Одной из стержневых линий школьного курса алгебры является уравнения и неравенства (3 видео)

Основные линии курса алгебры и начал анализа старшей школы и их реализация в учебниках 10-11-х классов

В курсе алгебры и начал анализа выделяют следующие содержательно-методические линии:

• линия числа (систематизация сведений о действительных числах, комплексные числа)]
• линия функций (тригонометрические, обратные тригонометрические функции, показательная и логарифмическая, степенная функция, понятие обратной функции, общие свойства функций и схема исследования функций с помощью производной);
• линия тождественных преобразований (тригонометрические выражения и тождества, степени, логарифмы);
• линия уравнений и неравенств (тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные уравнения, системы уравнений и неравенств, иррациональные неравенства, уравнения и неравенства с параметрами);
• линия элементов математического анализа (понятие производной, техника дифференцирования, приложение производной к исследованию функций, геометрический и механический смысл производной, первообразная, понятие предела последовательности и функции, теоремы о пределах, определенный интеграл, простейшие дифференциальные уравнения);
• вероятностно-статистическая линия (основные понятия теории вероятностей — событие, вероятность, случайная величина; операции и свойства операций над событиями; основные теоремы теории вероятностей; закон распределения и функция распределения случайной величины] основные характеристики случайных величин).

В этом перечне курсивом выделен тот материал, который не включается в базовый вариант программы по математике для старшей школы.

Прежде чем охарактеризовать особенности изложения учебного материала в различных учебниках алгебры и начал математического анализа, необходимо отметить общие закономерности.

Во-первых, повышается уровень абстракции и логической организации изучаемого материала.

Во-вторых, происходит переход изучения на уровень методов (методы дифференциального и интегрального исчисления, векторный и координатный методы).

В-третьих, происходит знакомство учащихся с фундаментальными понятиями математики (действительное число, предел последовательности, производная функции, определенный интеграл и др.).

В-четвертых, завершаются основные линии школьного курса математики, что позволяет систематизировать и обобщить знания учеников. При этом появляются и новые линии (линия дифференциального и интегрального исчисления, например).

В-пятых, средствами математики обеспечивается процесс формирования естественнонаучной картины мира, происходит усиление прикладной направленности школьного курса математики, математический аппарат широко используется в смежных дисциплинах.

В-шестых, содержание ориентировано на подготовку к государственной аттестации, продолжение математического образования на различных уровнях в высшей школе, что, в частности, предполагает организацию активной самостоятельной познавательной деятельности при изучении старшеклассниками содержания.

Рассмотрим кратко логику, уровень математической абстракции материала и последовательность изложения элементов математического анализа в отдельных учебниках по алгебре и началам математического анализа 10—11-х классов различных годов издания.

В учебнике А. Н. Колмогорова изучение элементов математического анализа предваряется накоплением материала, на основе которого вводятся основные понятия анализа и формируются умения по применению аппарата математического анализа для получения результатов. В этой логике пополняется запас функций (тригонометрические и обратные тригонометрические функции) и рассматриваются их свойства, повторяется и обобщается понятие функции, рассматриваются свойства, которые будут использоваться в дальнейшем.

Изучение производной начинается с введения понятий приращения аргумента и приращения функции на основе известных ученикам из курса физики интерпретаций и вводного параграфа о понятии производной и касательной к графику функции. В нем раскрывается смысл идеи линеаризации — замены части гладкой кривой в окрестности точки х₀ отрезком некоторой прямой /. Здесь же введено предварительное определение производной как углового коэффициента касательной и получены первые результаты — вычислена производная функции у = х 2 . Несмотря на очевидные преимущества такого способа введения понятия производной, приходится признать его некоторую громоздкость, создающую психологические трудности при восприятии и изучении этого материала учениками.

Для осмысленного введения определения понятия производной учащимся предлагается набор упражнений на развитие навыков вычисления производной функции в точке на основе идеи линеаризации. После такой подготовительной работы вводится определение понятия производной абстрактно-дедуктивным способом, при этом в определении явно не употребляется термин «предел», по используется в записи определения производной функции / в точке х₀:

На основе введенного определения производной решаются примеры на нахождение и доказательство формул дифференцирования некоторых элементарных функций. По определению производной также показано, что функция f(x) = х в точке х₀ = 0 не имеет производной.

В последующем доказываются правила вычисления производных (производная суммы, произведения, частного, сложной функции). Для доказательства формул дифференцирования тригонометрических функций предварительно на наглядно-интуитивной основе обосновывается первый замечательный предел.

Существенное место отводится применению производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике. В этом разделе обосновывается метод интервалов, выводится уравнение касательной к графику функции, иллюстрируется формула Лагранжа.

На основе формулы f(x)

/(г₀) + f'(x₀)(x — х₀) получен ряд формул для приближенных вычислений, которые широко используются как в самом курсе, так и в курсе физики (например, при изучении электродинамики или световых явлений). Механический смысл производной выясняется при знакомстве с применением производной в физике и технике. Несомненным методическим достоинством этого пункта является обоснование уже известных учащимся правил дифференцирования на основе механического смысла производной, а также установление одного свойства параболы, имеющего применение в оптике.

Завершает систематическое изучение темы раздел, в котором рассматриваются применения производной к исследованию функций. В этом разделе изучаются понятие критических точек, необходимый признак экстремума, достаточный признак возрастания (убывания) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, а также приводятся примеры применения производной к исследованию функций и решения прикладных задач.

В исторических сведениях к этому разделу приводится формула Тейлора. Она может стать основой для организации самостоятельной работы учащихся творческого характера.

Тема «Первообразная и интеграл» начинается с изучения понятия первообразной на основе механических представлений. Далее устанавливаются ее основное свойство и правила нахождения. Эти знания позволяют подвести учащихся к решению важнейшей задачи — задачи о нахождении площади криволинейной трапеции как разности двух первообразных: S = F(b) — F(a). Понятие неопределенного интеграла не вводится.

Понятие определенного интеграла рассматривается и вводится как некая альтернатива подходу к задаче вычисления площади криволинейной трапеции, рассмотренной ранее. Введение понятия определенного интеграла осуществляется на наглядно-интуитивной основе из геометрических соображений с привлечением формулы прямоугольников для приближенного вычисления интеграла. В сопоставительном плане на основе элементарных рассуждений получается формула Ньютона — Лейбница. В качестве приложений рассмотрено вычисление объемов тел (включая объемы тел вращения).

Рассмотренное содержание элементов математического анализа используется далее при изучении свойств показательной и логарифмической функций, а также позволяет познакомиться с математическими моделями, которые описываются дифференциальными уравнениями показательного роста и показательного убывания.

Учебник С. М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова и А. В. Шевкина рассчитан на базовый и профильный уровни. Этот учебник из серии учебников «МГУ — школе» (основана в 1999 г.). Производная и интеграл изучаются в 11-м классе. Перед изучением производной и интеграла проводится обзор основных свойств элементарных функций (область определения, область значений; ограниченность; четность, нечетность, периодичность функций; промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции; исследование функций и построение их графиков элементарными методами; основные способы преобразования графи ков). В этих разделах вводятся все соответствующие основные определения. Первоначальные представления о пределе функции

формируются на примере функции у = —. Предлагается посмот-

реть, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании аргумента х. Заполняется таблица, и вводится запись

lim — = 0. Аналогично получается, что Пт — = 0. Далее пред-

лагается рассмотреть функцию у = х 3 , также заполнить таблицу и получить lim х 3 = +°° и lim х 3 = -°°. Эти примеры позволяют

сформулировать первоначальное определение предела функции при х —*• ±°°. На основе этого определения, как частный случай, формулируется определение предела функции при х —>? а и появляется запись lim f(x) = А. Это определение далее связывается с одно-

сторонними пределами (правым и левым пределами) и формулируется на языке е-8. В этом же разделе рассмотрены первый и второй замечательные пределы. Определение непрерывной в точке функции формулируется на языке приращений, далее осуществляется переход к эквивалентному определению lim /(.г) =/(.г_п) и заверша-

ется определением на языке е-5. Перед изучением производной предлагается рассмотреть достаточно большой по объему материал об обратных функциях и обратных тригонометрических функциях. Понятие производной вводится после рассмотрения задач на мгновенную скорость, касательную к графику функции и связи силы тока и заряда. Так как ранее были рассмотрены все необходимые определения и введены соответствующие обозначения, то определение производной сразу формулируется в традиционном виде. На примерах демонстрируется алгоритм вычисления производных элементарных функций, который далее применяется для вывода правил дифференцирования. Для решения задачи приближенных вычислений введено понятие дифференциала как линейной части приращения функции. Применение производной связывается с решением задач на максимум и минимум функции, уравнение касательной. В тексте учебника приводятся теоремы Ролля и Лагранжа, используемые для доказательства достаточных признаков возрастания (убывания) функции на промежутке и сопутствующих вопросов. При углубленном изучении математики ученики знакомятся с производными высших порядков и их применением для определения точек перегиба и промежутков выпуклости, а также с асимптотами. Рассмотренное выше содержание позволяет составить схему исследования функции и построения ее графика. В завершении рассмотрен ряд Тейлора.

Изучение понятия первообразной начинается с определения этого понятия с переходом к определению понятия неопределенного интеграла и формулировке его свойств. Углубленное изучение предмета предполагает знакомство с методом замены переменной и методом интегрирования по частям. Определенный интеграл связывается с задачей вычисления площади криволинейной трапеции, на этой же задаче демонстрируется приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница интерпретируется в контексте связи определенного интеграла и первообразной функции с последующим доказательством. Свойства линейности и аддитивности определенного интеграла иллюстрируются на основе геометрического смысла интеграла. Завершается изучение интеграла демонстрацией применения определенных интегралов в геометрических и физических задачах (объем тела вращения, механическая работа, масса стержня переменной плотности, работа электрического поля, давление жидкости на стенку сосуда, центр тяжести системы материальных точек), понятием о дифференциальных уравнениях (основные понятия, уравнения с разделяющимися переменными, дифференциальное уравнение гармонических колебаний) и задачами, приводящими к дифференциальным переменным (нахождение закона движения тела по его скорости, нахождение закона движения тела по его ускорению, задача о времени охлаждения тела, радиоактивный распад, гармонические колебания) и исторической справкой.

В учебнике А. Г. Мордковича и П. В. Семенова (профильный уровень) изучение элементов математического анализа начинается знакомством с числовыми последовательностями и пределом числовой последовательности. Здесь представлены различные способы задания числовых последовательностей и их свойства, окрестност- ное определение предела числовой последовательности, приводятся примеры на нахождение значений предела числовой последовательности и примеры на доказательство. В качестве наглядного средства используются графические иллюстрации и представление о «точке сгущения». Авторы уделяют много внимания отработке навыков вычисления пределов числовых последовательностей в простейших случаях, а также получают с помощью теорем о свойствах предела числовой последовательности (в учебнике — «правил») теоретические факты, например выражение для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формирование у учащихся представлений о пределе функции в точке предваряется знакомством с понятием предела функции на бесконечности как естественное продолжение предыдущей темы. Предлагается перейти от натурального аргумента к действительному и получить по аналогии выражение lim f(x) = b, где b трактуется как уравне-

ние горизонтальной асимптоты г/ = Ь. Далее появляется возможность обобщить на случай действительного аргумента свойства предела теперь уже функции на бесконечности. Предел функции в точке рассматривается как случай, когда х стремится не к бесконечности, а к я, т.е. получается запись lim/(х) = Ь. Строгое опреде-

ление понятия предела функции в точке не формулируется. Представление о пределе функции в точке формируется на примерах графиков функций, отражающих различные ситуации, позволяющие уяснить изучаемое понятие. Вместе с тем достаточно подробно рассматривается понятие непрерывности функции в точке и на промежутке. Авторы информируют учащихся о том, что «теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах», и приводимое в учебнике знакомство с основными понятиями «основано на интуиции и весьма поверхностное», т.е. — «шапошное». Следует, однако, заметить, что такой подход не противоречит положениям исследований д. п. н. И. А. Иванова о построении модели курса алгебры и начал анализа на основе «рациональной логики», т.е. логики так называемых рациональных рассуждений, широко применяемой в прикладной математике при построении математических моделей различных явлений. Рассмотренные понятия предела функции, функции непрерывной в точке и на промежутке, позволяют сформулировать строгое определение производной функции в точке. Для этого рассматриваются «классические» примеры «мгновенной скорости точки» (физический смысл производной) и «о касательной к графику функции» (геометрический смысл). Эти примеры нужны для предъявления общей для двух различных ситуаций математической модели, основанной на понятии производной. Особенностью данного учебника является явное представление алгоритма вычисления производной, который в дальнейшем используется при вычислении производных элементарных функций и правил дифференцирования. Исключением являются правила дифференцирования сложной и обратной функций — здесь использовались рациональные рассуждения. Далее рассмотрены вопросы, связанные с уравнением касательной к графику функции, и приведен соответствующий алгоритм, на основе которого решается задача вычисления приближенных значений функции.

Следующий раздел темы посвящен применению производной для исследования функций. По выражению авторов, «на пальцах» устанавливаются достаточные условия монотонности функции на интервале. Также иллюстративно с применением графиков приводится определение критических точек и формулируется необходимое условие экстремума. С помощью полученных фактов предлагается алгоритм исследования функции с помощью производной. Традиционная тема на нахождение наибольших и наименьших значений величин авторами рассматривается в контексте построения и исследования математических моделей. Добавлен параграф на применение производной для доказательства тождеств и неравенств.

В 11-м классе рассматривается тема «Первообразная и интеграл». По мнению авторов, основой введения понятия первообразной является необходимость решения обратной задачи — по известной производной определить функцию. После формулировки определения и относительно небольшого количества примеров появляется таблица первообразных. В примечании указывается, что к функциям, приведенным в таблице, требуется прибавлять постоянную С_у что находит дальнейшее обоснование после формулировки правил нахождения первообразных. Для множества всех первообразных на промежутке X вводится определение неопределенного интеграла от функции у = /(х), используется традиционная запись

f(x)dxy и далее переписываются с вновь введенным обозначением таблица первообразных и правила вычисления первообразных. Понятие определенного интеграла вводится на основе задач, приводящих к понятию определенного интеграла: задачи о вычислении площади криволинейной трапеции, задачи о вычислении массы стержня, задачи о перемещении точки. Определенный интеграл — очередная модель, которой дается определение, близкое к определению, принятому в математике. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами (формула Ньютона — Лейбница) следует из чисто физических соображений, но в дальнейшем обосновывается достаточно строго. Применение определенного интеграла демонстрируется при решении задач на вычисление площадей плоских фигур. В целом можно отметить, что учебник ориентирован на «ученика».

Учебник алгебры и начал анализа Е. П. Нелина и В. А. Лазарева рассчитан на базовый и профильный уровни. Этот учебник содержит все-таки избыточное содержание, например, по сравнению с учебником А. Г. Мордковича — содержание темы «Производная и ее применение» в учебнике Е. П. Нелина изложено почти на 200 страницах (вместе с базовым и профильным уровнями), тогда как в учебнике А. Г. Мордковича на 80 страницах (для профильного уровня). Требования к математической подготовке учеников весьма высокие. В учебнике используется формат, сочетающий использование «опорных конспектов» — таблиц, объяснений и обоснований. Изучение темы «Производная и ее применение» (11-й класс) начинается с обобщения и систематизации знаний по числовым множествам и свойствам модуля. Далее без предварительного рассмотрения предела числовой последовательности предлагается сразу перейти к рассмотрению предела функции в точке. В качестве наглядного средства используется таблица, график функции у = 2х — 1, X е и предел lim (2х — 1) — 3. При

х е X и Y е строится график функции у = f(x) в окрестности точки х₀ = 2. Этот подход предусматривается для общеобразовательных классов. Вместе с тем, далее, для «классов физико-математического профиля» формулируется на языке s-8 строгое определение предела функции в точке, свойства предела функции, формулируется определение непрерывной в точке функции и свойства непрерывных функций, на основе которых обосновывается метод интервалов. Введение понятия производной начинается с введения понятий приращения функции и приращения аргумента, которые используются для установления связи с рассмотренным ранее понятием непрерывности функции в точке. Такая последовательность изучаемых понятий позволяет достаточно естественно перейти к определению понятия производной функции в точке, предварительно рассмотрев примеры задач, приводящих к понятию производной, в которых фиксируется физический и геометрический смысл производной. На основе введенного определения понятия производной предлагается схема (фактически алгоритм) вычисления производной, которая используется для вычисления производных основных элементарных функций и правил дифференцирования (для профильных классов — производные обратных тригонометрических функций, а также производные высших порядков). Понятие производной позволяет установить важный теоретический факт о связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке и на промежутке. Применение производной к исследованию функций традиционно — рассматриваются вопросы монотонности функции на интервале (с обоснованием на основе формулы Лагранжа), критические точки, необходимые и достаточные условия экстремума, схема исследования функции на монотонность и экстремумы, схема исследования функции для построения ее графика, схема определения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Углубленное изучение предмета предполагает знакомство с понятием бесконечно малой величины и ее свойствами, формулировку свойств некоторых математических объектов на языке бесконечно малых величин, вычисление предела функции с использованием эквивалентных бесконечно малых величин. Отдельно рассматривается круг вопросов, связанных с асимптотами. Кроме этого — промежутки выпуклости, точки перегиба и схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба. Завершается раздел весьма полезными параграфами — о применении производной к решению уравнений п неравенств и доказательству неравенств, в том числе с параметром, и о понятии дифференциала и применении дифференциала к приближенным вычислениям.

Тема «Интеграл и его применение» (11-й класс) начинается с введения понятия первообразной конкретно-индуктивным способом, рассматривается основное свойство первообразной, вводится понятие неопределенного интеграла и его символ. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования) и таблица первообразных записываются с использованием символа неопределенного интеграла. Понятие определенного интеграла связывается с его геометрическим смыслом, и предлагается формула Ньютона — Лейбница как средство решения задачи о площади криволинейной трапеции. На этой же основе позже формулируются определения интегральной суммы и определенного интеграла, а также обосновываются свойства определенного интеграла и правила его вычисления. Из геометрических приложений кроме площади криволинейной трапеции рассмотрен вопрос о нахождении объема тела вращения. Из физических приложений — математические модели на основе дифференциальных уравнений: работа переменной силы, задача о радиоактивном распаде и гармонических колебаниях, задача определения времени истечения жидкости из бака цилиндрической формы с отверстием в дне. Оба раздела о производной и интеграле сопровождаются достаточно подробными историческими справками.

В учебнике Н. Я. Виленкина для классов с углубленным изучением математики есть все предпосылки для корректного введения понятия производной, т.е. на основе определения понятия предела функции в точке. Развитие и закрепление навыков отыскания производной по определению способствует лучшему уяснению как процедуры (алгоритма), так и сущности самого понятия. Весьма полезным является решение графических заданий, которые ориентированы на геометрический смысл производной функции в точке. Это обстоятельство позволяет учащимся лучше разобраться в сущности понятия дифференциала функции.

Большинство теорем анализа, рассматриваемых в учебнике, доказывается. В дополнение к изучаемым свойствам функций рассматриваются свойство выпуклости функции и соответствующие признаки. Качественно иной по уровню математической абстракции и, как следствие, по трудности — набор задач как математического, так и прикладного характера.

Наличие у учеников знаний о производной и дифференциале позволяет сформулировать определение первообразной в форме F’ <x)= /(х) или dF(x) = f'(x)dx. На этой основе вводится определение понятия неопределенного интеграла и соответствующего символа: Jf(x)dx. Опираясь на введенное определение, доказываются некоторые свойства неопределенного интеграла. Рассмотренные свойства, а также таблица основных интегралов, полученная с помощью таблицы дифференциалов функций, позволяют перейти к вычислению неопределенных интегралов. Логичным представляется изучение далее метода замены переменной. С помощью этого метода значительно расширяется класс функций, от которых можно вычислить неопределенный интеграл.

Тема «Дифференциальные уравнения» формирует у учащихся первоначальные представления о математических моделях и соответствующем методе. Ученики знакомятся с понятийным аппаратом темы и некоторыми методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Заканчивается раздел изучением вопроса мировоззренческого характера — составлением дифференциальных уравнений и беседой о математических моделях и математическом моделировании.

Изучение определенного интеграла предваряется аксиоматическим введением понятия площади и определением квадрируемой плоской фигуры. Далее рассматриваются площадь криволинейной трапеции, теорема Ньютона — Лейбница, физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение понятия определенного интеграла следующее:

т.е. определенным интегралом называется разность значений первообразной для функции Fb точках b и а. Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница.

Завершается изучение интеграла решением задач на вычисление геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла (вычисление объемов тел, площадей плоских фигур, механической работы, механической энергии, силы давления жидкости и т.д.) и рассмотрением формул приближенного вычисления определенного интеграла.

Дальнейшее развитие линии анализа связано с изучением показательной и логарифмической функций, которые приводят к изучению дифференциального уравнения процессов органического изменения, а также к иллюстрации обоснования второго замечательного предела и сопутствующих вопросов.

В учебнике Ш. А. Алимова предпринята попытка ввести понятие производной на содержательной основе через рассмотрение задачи на равнозамедленное движение. Производная функции вводится как предел разностного отношения, при этом смысл понятия предела не раскрывается. Определение не дается, вводится символ предела, составляется таблица производных, обосновываются правила дифференцирования, но не используется понятие сложной функции, не формулируется правило дифференцирования сложной функции, что приводит к большему числу ошибок при изучении данного материала школьниками, чем при изучении этого вопроса по учебнику А. Н. Колмогорова. В учебнике рассматривается геометрический смысл производной, но не обсуждается ее применение в физике, кроме вводной задачи, и к приближенным вычислениям, что также может привести к определенным трудностям при изучении математики в высшей школе. Теоретический материал по применению производной к исследованию функций вводится без доказательства, ряд доказательств поясняется на примерах.

В учебнике М. И. Башмакова во вводной беседе рассматривается механический смысл производной в историческом аспекте и ее геометрический смысл, что облегчает введение понятия производной с помощью предела, раскрывается смысл предельного перехода, обосновываются формулы дифференцирования. Вместо формулы производной сложной функции рассматривается теорема о линейной замене аргумента. Понятие сложной функции рассматривается в заключительной беседе по теме. Теория по исследованию функции приведена с обоснованиями, вводится понятие дифференциала и его приложения в физике. Кроме сложной функции в заключительной беседе но теме рассматриваются линеаризация и гладкость функции, а весь теоретический материал имеет более выраженную прикладную направленность, чем в других учебниках.

С другими учебниками, по которым в настоящее время ведется обучение алгебре и началам математического анализа в старшей школе, читатель может познакомиться самостоятельно.

Содержание

Уравнения и неравенства в курсе математики средней школы
Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема. — презентация
Похожие презентации
Презентация по предмету «Математика» на тему: «Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
🎥 Видео

Видео:Как решать неравенства? Часть 1| МатематикаСкачать

Уравнения и неравенства в курсе математики средней школы

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В КУРЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Понятие уравнения в математике

Уравнение относится к числу ведущих алгебраических понятий. В математике оно рассматривается в трёх аспектах:

как особого рода формула, являющаяся в алгебре объектом изучения; как средство решения текстовой задачи; как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Определение понятия уравнения в математике основано на понятии «предикат» или «предложение с переменной».

Приведём пример такого предложения: «п – есть простое число». Подставляя вместо переменной п натуральные числа, будем получать высказывания – предложения без переменной, содержащие утверждения и обладающие определёнными истинностными значениями. Так, при п = 5 получим истинное высказывание «5 – простое число», а при п = 12 — ложное высказывание «12 – простое число». Уравнение – это тоже предложение с переменной (или с несколькими переменными), которое при одних значениях переменной, принадлежащих некоторому числовому множеству D, обращается в истинное высказывание (числовое равенство), а при других – в ложное.

Определение. Уравнением называется предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной.

По аналогии с уравнением можно определить и неравенство как предложение с переменной, имеющее вид неравенства между двумя выражениями с этой переменной.

Отметим, что теория решения уравнений, неравенств и их систем, а также методы решения уравнений и неравенств отдельных видов рассмотрены в курсе НПОПМ.

Понятие уравнения в школе

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнения и неравенства, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно – методическую линию уравнений и неравенств.

Учитывая приведённые выше аспекты функционирования понятия уравнения в математике, целесообразно выделить три основных направления развёртывания линии уравнений и неравенств школьного курса алгебры.

1. Теоретико – математическое, которое раскрывается в двух аспектах:

выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств, систем; изучение обобщённых понятий, относящихся ко всей линии в целом, что позволяет сформировать обобщённый аппарат теории (выделить общие понятия линии: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следствие, система и совокупность уравнений (неравенств); общие и частные методы решения).

2. Прикладное, связанное с решением текстовых задач, как одним из видов математического моделирования.

3. Систематизирующее, то есть устанавливающее взаимосвязи с другими содержательно-методическими линиями: числовых систем, тождественных преобразований, функциональной и другими.

В связи с выше сказанным, определим цели изучения линии уравнений и неравенств в школе:

формирование теоретических знаний; формирование умений решать уравнения и неравенства определённых видов, их систем и совокупностей; обучение решению текстовых задач для формирования представлений об уравнении (неравенстве) как средстве математического моделирования; установление взаимосвязей линии уравнений и неравенств с другими содержательно-методическими линиями школьного курса математики в процессе решения целесообразно подобранных задач.

Содержание учебного материала

Смотри практические занятия.

Формируются понятия уравнения с одной переменной, решения или корня уравнения, выясняется, что значит решить уравнение. Вводится понятие равносильных уравнений. Рассматриваются свойства:

если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Отмечается, что указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на соответствующие свойства числовых равенств.

Изучаются линейные уравнения с одной переменной, уравнения, решаемые на основании условия равенства произведения нулю, линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Решаются текстовые задачи на составление уравнений и их систем.

Квадратные уравнения и дробные рациональные уравнения, сводимые к линейным и квадратным уравнениям. Для тех, кто хочет знать больше, уравнения с параметром.

Элементы теории решения целых уравнений и методы их решения:

разложение на множители и замены. Для тех, кто хочет знать больше, приводится теорема о корне многочлена и теорема о целых корнях целого уравнения, которые позволяют расширить приёмы решения целых уравнений. Рассматриваются возвратные уравнения для частного случая симметрических уравнений (возвратным называется уравнение вида Изучаются дробно-рациональные уравнения и методы их решения: приведение к целому виду, сведение к пропорции, замены. Уравнение с двумя переменными и системы уравнений второй степени с двумя переменными. Задачи, решаемые с помощью систем уравнений второй степени. Для тех, кто хочет знать больше, приёмы решения однородных, симметрических систем уравнений второй степени. Метод сведения системы к совокупности систем.

Простейшие тригонометрические уравнения. Методы решения тригонометрических уравнений: введение вспомогательного угла, замены, разложение на множители.

Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения.

Числовые неравенства и их свойства. Неравенства с одной переменной.

Вводится определение решения неравенства, выясняется смысл слов «решить неравенство», формируется понятие равносильных неравенств и рассматриваются следующие свойства:

если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Изучаются линейные неравенства и их системы. При этом вводятся понятия системы неравенств, даётся определение решения системы неравенств с одной переменной. Для тех, кто хочет знать больше, приводятся примеры доказательства неравенств.

Решение неравенства второй степени с одной переменной графически и методом интервалов.

Неравенства с двумя переменными и их системы.

Простейшие тригонометрические неравенства. Решение целых и дробных рациональных неравенств методом интервалов.

Показательные и логарифмические неравенства.

Методические аспекты формирования понятия уравнения

Уравнения рассматриваются в начальной школе, в 5,6 классах. В 7 классе понятие уравнения формируется посредством задачи: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке»?

Было книг Стало книг

Нижняя полка 4х 4х — 15

Верхняя полка х х+15

Так как книг стало поровну соединим полученные выражения знаком равенства: 4х – 15 = х+15.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство. Такие равенства называются уравнениями с одной переменной или с одним неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4х – 15 = х+15 получается верное равенство. Такое число называется решением или корнем уравнения. Вводится определение корня или решения уравнения.

Уравнения такого вида учащиеся решали в 6 классе. Они получат х=10.

Далее на примерах уравнений школьники убеждаются, что уравнение может иметь два корня или не иметь корней. Выясняем, что значит решить уравнение. Решить уравнение — это значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет. Поэтому, решая уравнение ответ лучше записать в виде «Ответ: 4; 5; 6», а не в виде «Ответ: х=4, х=5, х=6».

На примере уравнений убеждаем, что существуют уравнения с одинаковыми корнями. Вводим определение: «Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными». Далее приводятся два свойства (смотри содержание учебного материала), суть которых состоит в описании преобразований, не нарушающих равносильности уравнений.

К сожалению, в дальнейшем теория равносильных уравнений в общеобразовательных классах основной и даже полной школы не развивается. Основное внимание уделяется методам решения уравнений отдельных видов, которые не получают должного теоретического обоснования.

Методические аспекты обучения решению уравнений отдельных видов

1. Квадратные уравнения.

1.1. Приведём более простой по сравнению с учебником способ вывода формулы корней квадратного уравнения.

Рассмотрим квадратное уравнение, где а ≠ 0.

Умножим обе части уравнения на 4а, получим уравнение , равносильное данному по свойству 2.

Выделим полный квадрат ,.

Введём обозначение и назовём полученное выражение дискриминантом (в переводе «различитель»). Уравнение примет вид .

Рассмотрим 3 случая.

1случай. 2случай 3 случай.

D>0. D=0. D b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Например, такая ситуация возникает при решении рациональных неравенств методом интервалов, при решении простейших тригонометрических неравенств.

3. В изучении неравенств большую роль играют наглядно – графические средства.

Перечисленные особенности 2, 3 находят своё отражение при изучении квадратных неравенств.

Так, при решении неравенства методом интервалов, переходим к неравенству , а затем к уравнению , решая которое находим нули и решения данного неравенства.

Можно воспользоваться графиком функции .

Прочитав по графику решение, получим [-2;2].

4. Реализуется прикладная роль неравенств при решении заданий функционального характера (отыскании области определения и области значений функции, определении промежутков её монотонности и знокопостоянства), а также при исследовании корней уравнений в зависимости от параметров.

1. Алгебра, 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ , , ; под ред. . – М.: Просвещение, 2010.

2. Алгебра, 8 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ , , ; под ред. . – М.: Просвещение, 2010.

3. Алгебра, 9 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ , , ; под ред. . – М.: Просвещение, 2010.

4. Алгебра и начала анализа : учебник для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений/ , , и др.; Под ред. А. П.. – М.: Просвещение, 2010 г.

5. Методика преподавания математики в средней школе. — Частные методики /Сост. и др. – М.: Просвещение, 1985.

6.Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/под научн. ред. . – М.: Дрофа, 2005 г.

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемmatem.uspu.ru

Презентация по предмету «Математика» на тему: «Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Линия уравнений и неравенств школьного курса математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики Тема 3

2 План 1.Общие подходы к изучению уравнений и неравенств 2.Формирование представлений об общих методах уравнений 3.Метод уравнений и неравенств в обучении математике

3 Подходы к определению понятия уравнения Функциональный подход Уравнением с одним неизвестным называется равенство вида f(x) = g(x) Число x 0 называется корнем уравнения, если это число принадлежит области допустимых значений неизвестного и справедливо числовое равенство f(x 0 ) = g(x 0 )

4 Подходы к определению понятия уравнения Предикатный подход (через высказывательную форму) Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением Значение неизвестного числа, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения

5 Подходы к определению понятия уравнения При любом из подходов к определению уравнения суть действия решения уравнения трактуется одинаково: решить уравнение – значит найти все его корни или докадать, что их нет

6 Связь понятия «уравнение» с понятием «тождество» Уравнение называется тождеством, если любое число является его решением (отражен первый подход к определению тождества) Уравнение вида f(x) = g(x) называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (отражен второй подход к определению тождества)

7 Основные тенденции в изучении уравнений Более раннее систематическое изучение уравнений (начиная с начальной школы); Расширение объема и сложности решаемых уравнений младшими школьниками; Вариативность последовательности изучения отдельных вопросов линии.

8 Два основных процесса, сопровождающих обучение Постепенное возрастание классов уравнений и неравенств, приемов их решения, преобразований. Применяемых при решении. Установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих сприемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.

9 Смысл выделения основных классов уравнений и неравенств За счет стандартизации формы задания «общего вида» уравнения можно записывать ответы формулой или привести простое описание действий, приводящих к решению Изучение каждого из классов имеет определенную нагрузку в формировании понятия «решение уравнений», постепенно обогащает алгоритмический и эвристический опыт учащихся.

10 Общая идея решения любого уравнения, не являющегося простейшим уравнением какого-либо типа Решение любого уравнения осуществляется в два этапа: Преобразование данного уравнения (неравенства) к простейшему виду – эвристический этап; Решение простейшего уравнения (неравенства) по известным формулам, алгоритмам или правилам – алгоритмический этап.

11 Основное направление процесса формирования обобщенных приемов решения уравнений и неравенств Организация имеющихся у учащихся знаний и опыта в единую целостную систему, позволяющую распознавать возможности сведения более сложных уравнений к простейшим известных типов.

12 Задания на формирование умения определять способ решения уравнения Для группы уравнений указать возможный способ решения (сами решения не приводить); После предварительного анализа внешнего вида уравнения и способа решения решить уравнение

13 Основные приемы преобразования уравнений Раскрытие скобок; Перенос слагаемых; Приведение подобных слагаемых; Умножение обеих частей уравнения на выражение или число, отличное от нуля; Возведение в степень

14 Основные методы решения уравнений Разложение на множители; Замена переменных; Сведение к системе уравнений и неравенств; Функциональный; Графический.

15 С точки зрения деятельностного подхода к обучению именно формированию обобщенных приемов решения уравнений и следует обратить внимание.

16 Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 5-6 класс Обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной. Обобщенный прием решения уравнений с модулем

17 Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 7-9 класс Обобщенный прием решения неравенств первой степени с одной переменной и их систем. Обобщенный прием решения уравнений и неравенств второй степени с одной переменной. Обобщенный прием решения рациональных уравнений с одной переменной. Обобщенный прием решения дробно-рациональных уравнений с одной переменной. Обобщенный прием решения иррациональных уравнений с одной переменной.

18 Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики класс Обобщенный прием решения иррациональных неравенств с одной переменной. Обобщенный прием решения показательных уравнений и неравенств. Обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств. Обобщенный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств.

— b/а, а >0 и х 0), а 0 е» title=»Обобщенный прием решения линейных уравнений (неравенств) с одной переменной 2.Найти х = — b/а (х > — b/а, а >0 и х 0), а 0 е» > 19 Обобщенный прием решения линейных уравнений (неравенств) с одной переменной 2.Найти х = — b/а (х > — b/а, а >0 и х 0), а 0 если «да», то если «нет», тонет — b/а, а >0 и х 0), а 0 е»> — b/а, а >0 и х 0), а 0 если «да», то если «нет», тонет»> — b/а, а >0 и х 0), а 0 е» title=»Обобщенный прием решения линейных уравнений (неравенств) с одной переменной 2.Найти х = — b/а (х > — b/а, а >0 и х 0), а 0 е»>

20 2. Установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение (неравенство) к линейному: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, разложение на множители 3. Привести с помощью выбранных преобразований уравнение (неравенство) к линейному 4. Найти х = — b/а (х > — b/а, а >0 и х — b/а, а >0 и х

21 Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений 1.решение простейших уравнений данного вида; 2.анализ действий, необходимых для их решения; 3.вывод алгоритма (правила, формулы) решения и запоминание его; 4.решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими; 5.анализ действий, необходимых для их решения; 6.формулировка частного приема решения;

22 Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений 7.применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца; 8.работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе; 9.сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения; 10.применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

23 Метод «уравнений и неравенств» в обучении математике Метод уравнений и неравенств является главным средством для овладения учащимися основами математического моделирования, т.к. В нем наиболее ярко и выпукло отражаются все характерные черты процесса математического моделирования; Уравнения, неравенства и их конструкции являются моделями очень многих явлений.

24 Цель изучения метода «уравнений и неравенств» формирование у учащихся умений математизации реальных ситуаций, установление внутрипредметных и межпредметных связей, формирование системности знаний

25 Суть метода «уравнений и неравенств» Установление основных связей и зависимостей, характеризующих явление или процесс (т.е. построение словесной модели явления или процесса). Перевод словесной модели на язык математики, при котором выявленные связи и зависимости записываются в виде уравнений, неравенств или из конструкций (т.е. построение математической модели). Решение поставленной задачи в рамках математической модели: решение уравнений, неравенств или их конструкций. Перевод решения на язык, на котором была сформулирована задача (т.е. установления соответствия полученного результата исходному явлению).

26 Две стороны любого метода Объективная – связанная с системой знаний, без которой метода не существует. Субъективная – связанная с системой действий, реализация которой ведет к достижению результата, и средствами осуществления этих действий.

27 Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Знания об уравнениях, неравенствах и их конструкциях, а именно : –понятия уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств, корня уравнения, решения неравенства, равносильных уравнений или неравенств; –свойства числовых равенств и неравенств; –виды уравнений и неравенств и способы их решения;

28 Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Знание зависимостей между основными величинами, Свойств геометрических фигур и других объектов, изучаемых в школьном курсе математики. Умения, связанные с решением уравнений и неравенств, а именно: –получение уравнений или неравенств, равносильных данному; –выбор рационального способа решения;

29 Объективная сторона метода «уравнений и неравенств» Умение составлять уравнения или неравенства в соответствии с свойствами объектов или зависимостями между величинами; Умение интерпретировать результаты решения уравнений или неравенств в соответствии с условиями задачи

30 Субъективная сторона метода «уравнений и неравенств» Выбор и обозначение одной или нескольких неизвестных величин; Выражение через выбранные величины других неизвестных величин с учетом связей и зависимостей, зафиксированных в словесной модели; Составление решающей модели (уравнения, неравенства или их конструкций); Решение составленной модели; Исследование полученного результата.

31 Методические задачи, связанные с овладением учащимися методом «уравнений и неравенств» Обеспечить понимание учащимися сути метода и овладение ими действиями по применению метода; Обучить применению метода для решения различных видов задач (сюжетных, геометрических, прикладных).

32 Этапы процесса формирования метода «уравнений и неравенств» 1.Мотивационный этап (принятия учебной задачи) 2.Этап усвоения сути метода 3.Этап формирования компонентов метода 4.Этап обучения применению метода к типовым задачам (тип модели определен однозначно) 5.Этап обучения применению метода для решения широкого круга задач (формирование умения рационального выбора вида решающей модели)

33 Типы задач школьного курса математики, решаемые методом «уравнений и неравенств» Формирование умений решать задачи методом «уравнений и неравенств» осуществляется главным образом при решении сюжетных задач, среди которых по признаку «тип решающей модели» выделяют Задачи на составление уравнения; Задачи на составление неравенств; Задачи на составление систем уравнений; Задачи на составление систем неравенств; Задачи на составление комбинированных систем; Задачи на оптимизацию.

34 Мировоззренческое значение метода «уравнений и неравенств» Возможность установления межпредметных связей: при решении прикладных физических, экономических и т.п. задач –выбор решающей модели связан с предварительным установлением и использованием физических, экономических и т.п. свойств объектив и явлений, –появляется возможность показать проникновение математического знания в другие науки Возможность установления внутрипредметных связей: через выделения того общего, что связывает все методы и все составные части математики – алгебру, геометрию, начала математического анализа