Определить и построить на комплексной плоскости семейства линий заданных уравнениями (4 видео)

Электронная библиотека

Областью в комплексной плоскости называется множество D точек этой плоскости, обладающее свойствами:

1) открытости – вместе с точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малая окрестность с центром в этой точке;

2) связности – любые две точки D можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек D.

Примером области могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под e-окрестностью точки z₀ понимают открытый круг радиуса e с центром в этой точке: |z – z₀| 2 + (y – 1) 2 = e 2 – окружность радиуса e с центром в точке х = 0, у = 1 комплексной плоскости.

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Область с присоединенной к ней границей называют замкнутой и обозначают D. Будем в дальнейшем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов (дуг) и точек. Линии и разрезы, входящие в состав границы будем предполагать всегда кусочно-гладкими.

Область называется односвязной, если граница состоит из одной связной линии. Область называется многосвязной, если граница области состоит из нескольких связных частей, например: двухсвязной, трехсвязной и т.д. – по числу не связных между собой частей границы. На рис. 2.2,б – пример двухсвязной области.

Обход односвязной области считается положительным, если она остается по левую руку (контур обходится против хода часовой стрелки). На рис. 2.2,б сделан разрез l, а обход области изображен положительным (область в результате разреза стала односвязной).

Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или неограниченной, односвязной или многосвязной.

а) поэтому получим: . Область (рис. 2.3) – замкнутая, ограниченная, односвязная.

б) и – лучи, выходящие из начала координат (рис. 2.4). Все точки, удовлетворяющие неравенству б) лежат внутри угла, образованного этими лучами, и на сторонах этого угла. Следовательно, область замкнутая, неограниченная, односвязная.

Видео:Построение областей по заданным условиямСкачать

Неравенство означает, что расстояние каждой точки z от точки больше 1, но меньше 2. Поэтому областью есть кольцо (его внутренность), ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке . Область – открытая, ограниченная, двухсвязная (рис. 2.5).

г) Неравенство равносильно или

или, возведя в квадрат обе части, получим:

х 2 + у 2 – 2у + 1 2 + у 2 + 2у + 1.

Отсюда: – верхняя полуплоскость (рис.

Вывод: область у>0 – открытая, неограниченная, односвязная (рис. 2.4).

Видео:Линии и области на комплексной плоскостиСкачать

Определение. Кривая называется непрерывной, если она может быть задана параметрическими уравнениями:

в которых – непрерывные функции на отрезке .

Например, окружность ; дуга окружности

; дуга параболы – непрерывные кривые; гипербола не является непрерывной, так как функции эти при и имеют точки разрыва.

С помощью комплексного переменного параметрические уравнения кривой (2.18) можно записать в виде одного уравнения:

Например, уравнение эллипса с полуосями a и b можно записать:

Видео:Кольцо на комплексной плоскостиСкачать

уравнение окружности радиуса R

уравнение окружности с центром в точке запишется так:

Задачи для упражнений

1) Построить в комплексной плоскости линии, точки которых удовлетворяют уравнениям:

а) б) в) г) д) е) ж) ; з)

2) Построить на комплексной плоскости z области, заданные условиями:

Видео:Множества на комплексной плоскости. Связное множество. Односвязная область. Граница. Круг сходимостиСкачать

Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или нет, односвязной или многосвязной.

3) Какие кривые определяются следующими уравнениями:

Ответы: а) б) в) г) д)

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

как построить и описать линию в комплексной плоскости z=3cost+2i*sint?

Помогите, пожалуйста, выполнить задание по математике. как построить и описать линию в комплексной плоскости z=3*cost+2*i*sint?

Видео:Решение уравнений на комплексной плоскостиСкачать

x= 3* cos(t); y= 2*sin(t);
Параметрическое задание …

Вычисляем x = 3*сos(t)
Вычисляем y = j2*sin(t)
Координаты точки (x, y), по оси абсцисс Re, по ординатам Im. Проводим прямую из нуля в данную точку. Всё.
—
КЧ