Оформление дробно рациональных уравнений на огэ

Решите уравнение

Используем свойство пропорции:

Решите уравнение

Используем свойство пропорции:

Решите уравнение: .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Используем свойство пропорции.

Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Умножим обе части уравнения на

Видео:ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТЬ I #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Методика решения дробно — рациональных уравнений. Подготовка учащихся к ОГЭ.
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Методика решения дробно — рациональных уравнений.

Подготовка учащихся к ОГЭ.

( из опыта работы учителя математики МБОУ Погребская средняя общеобразовательная школа Стратий Татьяны Николаевны)

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Дробно рациональное уравнение. ОГЭ математика задача 4 (тип 4) 🔴Скачать

Предварительный просмотр:

Методика решения дробно — рациональных уравнений.

Подготовка учащихся к ОГЭ.

( из опыта работы учителя математики МБОУ Погребская средняя общеобразовательная школа Стратий Татьяны Николаевны)

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике является одним из документов, определяющих структуру и содержание КИМов. В нем сформулированы требования к уровню подготовки выпускников основной школы. В разделе III прописано требование «Уметь решать уравнения, неравенства и их системы»

Код контролируемого умения

Уметь решать уравнения, неравенства и их системы

Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения , сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы

Решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы

Применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств

Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи

С темой «Дробные рациональные уравнения » учащиеся впервые знакомятся на уроках алгебры в 8 классе. Вводится понятие дробно-рационального уравнения, указывается чёткий алгоритм его решения, разбираются базовые примеры. В 9 классе при изучении главы II «Уравнения и неравенства с одной переменной» расширяем знания учащихся по теме «Дробные рациональные уравнения», решаем более сложные задания. Результаты обучения в значительной степени зависят от конкретной методики обучения, которую применяет учитель на уроках. Учитель, при активном сотрудничестве с обучающимися, должен помочь им выделить систему общих указаний, которые будут служить ориентирами при решении уравнений.

Целесообразно четко сформулировать алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

В ходе решения дробно-рациональных уравнений необходимо установить, являются ли найденные корни целого уравнения допустимыми значениями переменной. Учащиеся нередко ошибаются, пропуская этот момент, поэтому надо настойчиво добиваться, чтобы в каждом случае алгоритм был выполнен до конца.

Важно научить обучающихся пользоваться «методом пристального взгляда» чтобы они зрительно видели разложение знаменателей на простые множители и безошибочно находили наименьший общий знаменатель. Такая методика решения уравнений позволяет школьникам не допускать ошибок при решении дробных рациональных уравнений, успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Следует также предварительно отработать умения и навыки учащихся при выполнении тождественных преобразований, решения квадратных и линейных уравнений, раскладывания квадратного трёхчлена на множители, нахождения ОДЗ, основного свойства пропорции, формул сокращённого умножения

Приемы решения дробных рациональных уравнений находят естественное и важное применение при решении текстовых задач. При решении текстовой задачи учащиеся выполняют три этапа, входящие в процесс решения:

— переводят задачу на язык алгебры (составляют математическую модель),

— решают полученное уравнение,

— выполняют содержательный анализ полученного ответа.

В практической деятельности при проведении уроков по этой теме я применяю организацию учебной деятельности следующим образом: обучающиеся работают по группам. Одна группа решает текстовые задачи – им требуется в процессе решения получить дробное рациональное уравнение. Другая группа работает над решением этих же уравнений. Последующая проверка у доски работы двух групп представляет полное решение текстовой задачи с обоснованной записью ответа. В зависимости от наполняемости класса можно организовать подобным образом работу четырех или шести групп. Такая организация урока позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивает коммуникативные навыки, умение работать в сотрудничестве позволяет закрепить умение решать текстовые задачи и одновременно умение решать дробные рациональные уравнения.

Все выпускники 9 класса должны уметь решать дробные рациональные уравнения.

Чтобы достичь поставленной задачи учителю следует руководствоваться методическими требованиями к системе упражнений, направленной на организацию усвоения приемов решения дробных рациональных уравнений.

1. система упражнений должна обеспечивать возможность активного участия обучаемых в конструировании приема решения рассматриваемого класса задач (в нашем случае решения дробных рациональных уравнений)
2. система упражнений должна обеспечить усвоение и необходимое повторение каждого из приемов, входящих в качестве составной части в формируемый прием ( решения дробных рациональных уравнений)
3. система упражнений должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности, содержать задания комплексного характера, выполнение которых требует распознания типа уравнения и осознанного выбора способа его решения.

Стандартный вид дробно-рационального уравнения:

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнения вида

Где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:

Основные методы решения рациональных уравнений.

1. Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее.

Квадратные уравнения ax 2 + bx + c = 0 решаются по формуле или используется теорема Виета: x 1 + x 2 = – b / a; x 1 x 2 = c / a.

2.Способ группировки : путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

3. Способ подстановки : ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно какую следует сделать подстановку.

(x 2 + x – 5) / x + 3x / (x 2 + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x 2 + x – 5) / x = t,

получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

Или: 21 / (x 2 – 4x + 10) – x 2 + 4x = 6.

Здесь можно сделать подстановку x 2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) — t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение

(x 2 + 2x) 2 – (x +1) 2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x 2 + 2x) 2 – (x 2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x 2 + 2x=t.

Имеем t 2 – t – 56 = 0, t 1 = – 7, t 2 = 8. Осталось решить x 2 + 2x = – 7 и x 2 + 2x = 8.

В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

Уравнение (x + a) 4 + (x + b) 4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

Симметрическое уравнение (возвратное) a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если

a + b = c + d и т.д.

К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной.

1. Подбор : при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 ищем в виде p / q,

где p — делитель a 0 , q — делитель a n , p и q взаимно просты, pÎ Z, qÎ N.

5. “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Некоторые приемы решения дробно- рациональных уравнений рассмотрим на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сводим заданное уравнение к стандартному виду :

Его решением будет решение системы

Значит, решением заданного уравнения является

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Оба корня являются решениями, так как подходят по ОДЗ. В ответе имеем:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Группируем слагаемые

Получаем уравнение или, то же самое,

Полученное уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной Х :

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

Которые решаем на ОДЗ: Приходим к ответу

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

Получаем уравнение, которое приобретает вид

Заменяем и приходим к уравнению

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Введем замену:

Тогда и получим уравнение

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной Х :

Решаем первое уравнение:

Второе уравнение не имеет решения, так как

Заключение: Чтобы сформировать умение решать дробные рациональные уравнения всеми обучающимися 9 класса, учителю математики необходимо разработать систему упражнений, направленную на отработку приемов и методов решения этих уравнений.

На этапе подготовки — создать условия для активного восприятия, через упражнения на повторение, упражнения пропедевтического характера.

На этапе усвоения — через систему упражнений необходимо создать условия, которые позволяют обучающимся осознать и прочно запомнить новые сведения ( последовательность действий, алгоритм).

На этапе закрепления – создать условия для усвоения знаний в ходе их применения в различных ситуациях.

Используемая литература и электронные ресурсы

1. Д.Т. Письменный «Готовимся к экзамену по математике»- М.; Рольф, Айрис-пресс,1998г.

2. «Математика. Подготовка к ГИА- 2015»- под редакцией Ф.Ф. Лысенко, Ростов- на-Дону, Легион. 2014г.

3. «Алгебра -9 класс»- Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией

С.А. Теляковского, М.: Просвещение,2010г.

4. Л.И. Заввич «Итоговая аттестация. Задания по математике»М,:Просвещение,2011г.

5. С.С.Минаева,Л.О.Рослова «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации».М.,Экзамен.2014г.

6. М.Р.Леонтьева, С.Б. Суворова «Упражнения в обучении алгебре»,М.,Просвещение,2005г.

7. Ресурсы, представленные на портале ФЦИОР (Федеральный центр информационных образовательных ресурсов) – http://fcior.edu.ru , http://eor.edu.ru

8. Каталог образовательных ресурсов сети Интернет для школы — http://katalog.iot.ru/

9. Справочная информация по математическим дисциплинам

10. Образовательный математический сайт http://www.exponenta/ru

11. Публикации по алгебре, геометрии, тригонометрии

Видео:РАЗБИРАЕМ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТЬ II #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Дробно-рациональные уравнения

Видео:ОГЭ 20 задание Решить дробно рациональное уравнение 1Скачать

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Видео:ОГЭ 20 задание Решить дробно рациональное уравнение 2Скачать

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 ( x + 4 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 4 — 1 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 1 x ( x — 2 ) — x x x — 2 — 3 ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 1 x — 3 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 ( x + 2 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 2 — 20 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

📺 Видео

Рациональные уравнения. ОГЭ номер 21 | ЕГЭ номер 13 | Математика | TutorOnlineСкачать

Дробно рациональные уравнения. Алгебра, 9 классСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Дробно-рациональные уравнения.ОГЭ-2023.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. Подготовка к экзаменам. 60 часть. 9 класс.Скачать

10 ПРИМЕРОВ решения дробно рациональных уравнений (Взяты из ОГЭ)Скачать

#136 Урок 61. Дробно-рациональные уравнения. Рациональные уравнения, приводящиеся к квадратным.Скачать

Дробно-рациональные уравнения. Подготовка к экзаменам. 64 часть. 9 класс.Скачать

ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

ОГЭ по математике 9 задание. Дробно-рациональные уравнения. № 311381, 311755, 338503, 338723Скачать

ОГЭ 2023 по математике. Уравнения. Линейные, квадратные, дробно-рациональные. Решение №9, 20Скачать