Олимпиады по математике 9 класс с ответами уравнения (8 видео)

Олимпиадные задания по математике для 9 класса
с решением и ответами

Олимпиадные задачи по математике 9 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания — задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Содержание

Олимпиадные задания с решением. 9 класс. Вариант 2.
Олимпиада по математике 9 класс
Олимпиада по математике 9 класс
Олимпиада по математике 9 класс
Олимпиадные задания с решениями по математике (9 класс)
💡 Видео

Видео:Как решать олимпиадные задачи?Скачать

Олимпиадные задания с решением. 9 класс. Вариант 2.

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.
Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой.
Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д.,
причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде,
из которого вода отливается.
Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решите неравенство :

Решите уравнение : x 2 + 2005x – 2006 = 0.

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.
Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку,
если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC.
Тогда очевидно, что ?АСМ — равносторонний.
Но это значит, что угол АОD и угол ВОС — тоже равносторонние.
Отсюда непосредственно следует, что угол АОВ = угол СОD,
откуда имеем, что AB = CD.

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить,
что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды.
Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером.
Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л,
то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть,
так что в первом сосуде оказывается — 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л).
При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается
(k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л).
Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.

Заметим, что все решения исходного неравенства существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x 2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1.
Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x₁x₂ = -2006 и x₁ = 1, то x₂ = 2006.

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов,
то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка.
Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26.
Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Олимпиадные задания по математике 9 класс.

Варианты заданий с решением и ответами : 1 вариант | 2 вариант | 3 вариант

Видео:Математика | Разбор заданий Школьного этапа ВсОШ | 9 класс | ШЭ 2020/2021Скачать

Олимпиада по математике 9 класс

Видео:9 класс. Алгебра. Олимпиадные задания.Скачать

Олимпиада по математике 9 класс

Олимпиадные задания по математике 9 класс

Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: Корень 49 = 4 + Корень 9.
Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.

ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. угол А=27°.
Точка D симметрична точке В относительно А.
Чему равен угол BCD?

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

Про числа a и b известно, что a = b+ 1. Может ли оказаться так, что a 4 = b 4 ?

Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

Найти все решения уравнения |х 2 – 4| + |х 2 – 9| = 5.

Баба Яга и Кащей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кащея. Когда Баба Яга отдала Кащею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кащея. Доказать, что сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.

Пусть Р и Q — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD, М и N — середины диагоналей АС и BD. Докажите, что если прямые MN и PQ перпендикулярны, то ВС = AD.

Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Доказать, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.

Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой — за 6 часов. Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней производительности первых двух.

Ответы и решения

Видео:Олимпиадная задача, которую смогли решить единицыСкачать

Олимпиада по математике 9 класс

Олимпиада по математике

Формулы по математике

Олимпиады по математике 9 класс с ответами уравнения

Модуль, степень, корень

Логарифмы, прогрессия

Тригонометрия

Геометрические фигуры

Треугольник, призма,
четырехугольник, окружность

Пирамида, конус, цилиндр, сфера, шар

Множители и приставки

Видео:Подготовка к Всероссийской олимпиаде по математике. Тренировочная олимпиада. 9 классСкачать

Олимпиадные задания с решениями по математике (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Школьный этап олимпиады по математике

для учащихся 9 класса

1.Докажите, что значение выражения + есть число рациональное.

2.На пост мера города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова – в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя? (4балла)

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану? (5 баллов)

4.В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени? (щука может быть в некоторый момент сытой, но потом голодной). (6 баллов)

5.Пусть х и у – такие целые числа, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что
43х + 75у тоже делится на 19. (6 баллов)

1.Докажите, что значение выражения + есть число рациональное.

Решение : + = = — .

Решение : за Андреева было отдано х голосов; за Васильева было отдано 1,5х голосов; за Борисова было отдано 4 2,5х =10х голосов. Победитель – Борисов. Всего проголосовало х+1,5х +10х =12,5х человек. 12,5х – 100%; 10х – а% ; а =

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?
Ответ: 9:8, считая от основания.
Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольникаАВС равна 5 см. Кроме этого , и . Отсюда: . Отсюда . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что .
4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)
Ответ. 9 щук.
Решение. 10 сытых щук быть не может, так как каждая из них съест хотя бы по три щуки и еще последняя останется живой. То есть щук было хотя бы 31. Пример на 9 щук строится просто: первая съела три других, следующая съела ее и две других, и т. д.

5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.
Доказательство. Попробуем представить Отсюда:

Отсюда ,

1. Докажите, что , если .

Доказательство. Первое решение. Если , то условие имеет вид , что не верно. Следовательно, если и требуемое неравенство выполняется. Пусть . Рассмотрим квадратичную функцию . Поскольку , и, по условию, , то в точках +1 и -1 функция принимает значения разного знака и отлична от нуля. Это означает, что квадратичная функция имеет два корня, необходимым и достаточным условием которого является положительность дискриминанта, то есть , откуда и следует требуемое неравенство.

Второе решение . Из условия имеем

. Или . Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом , откуда .

2. В десятичной записи некоторого натурального числа переставили цифры и получили число в три раза меньшее. Доказать, что исходное число делится на 27.

Доказательство. Пусть a – исходное число, а число b получено из a после перестановки некоторых цифр. По условию , то есть число a делится на 3. Так как сумма цифр у чисел a и b одинакова, то, по признаку делимости на 3, число b тоже делится на 3. Далее, раз число b делится на 3, а число a = 3 b , то a делится на 9. Теперь согласно признаку делимости на 9, число b тоже делится на 9, а значит, число a делится на 27.

Примечание. Доказано, что число a делится на 9, – 3 балла.

3. В окружность радиуса 1 вписан правильный 2012-угольник. Найти сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого многоугольника.

Решение. Так как число вершин правильного 2012-угольника четно, то они разбиваются на 1006 пар диаметрально противоположных вершин. Пусть AB некоторый диаметр, а M – произвольная точка окружности. Если M совпадает с одной из вершин A или B , то . Если точка M отлична и от A и от B , то треугольник MAB прямоугольный (угол AMB – вписанный и опирается на диаметр) с гипотенузой AB = 2. Тогда, по теореме Пифагора, . Следовательно, независимо от выбора точки M , сумма квадратов расстояний от нее до вершин каждой пары диаметрально противоположных вершин постоянна и равна 4. Следовательно, сумма квадратов расстояний от точки M до вершин правильного 2012-угольника будет равна .

Примечание. Если не рассмотрен случай совпадения точки с вершиной многоугольника – минус 1 балл.

4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии.

Решение. Обозначим через — первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По условию задачи , то есть справедливо равенство , из которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим .

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.

5. В шахматном однокруговом турнире, где каждый участник играет с каждым другим один раз, участвовало два девятиклассника и некоторое число десятиклассников. Два девятиклассника вместе набрали 8 очков, а каждый десятиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько десятиклассников участвовало в турнире? (За победу в шахматной партии дается одно очко, за ничью – пол очка, за поражение – ноль очков).

Решение . Пусть в турнире участвовало n десятиклассников. Так как в каждой партии всего разыгрывается одно очко, то девятиклассники в игре между собой вместе набрали 1 очко, и, следовательно, 7 очков набрали в играх с десятиклассниками. Тогда все десятиклассники суммарно набрали очков в играх между собой и 2 n – 7 очков в играх с двумя девятиклассниками. По условию, все десятиклассники набрали одинаковое число очков, то есть, число кратно n . Последнее означает, что число целое. Если n нечетно, то ( n – 1) – четно, и, следовательно, n делит 7, то есть n = 1 или n = 7. Значение n = 1 не подходит, так как общее число набранных очков десятиклассниками будет отрицательно. Пусть n четно, то есть n = 2к. Тогда = . Следовательно, целое, а значит , откуда k = 1 или k = 7. Действительно, при k > 7 , а значения k проверяются непосредственно. Значение k = 1 не подходит по тем же причинам, что и в первом случае. Таким образом, для n имеем два значения: 7 и 14. Проверкой легко убедиться, что оба значения подходят.

Примечание. Получен один ответ – 5 баллов.

5.Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24

1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255

угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5

АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R

BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R

AC = R x 2 x sin 127,5 =1,5866 R

Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате

1. Так как , то графиком функции будет синусоида с выколотыми точками .

2. Воспользуемся формулами для синуса двойного угла:

,тогда получим уравнение Далее используем формулу синуса суммы для sin 12 x = sin (8 x +4 x ) и получаем, что sin 8 x cos 4 x =0, откуда sin 8 x =0 или cos 4 x =0. Решением совокупности этих уравнений будет . В итоге получим .

3. Выделим полный квадрат: . Но первое слагаемое при любых значениях х неотрицательно, а второе слагаемое строго больше нуля, поскольку дискриминант отрицательный, следовательно, данное выражение всегда положительно. Значит, данное неравенство решений не имеет.

4. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (2 x +2 y +2 z )( x + y + z )=288,из которого найдем х+ y + z =-12. Получим в первом случае х=2, y =4, z =6; а во втором случае х=-2, y =-4, z =-6.

5.Треугольник АВС, сумма частей окружности = 2+5+17=24

1 часть = 360/24 = 15, дуга АВ = 2 х 15 =30, дуга ВС = 5 х 15 = 75. дуга АС=17 х 15 =255

угол С =1/2 дуги АВ =30/2=15, угол А=1/2 дугиВС = 75/2=37,5, угол В=1/2 дуги АС= 255/2= 127,5

АВ = R x 2 x sin15 = 0,5176R

BC = R x 2 x sin37,5 =1,2176R

AC = R x 2 x sin127,5 =1,5866R

Площадь = 1/2АС х ВС х sin15 = 1/2 х 1,5866R x 1,2176R x 0,2588 = 0,25R в квадрате