Рассмотрим задачи на нахождение областей в комплексной плоскости, заданных неравенствами. Чтобы решить данные неравенства с комплексными числами, вначале необходимо перейти к декартовым координатам, т.е. перейти к действительному представлению.
Чтобы представить комплексное число в действительной форме, нужно заменить комплексную переменную z действительными переменными x и y, а именно z = x + iy, где
x = Re(z), y = Im(z).
Пример 1. Найти на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству
Видео:Построение областей по заданным условиямСкачать
Определить и построить множество точек удовлетворяющих данным уравнениям или неравенствам
Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .
Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что
x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .
Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.
т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).
Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.
Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что
Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.
Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .
Видео:Изображение множества точек на координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению.Скачать
Множество точек на плоскости
Пример №1 . Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от точек A(1;2) и B(-2;0).
Решение
Пусть точка М принадлежит искомому множеству точек, тогда МА=МВ. Так как
то
После возведения левой и правой частей в квадрат и упрощений получим:
(x-1) 2 + (y-2) 2 = (x + 2) 2 + y 2
x 2 — 2x + 1 + y 2 — 4y + 4 = x 2 + 4x + 4 + y 2
или
— 6x — 4y + 1 = 0
Ответ: — 6x — 4y + 1 = 0.
Пример №2 .
Составить уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки A(1;-2) и от прямой x=1 равно 1 /2.
Решение
Из условия следует, что для любой точки M(x;y) искомого множества справедливо соотношение MA:MB = 1 /2. Так как:
то
или
Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, получим:
4(x — 1) 2 + 4(y + 2) 2 = |x — 1| 2
т.е.
4(x 2 — 2x + 1) + 4(y 2 + 4y + 4) = x 2 — 2x + 1
или
3x 2 + 4y 2 — 6x +16y +19 = 0
Ответ: 3x 2 + 4y 2 — 6x +16y +19 = 0.
Пример №3 . Составить уравнение линий, если расстояние каждой ее точки А(2,0) относится к расстоянию до прямой 5x+8=0 как 5:4 .
Решение. Выражаем x = -8/5. λ=5/4. Подставляем данные в задание №2.
Пример №4 . Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой x+6=0 и от начала координат.
Примечание. Здесь x=-6 , λ=1.
🎥 Видео
Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать
Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать
Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать
Как найти множество точек комплексной плоскости?Скачать
Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Решение системы неравенствСкачать
Линии и области на комплексной плоскостиСкачать
Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнениюСкачать
Как изобразить множество решений системы неравенствСкачать
Решение неравенства методом интерваловСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать
Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать
Системы неравенств с двумя переменными. Алгебра, 9 классСкачать
Неравенства с двумя переменными. 9 класс.Скачать