Задача 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?
Решение. Пусть х — количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Ответ: (3; 3).
Уравнения, вида ах+bу=с, называются диофантовыми, по имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского. Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет, проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Сколько же лет прожил Диофант Александрийский?
Задача 2. На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не вскрывая ящики? (метод прямого перебора)
Разберем метод решения относительно одного неизвестного.
Задача 3. В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?
Решение. Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами,
у – количество страниц с шестью картинами,
тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. В нашем случае это 4х, то есть:
Делим все уравнение на этот коэффициент:
Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.
Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 — Не походит, решение не в целых числах.
Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.
Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 — Не походит, решение не в целых числах.
Итак, частным решением является пара (21;2), а это значит, что на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин.
Разберем метод решения с использованием алгоритма Евклида.
Задача 4. В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?
Решение. Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке,
у – количество плиток горького шоколада в одной коробке,
тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.
Разберем метод поиска частного решения и общей формулы решений.
Задача 5. В африканском племени Тумбе-Юмбе два аборигена Тумба и Юмба работают парикмахерами, причем Тумба всегда заплетает своим клиентам по 7 косичек, а Юмба по 4 косички. Сколько клиентов обслужили мастера по отдельности за смену, если известно, что вместе они заплели 53 косички?
Решение. Пусть х – количество клиентов Тумбы,
у – количество клиентов Юмбы,
Теперь чтобы найти частные решения уравнения ( , ), заменим данную нам сумму чисел на 1. Это заметно упростит поиск подходящих чисел. Получим:
Решим это уравнение методом подстановки.
Остатки при делении на 4: 1, 2, 3. Подставим вместо х эти числа:
Если х=1, то у=(1-7):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.
Если х=2, то у=(1-7∙2):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.
Если х=3, то у=(1-7∙3):4=-5 – подходит.
Затем умножим получившиеся значения на начальное значение суммы, которую мы заменяли на 1, т.е.
Мы нашли частное решение уравнения(1). Проверим его, подставив начальное уравнение:
Ответ сошелся. Если бы, мы решали абстрактное уравнение, то можно было бы на этом остановиться. Однако мы решаем задачу, а поскольку Тумба не мог заплести отрицательное число косичек, нам необходимо продолжать решение. Теперь составим формулы для общего решения. Чтобы это сделать вычтем из начального уравнения(1) уравнение с подставленными значениями (3). Получим:
Вынесем общие множители за скобки:
Перенесем одно из слагаемых из одной части уравнения в другую:
Теперь стало видно, что чтобы уравнение решалось (х-159) должно делиться на -4, а (у+265) должно делиться на 7. Введем переменную n, которая будет отображать это наше наблюдение:
Перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую:
Мы получили общее решение данного уравнения, теперь в него можно подставлять различные числа и получать соответствующие ответы.
Например, пусть n=39, тогда
А это значит, что Тумба заплел косички 3 клиентам, а Юмба 8 клиентам.
Решите задачи различными методами.
Задача 6: Вовочка купил ручки по 8 рублей и карандаши по 5 рублей. Причем за все карандаши он заплатил на 19 рублей больше, чем за все ручки. Сколько ручек и сколько карандашей купил Вовочка? (метод поиска общего решения, решение относительно одного не известного, использование алгоритма Евклида).
Задача 7. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?
Задача 8.(муниципальный тур ВОШ 2014-2015 г.) : на планете С в ходу два вида монет: по 16 тугриков и по 27 тугриков. Можно ли с их помощью купить товар, ценой в 1 тугрик?
Задача 9. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если в какие-то ночи она будет рассказывать по 3 сказки, а в какие-то по 5? За сколько ночей Шехерезада расскажет все свои сказки, если хочет сделать это как можно быстрее? Сколько ночей понадобится Шехерезаде, если ей утомительно рассказывать по пять сказок за ночь, поэтому таких ночей должно быть как можно меньше?
Задача10. (вспомним «Водолея») Как налить 3 литра воды, имея 9-литровую и 5-литровую емкости?
Задача 11. Вовочка отлично успевает по математике. В дневнике у него только пятерки и четверки, причем пятерок больше. Сумма всех Вовочкиных оценок по математике равна 47. Сколько Вовочка получил пятерок и сколько четверок?
Задача 12. Кощей Бессмертный устроил питомник по разведению Змеев Горынычей. В последнем выводке у него есть Змеи о 17-ти головах и о 19-ти головах. Всего этот выводок насчитывает 339 голов. Сколько 17-тиголовых и сколько 19-тиголовых Змеев вывелось у Кощея?
Ответы: Диофант прожил 84 года;
задача 2: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг;
задача 6: куплено 7 карандашей и 8 ручек, то есть (7,2) – частное решение и у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где nє Z – общее решение;
задача 7: (-53; 106) – частное решение, х=4n-53, у=-7n+106 – общие решения, при n=14, х=3, у=8, то есть куплено 3фломастера и 8 карандашей;
задача 8: например, заплатить 3 монеты по 27 тугриков и получить сдачу 5 монет по 16 тугриков;
задача 9: (2002; -1001) – частное решение, х=-5 n+2002, у=3n-1001 – общее решение, при n=350, у=49, х=252, то есть 252 ночи по 3 сказки и 49 ночей по 5 сказок — всего 301 ночь; самый быстрый вариант: 2 ночи по три сказки и 199 ночей по 5 сказок — всего 201 ночь; самый долгий вариант: 332 ночи по 3 сказки и 1 ночь 5 сказок — всего 333 ночи.
задача 10: например, 2 раза налить воду 9-тилитровой банкой и 3 раза вычерпать ее 5-тилитровой банкой;
задача 11: Вовочка получил 7 пятерок и 4 четверки;
задача 12: 11 Змеев о 17-ти головах и 8 Змеев о 19-ти головах.
Ш ехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей.
Сказочнице, очевидно, потребуется x+y ночей, где x и y – натуральные корни диофантова уравнения 3х+5у=1001.
Решим это уравнение различными способами.
С помощью алгоритма Евклида
НОД(3,5)=1, уравнение имеет целые решения.
Получаем, что всего 67 целых значений переменной t содержится в указанном промежутке.
Например, при t= –335, получим
у = -1001 +1005 =4; x =2002 – 1675 = 327, т. е. решение (327; 4).
Способ с использованием цепной дроби.
Обратимся к уравнению 3х + 5у = 1001.
Представим дробь 3/5 в виде конечной цепной дроби.
Запишем дробь в виде цепной дроби 3/5=[0;1, 1, 2]
Составим таблицу
Запишем общее решение уравнения:
Получили решение того же вида. С учетом условия, что корни уравнения натуральные, имеем те же значения для переменной t, что и в первом случае. Так, при t= – 334 получается пара (332; 1).
Замечание. Можно усложнить задачу дополнительными вопросами.
Если бы Шехерезада хотела бы распределить свою 1001 сказку между как можно большим числом ночей, то какой вариант она должна выбрать?
Какой вариант позволит Шехерезаде сократить свой срок работы до минимума?
Требованию (1) удовлетворяет max (x +y) – наибольшая из сумм пар корней уравнения. Имеем x + у = 2002 +5t – 1001 – 3t= 1001+2t .
Очевидно, max (x +y) достигается при t = –334 . Итак, Шехерезада расскажет свои сказки самое большее за 333 ночи, если 332 ночи будет рассказывать по 3 сказки и только одну ночь – 5 сказок.
Ответу на второй вопрос соответствует вариант, когда t = –400 , то есть решением уравнения будет пара (2; 199). Шехерезада будет рассказывать 2 ночи по 3 сказки и 199 ночей по 5 сказок, тем самым, сократив срок своей «работы» до 201 ночи.
Способ измельчения (рассеивания).
На занятии также можно рассмотреть решение данной задачи «методом измельчения». Обратимся к уравнению 3х + 5у = 1001.
Перепишем его иначе: x = – y + и обозначим x l = у + x
В результате уравнение примет вид 3х 1 = 1001 – 2у или
Если вновь произвести замену у 1 = у + х 1 , то придем к уравнению
x 1 + 2у 1 = 1001 . Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились.
Здесь коэффициент при x 1 , равен 1, а поэтому при любом целом у 1 = t число х 1 тоже целое. Остается выразить исходные переменные через t:
х 1 = 1001 – 2 t , следовательно, у = – 1001 + 3 t , а x = 2002 – 5 t. Итак, получаем бесконечную последовательность ( 2002 – 5 t , – 1001 + 3 t ) целочисленных решений . Внешний вид формул для нахождения значений переменных отличается от решений, полученных ранее, но с учетом условия задачи, корни получаются те же самые. Так, пара (332;1) получается при t = =334.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Диофантовы уравнения и методы их решения.
Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решение диофантовых уравнений(ДУ). Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме.
Презентация урока «Диофантовы уравнения» в 8 классе
Презентация предназначена для класса с углублённым изучением математики.
Презентация урока «Диофантовы уравнения» в 8 классе
Презентация предназначена для класса с углублённым изучением математики.
Об одном нелинейном диофантовом уравнении
Эта работа посвящена исследованию диофантова уравнения вида axy+bx+cy=d. Показана возможность численного решения задачи. В работе строго обосновывается алгоритм решения задачи. Разработана компьютерна.
Элементарные методы решения диофантовых уравнений на факультативных занятиях в старших классах
Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решение диофантовых уравнений (неопределённых уравнений). В работе была сделана попытка систематизировать методы решения и.
Методическое разработка занятия математического кружка для учащихся 8 класса «Диофантовы уравнения» Автор: Жукова Надежда Владимировна, учитель математики высшей квалификационной категории
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой .
Статья: Диофант. Диофантовы уравнения на занятиях математики в техникуме
Одной из проблем образования на современном этапе является решение уравнений в целых и рациональных числах т.е. «Диофантовых уравнений», они стали одним из источников .
Видео:#86. Делимость и диофантовы уравнения! ТРУДНАЯ ЗАДАЧА!Скачать
Элективный курс по математике на тему «Применение диофантовых уравнений при решении олимпиадных задач» (11 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Разработка элективного курса по теме
«Методы решений диофантовых уравнений» для 8 – 11 классов
Автор: студентка факультета физико–математического и технологического образования, гр. МИ14–1, Юдакова Е. А.
В предложенном элективном курсе освещаются вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой и высших степеней в целых (натуральных) числах. Работа с учащимися на занятиях данного курса требует базового уровня знаний и умений по программе школьного курса математики, а также умения выполнять операции над числами. Особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости во множестве целых чисел.
Вопрос о нахождении целых (натуральных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические задачи сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными, эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад. Знание общих методов решения таких уравнений, названных в математике диофантовыми, существенно расширяет математический кругозор учащихся, позволяет им осознать необходимость изучения математики, а как следствие ориентирует их на выбор математического (или естественно-научного) профиля в старших классах средней школы.
Элективный курс предназначен для учащихся 8 – 11 классов и разбит на два блока.
Первый блок посещают учащиеся 8 – 9 классов, а второй учащиеся 10 – 11 классов.
В 8 – 9 классах занятия проводятся раз в две недели по 1 часу, в 10 – 11 – раз в неделю по 1 часу.
Цель изучения курса : расширение и систематизация знаний по теме
«Решение диофантовых уравнений».
· познакомить учащихся с понятием диофантова уравнения и с историей его появления в математической науке;
· научить решать диофантовы уравнения с двумя переменными различными способами;
· научить решать текстовые задачи, описывающие реальные (практические) ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения или их системы.
· воспитание интереса к математике, стремления использовать полученные знания в междисциплинарных областях;
· воспитание информационной культуры учащихся. Развивающие:
· развивать познавательный интерес к нестандартным и усложненным задачам, содержание которых выходит за пределы учебника;
· развитие логического мышления и умения находить нестандартный способ решения, алгоритмической культуры и интуиции;
· развить навыки самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения ставить, формулировать и решать проблемы.
Основные организационные формы реализации предлагаемой программы
— лекционные, практические и семинарские занятия.
Методы обучения, применяемые в процессе проведения занятий — школьная лекция, рассказ, беседа, метод упражнений.
Формы обучения имеют как фронтальный, так и групповой, и индивидуальный характер.
1. Кто же такой Диофант? История развития теории диофантовых уравнений.
2. Определение диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными. Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов. Решение текстовых задач.
3. Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. Актуализация знаний по теме «Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида». Решение задач.
4. Применение метода разложения на множители при решении диофантовых уравнений первой и высших степеней. Решение задач.
5. Применение арифметики остатка при нахождении целых решений диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными. Решение задач.
1. Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений. Алгоритм решения диофантова уравнения методом измельчения коэффициентов. Решение уравнений. Решение текстовых задач.
2. Нахождение решения диофантовых уравнений с помощью цепных дробей. Введение понятия цепной дроби. Алгоритм получения цепной дроби. Формулы целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения цепных дробей.
3. Применение метода оценки при решении диофантовых уравнений. Сущность метода. Решение уравнений
4. Решение диофантова уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных.
5. Решение диофантовых уравнений различными способами.
6. Решение задач, сводимых к диофантовым уравнениям или их системам.
Тематическое планирование занятий элективного курса
Кто же такой Диофант?
Решение диофантовых уравнений
способом перебора вариантов.
Применение метода разложения на множители при решении диофантовых уравнений первой и
Решение диофантовых уравнений
с использованием алгоритма Евклида.
Применение арифметики остатка при нахождении целых решений диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными.
Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых
Решение диофантовых уравнений
с использованием цепных дробей.
Применение метода оценки при
решении диофантовых уравнений.
Решение диофантова уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной
Решение диофантовых уравнений
Решение задач, сводимых к
диофантовым уравнениям или их системам.
Данная программа рассчитана для учащихся 8 – 9 классов на 13 часов,
10 – 11 классов на 20 часов. Большую часть курса занимают занятия практического характера. Общее содержание описанного курса для учащихся является новым.
А для решения диофантовых уравнений высших степеней существуют другие методы, а именно: применение метода разложения на множители, метод оценки, решение уравнения с двумя переменными как квадратного относительно одной из переменных.
Изучив контрольно – измерительные материалы ЕГЭ по математике, сборники заданий для подготовки к экзамену следующих авторов: Л. Д. Лаппо, А. Я. Савельев, Ю. В. Садовничий, А. В. Шевкин, И. В. Ященко и др., мы обнаружили, что уравнения в целых числах часто встречаются в заданиях ЕГЭ, при решении которых учащимся необходимо показать полноту своих знаний и умение применять на практике теорию по теме «Диофантовы уравнения». Также, задания, сводящиеся к решению неопределенных уравнений, часто встречаются на различных школьных олимпиадах по математике.
Следует отметить, что исследование алгоритмов решения диофантовых уравнений может помочь при решении такого рода заданий, которые оцениваются в значительное количество баллов.
В связи с тем, что многие практические задачи сводятся к решению уравнений с двумя переменными, а диофантовы уравнения и методы их решения не изучаются в школьном курсе математики, поэтому нами был разработан элективный курс «Диофантовы уравнения» для учащихся 8 – 9 и 10 – 11 классов. Цель курса – расширение и систематизация знаний по теме «Решение диофантовых уравнений». Он может использоваться учителями при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.
В приложении представлены задания, подобранные нами, для самостоятельной работы учащихся, которые можно использовать при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике.
![Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]](https://i.ytimg.com/vi/S6_R5j8hzbY/0.jpg)
