМП в вещество.

Указания к теме

Решением волновых уравнений являются функции координат и времени, которые описывают ЭМВ, распространяющиеся в свободном пространстве, направляющих системах и других устройствах. Необходимо получить четкое представление о таких понятиях, как фазовая поверхность (волновой фронт) и ее форма, однородная и неоднородная волна, затухающая волна.

Следует выучить определения длины волны, коэффициентов затухания и фазы, групповой и фазовой скоростей, волнового и характеристического сопротивлений, глубины проникновения ЭМВ в вещество.

Основные сведения

Для анализа распространяющихся ЭМВ из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме целесообразно вывести уравнения, которые зависят либо только от Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, либо только от Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. Если параметры среды (s, e, m) не зависят от координат и времени, то после преобразований получим [1–6]

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами; (5.1)

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.2)

Как показали расчеты и эксперименты, константа с ( Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами) для ЭМП удивительным образом совпадает со значением скорости света в вакууме. Из этого был сделан вывод о том, что ЭМВ и свет имеют одну и ту же природу. В пространстве без потерь ЭМВ распространяются со скоростью света.

Уравнения (5.1) и (5.2) называют волновыми уравнениями Ж. Д’Аламбера [5, 12]. Если правая часть равна нулю, то уравнение называют однородным, а если нет – неоднородным. При отсутствии электрических зарядов (r = 0) уравнения (5.1) и (5.2) практически совпадают, что подтверждает равноправие векторов Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиу распространяющегося в пространстве ЭМП.

Несмотря на кажущуюся независимость уравнений (5.1) и (5.2), следует помнить о том, что у переменного ЭМП векторы Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамисвязаны уравнениями Максвелла и не могут существовать друг без друга.

Волновые уравнения в комплексной форме имеют вид

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами; Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, (5.3)

где Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиволновое число:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.4)

Уравнения (5.3) называют волновыми уравнениями Г. Гельмгольца. При отсутствии потерь проводимости (s = 0) исчезают вторые слагаемые в уравнениях (5.1) и (5.2), а также в (5.3)–(5.4) возможно упрощение:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами.

Рассмотренные уравнения называются волновыми потому, что их решениями являются волны и, в частности, ЭМВ.

Фазовым фронтом волны называют поверхность, проходящую через точки с одинаковыми фазами, по форме этой поверхности определяется название волны (сфера – сферическая ЭМВ, плоскость – плоская и т. д.) [1–3].

Решение однородного волнового уравнения для плоских волн

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.5)

Каждое из слагаемых выражения (5.5) описывает возмущения F1 и F2, исходящие из точки z0 в момент t = 0 и к моменту времени t приходящие в точку z = z0 – vt для F1 и в точку z = z0 + vt для F2 со скоростью v [1].

Для сферических волн решение волнового уравнения имеет вид:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.6)

Первое слагаемое выражения (5.6) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от источника. Второе слагаемое часто отбрасывают, поскольку волна, движущаяся внутрь источника, обычно не рассматривается [1].

В отличие от выражения (5.5) амплитуда сферической волны (5.6) уменьшается при удалении от источника как 1/r (мощность – как 1/r 2 ), что связано с тем, что мощность изотропного источника распределяется по расходящимся сферам (4.10).

Таким образом, даже при отсутствии потерь в пространстве плотность потока мощности сферической волны уменьшается с расстоянием как 1/r 2 .

На большом расстоянии от источника ЭМВ (в дальней зоне антенны) сферический волновой фронт в области приемной антенны можно аппроксимировать плоскостью, подобно тому, как земную поверхность считают плоской при малых высотах и на дистанциях, много меньших расстояния прямой видимости.

Плоская ЭМВидеализированная волна, имеющая плоский фазовый фронт (z = const), у которой существуют две взаимно перпендикулярные составляющие Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, зависящие только от координаты z и расположенные в плоскости, перпендикулярной z. ЭМВ называется однородной, если ее амплитуда постоянна во всех точках фазового фронта, и неоднородной, если ее амплитуда зависит от координат точек фазового фронта.

В дальнейшем будем считать, что направление распространения ЭМВ совпадает с осью z. Уравнения Максвелла в комплексной форме для составляющих векторов плоской волны в ДСК имеют вид

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами; Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами; Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами; Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.7)

Из формул (5.7) следует, что Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамивзаимно перпендикулярны. (Это можно доказать, рассмотрев скалярное произведение векторов [11].) В дальнейшем будем обозначать координаты этих векторов Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, подчеркивая их поперечную направленность и расположение в плоскости x0y.

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиЗная Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиили Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, можно легко найти другую поперечную составляющую и перейти к обычным координатам ( Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами).

Вектор Пойнтинга в данном случае имеет только продольную составляющую Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами(рис. 5.1). Решение уравнений (5.3) имеет вид

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.8)

Первое слагаемое выражения (5.8) соответствует прямой волне, второе слагаемое – обратная волна, Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами– комплексные амплитуды данных бегущих волн (для Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами– аналогично). Подставляя выражение (5.8) в (5.7), получим

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.9)

Запишем связь волнового числа ( Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами) с комплексным коэффициентом распространения (g) для среды без магнитных потерь :

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, (5.10)

Уравнение плоской волны с учетом (5.10) можно записать в виде

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.11)

Для мгновенных значений из выражения (5.11) получаем

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.12)

Направление распространения ЭМВ можно определить из анализа зависимости полной фазы (5.12) Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиот времени. Зафиксировав волновой фронт в какой-то момент времени, получаем, что если Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, то в следующий момент времени ЭМВ сместится в положительном направлении оси z, а при Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиволновой фронт будет двигаться в отрицательном направлении оси z(рис. 5.2) [1].

Из анализа формул (5.10)–(5.12) очевидно, что a– это коэффициент затухания, а bкоэффициент фазы.

Подставляя формулу (5.12) в (5.1), после решения уравнений относительно a и b получаем

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, (5.13)

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.14)

Множитель Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамив выражениях (5.10)–(5.12) показывает затухание при распространении ЭМВ вдоль оси z. Чем больше a, тем больше затухание.

Ослаблением (A) ЭМВ по полю называют величину (AP = A 2 ослабление ЭМВ по мощности)

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.15)

На практике часто используют ослабление в децибелах (дБ):

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.16)

С ослаблением непосредственно связана глубина проникновения ЭМП в вещество ( ), называемая также толщиной поверхностного слоя (скин-слоя, но это понятие логичнее использовать для металлов):

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.17)

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиПри прохождении слоя вещества z =D° амплитуда ЭМП ослабляется в е (е = 2,718…) раз, и соответственно в следующий слой (рис. 5.3) проходит лишь 1/е 2 мощности ЭМП. Получается, что в поверхностном слое концентрируется 86,5% энергии ЭМП, в слое 2D°98,2%,а в слое 3D°99,8%.

Таким образом, зная коэффициент затухания, можно определить область преимущественной концентрации энергии ЭМВ в веществе.

В случае диэлектриков толщина поверхностного слоя значительна, в то время как для проводников на ВЧ и ОВЧ она составляет доли миллиметра [1].

Параметры ЭМВ. Длиной волны l называется расстояние между двумя фронтами ЭМВ, различающимися по фазе на 2p (360°):

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.18)

Фазовой скоростью vф называется скорость перемещения фазового (волнового) фронта ЭМВ. При анализе выражения (5.12) ранее были определены направление движения и скорость фронта ЭМВ

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.19)

Фазовая скорость может изменяться в любых пределах (может быть больше с!), поскольку не является скоростью переноса энергии [1].

Групповой скоростью vгр называют скорость движения фронта (например, максимума) огибающеймодулированного сигнала.

Информационный сигнал не является монохроматическим, он занимает полосу частот. Каждая спектральная составляющая может иметь свою скорость распространения, что в диспергирующих средах приводит к искажениям сигнала.

Понятие «групповая скорость» вводится для сред с малыми потерями, поэтому при Dw vф ( Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами>0).

При Dw/w0 ® 0 период огибающей стремится в бесконечность, понятие «группа волн» распространяется на весь сигнал, и в итогеvгр ® vЭ.

Групповая скорость узкополосного сигнала – это скорость передачи энергии, она не может быть выше скорости света.

Характеристическое сопротивление (Zс) [41] ЭМВ равно отношению амплитуд поперечных составляющих электрического и магнитного полей

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.21)

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиПри комплексном Zс Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиотстает или опережает по фазе вектор Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамина некоторый угол. На рис. 5.5 вектор Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиопережает Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамина 90° (π/4), а на рис. 5.1 данные векторы синфазны.

Определим характеристическое сопротивление плоской волны. Пусть Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, а Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, тогда из формул (5.7) следует:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.22)

Получается, что характеристическое сопротивление [41]зависит только от параметров среды. Zв называют волновым сопротивлением среды. Следует отметить, что стандартом [41] рекомендуется термин «характеристическое сопротивление». Для ЭМВ, распространяющейся в некоторой среде, Zc = Zв.

Волновое сопротивление вакуума Z0 (s = 0, e = m = 1) :

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами377,0 Ом. (5.23)

Тогда выражение (5.22) можно записать в виде

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. (5.24)

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 6–7, с. 30–38; 2, с. 50–56; 3, гл. 6–7, с. 27–34; 4, с. 26–33; 5, с. 26–30; 6, с. 116–123, 128–142, 198–205; 7, с. 67–82, 250–259; 8, с. 62–68; 9, с. 69–74; 10, с. 68–73; 11, с. 67–69, 130–139; 12, с. 182–194; 13, с. 140–149, 174–177, 187–190; 15, с. 302–307].

Контрольные вопросы и задания

1. Почему рассматриваемые в этой теме уравнения называются волновыми?

2. Чем волна отличается от колебания?

3. Чем отличаются волновые уравнения Д’Аламбера и Гельмгольца?

4. Следует ли из волновых уравнений независимость электрической и магнитной составляющих ЭМП?

5. Можно ли считать свет ЭМ волной?

6. Какие упрощения возможны в волновых уравнениях для сред без потерь?

7. Можно ли по виду электрической или магнитной составляющей плоской ЭМВ определить расположение другой составляющей ЭМП и направление распространения ЭМВ?

8. При каких условиях волновые уравнения для векторов Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиидентичны?

9. Каково простейшее решение системы уравнений Максвелла?

10. Дайте определение волнового фронта.

11. Почему плотность потока энергии сферической волны уменьшается при удалении от источника даже в пространстве без потерь?

12. Какие упрощения в анализе ЭМП дает понятие «плоская волна»? В каких практических случаях допустимо ЭМВ считать плоской?

13. Чем отличаются однородные и неоднородные плоские волны?

14. Дайте определение коэффициентам затухания и фазы плоской ЭМВ.

15. Чем отличается волновое число k от g ?

16. Какова пространственная структура плоской ЭМВ?

17. Как определить направление распространения ЭМВ?

18. Как с помощью понятия толщины поверхностного слоя можно оценить область преимущественной концентрации ЭМП?

19. Дайте определение основным характеристикам ЭМВ.

20. Чем групповая скорость отличается от фазовой?

21. Может ли фазовая скорость иметь бесконечное значение?

22. Чем волновое сопротивление отличается от характеристического?

23. Является ли групповая скорость скоростью передачи энергии?

24. Что такое дисперсия? Приведите примеры дисперсионных сред.

25. Укажите условие неискаженной передачи сигнала.

26. Чем нормальная дисперсия отличается от аномальной?

Видео:4.9 Поляризация электромагнитных волнСкачать

4.9 Поляризация электромагнитных волн

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды (Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами) и токи (j = 0):

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Величины Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами— электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Постоянные Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамихарактеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиэлектромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами.

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

где Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами— введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Получаем в итоге:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

и вводя показатель преломления среды

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где vфазовая скорость света в среде:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Полученные волновые уравнения для Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиозначают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

В отсутствие среды (при Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Далее, ни у Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, ни у Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентаминет компонент параллельных оси х:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамибыл направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Отсюда следует, что вектор Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентаминаправлен вдоль оси z:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

а также связь амплитуд колебаний полей:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Подставим эти выражения в выражение для фазы Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, чтобы получить фазу Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиволны в движущейся системе отсчета:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Это выражение можно записать как

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

где Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами— циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Для электромагнитной волны в вакууме

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамис осью х:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Если Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами, то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E0 вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H0 и вектора магнитной индукции B0 в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамиплощадка получила от волны энергию Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами. Тогда переданный площадке импульс равен

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

На площадку действует со стороны волны сила

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Давление Р, оказываемое волной, равно

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамипопадет энергия из объема Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентамии

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Определить уравнение электромагнитной волны с числовыми коэффициентами

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

🎥 Видео

Раскрытие тайн электромагнитной волныСкачать

Раскрытие тайн электромагнитной волны

Электромагнитные волны и уравнения Максвелла — Эмиль АхмедовСкачать

Электромагнитные волны и уравнения Максвелла — Эмиль Ахмедов

Энергия электромагнитных волн. 11 класс.Скачать

Энергия электромагнитных волн. 11 класс.

Опыты по физике. Преломление электромагнитной волны в треугольной призмеСкачать

Опыты по физике. Преломление электромагнитной волны в треугольной призме

4.8 Плотность потока мощности электромагнитной волныСкачать

4.8 Плотность потока мощности электромагнитной волны

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.

Урок №45. Электромагнитные волны. Радиоволны.Скачать

Урок №45. Электромагнитные волны. Радиоволны.

Билеты № 35, 39 "Плоская волна, ее отражение. Давление излучения"Скачать

Билеты № 35, 39 "Плоская волна, ее отражение. Давление излучения"

Электромагнитные волны | Физика 9 класс #44 | ИнфоурокСкачать

Электромагнитные волны | Физика 9 класс #44 | Инфоурок

5.4.Электромагнитные волны и их свойства.Скачать

5.4.Электромагнитные волны и их свойства.

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******Скачать

*** Лекция. Волновое уравнение электромагнитной волны ******

Электромагнитное поле. Видеоурок по физике 11 классСкачать

Электромагнитное поле. Видеоурок по физике 11 класс

Урок 384. Излучение электромагнитных волн.Скачать

Урок 384. Излучение электромагнитных волн.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫСкачать

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

Электромагнитные волны. Шкала электромагнитных волн. Практическая часть - решение задачи. 9 класс.Скачать

Электромагнитные волны. Шкала электромагнитных волн. Практическая часть - решение задачи. 9 класс.

Что такое электромагнитная волна | Физика 11 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Что такое электромагнитная волна | Физика 11 класс #19 | Инфоурок

Физика 11 класс (Урок№10 - Электромагнитные волны.)Скачать

Физика 11 класс (Урок№10 - Электромагнитные волны.)
Поделиться или сохранить к себе: