Одношаговые методы решения дифференциальных уравнений

Если в один и тот же момент времени выполняются одновременно несколько операций обработки данных, то такие вычисления называются параллельными[1]. Потребность решения сложных прикладных задач с большим объемом вычислений и принципиальная ограниченность максимального быстродействия «классических» — по схеме фон Неймана — ЭВМ привели к появлению многопроцессорных вычислительных систем. Использование таких средств вычислительной техники позволяет существенно увеличивать производительность ЭВМ при любом существующем уровне развития компьютерного оборудования. При этом, однако, необходимо «параллельное» обобщение традиционной — последовательной — технологии решения задач на ЭВМ. Так, численные методы в случае многопроцессорных вычислительных систем должны проектироваться как системы параллельных и взаимодействующих между собой процессов, допускающих исполнение на независимых процессорах. Применяемые алгоритмические языки и системное программное обеспечение должны обеспечивать создание параллельных программ, организовывать синхронизацию и взаимоисключение асинхронных процессов.

Проблема создания высокопроизводительных вычислительных систем является одной из наиболее сложных научно-технических задач современности и ее решение возможно только при концентрации усилий многих талантливых ученых и конструкторов, предполагает использование всех последних достижений науки и техники и требует значительных финансовых инвестиций.

1. Типовые структуры линий связи параллельных ВС

Топология ВС – это способ соединения компьютеров в единую ВС.

К числу типовых топологий относят[2]:

— Линейка ( linear array or farm ) – представляет собой линейный массив процессоров (рис.1).

Рисунок 1 – Сеть процессоров с топологией линейка

Система, в которой каждый процессор имеет линии связи только с двумя соседними (с предыдущим и последующим) процессорами; такая схема является, с одной стороны, просто реализуемой, а с другой стороны, соответствует структуре передачи данных при решении многих вычислительных задач (например, при организации конвейерных вычислений);

— Кольцо ( ring ) – данная топология аналогична топологии линейка с тем учетом, что первый и последний компьютер соединены (рисунок 2). Связи в могут быть однонаправленными или двунаправленными. [6] Кольцевая структура сохраняет достоинства, а также сокращает максимальное расстояние между процессорами – n /2 [5].

Рисунок 2 – Сеть с топологией кольцо

— Решетка (2D-решетка, матрица, сетка – mesh) – система, в которой граф линий связи образует прямоугольную сетку, то есть процессоры расположены в виде правильной двумерной решетки и каждый процессор (кроме крайних) соединен с четырьмя соседями (рисунок 3)

Рисунок 3 – Сеть с топологией решетка

Достоинством такой схемы является простота, а недостаток состоит в том, что при обмене между отдаленными процессорами данные должны пройти через ряд промежуточных процессоров.

— Гиперкуб ( hypercube ) – данная топология представляет частный случай решетки, когда по каждой размерности сетки имеется только два процессора (то есть гиперкуб содержит n = 2 N процессоров при размерности N ).

Рисунок 4 – Сеть с топологией 3-х мерный гиперкуб

Также может быть схема соединения процессоров в четырехмерном кубе. Эта схема приведена на рисунке 5.

Рисунок 5 – Сеть с топологией 4-х мерный гиперкуб

Топология гиперкуб предоставляет возможность моделировать некоторые важные типы связей: линейка, кольцо, решетка.

— Клика или полный граф ( completely — connected graph or clique ) – система, в которой связи процессоров образуют полный граф.

Рисунок 6 – Сеть с топологией клика

— Звезда ( star ) – система, в которой все процессоры имеют линии связи с некоторыми управляющим процессором (рисунок 7). Данная топология является эффективной при организации централизованных схем параллельных вычислений.

Рисунок 7 – Сеть с топологией звезда

— «Толстое дерево» («fat-tree», hypertree) – архитектура процессоры в которой локализованы в листьях дерева, в то время как внутренние узлы дерева скомпонованы во внутреннюю сеть. Поддеревья могут общаться между собой, не затрагивая более высоких уровней сети. (рисунок 8, 9)

Рисунок 8 – Сеть с архитектурой «Fat-tree»

Рисунок 8 – Сеть с архитектурой «Fat-tree» (вид сверху)

При этом данная топология является наиболее эффективной.

Реальные высокопроизводительные параллельные вычислительные системы обычно используют несколько различных схем соединения процессоров. Это позволяет сочетать лучшие качества известных топологий и минимизировать недостатки. А также, поскольку способ соединения процессоров друг с другом больше влияет на производительность кластера , чем тип используемых в ней процессоров, то может оказаться более целесообразным создать систему из большего числа дешевых компьютеров, чем из меньшего числа дорогих[8].

Решение различных прикладных задач требует решения обыкновенных дифференциальных уравнений или систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка. Сокращение времени решения, а, следовательно, и времени моделирования, возможно при использовании параллельных вычислительных систем, эффективность работы которых существенно зависит от характеристик применяемых параллельных алгоритмов.

2. Численные методы решения задач Коши для ОДУ

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение вида [3] (в него входят: независимая переменная t, неизвестная x и ее производные по t )

где, как правило, обозначается значения неизвестной функции буквой x, независимой переменной — t (и интерпретировать ее как время), производных от x по t — x’, x», . x(m). Также используется сокращенное обозначение J(m)x = (x, x’, . x(m)) — этот вектор называют струей, или джетом m-го порядка функции x в точке t. В дифференциальные уравнения может входить также набор C = (C1, C2, . Cp) произвольных постоянных (параметров) [9].

В свою очередь, порядком ОДУ называется порядок старшей производной искомой функции.

Общим интегралом уравнения называют функцию , связывающую независимую переменную t, искомую функцию x(t) и n констант интегрирования с помощью уравнения

т.е. решение x(t) входитнеявным образом, причем количество констант интегрирования равно порядку ОДУ

Общим решением ОДУ называется функция

связывающая независимую переменную t и n констант интегрирования C i , т.е. решение x(t) определяется явным образом.

Для определения констант интегрирования С i задаются дополнительные условия в количестве, равном количеству констант интегрирования или порядку ОДУ.

Если в дополнительные условия подставить исходное уравнение и решить полученную систему относительно С i , а затем подставить в общий интеграл, то получим частное решение или частный интеграл

.

Аналогичные процедуры с общим решением (3) дают частный интеграл

Если все дополнительные условия задаются в одной точке x 0 , то совокупность ОДУ и дополнительных условий называют задачей Коши для рассматриваемого ОДУ. В этом случае дополнительные условия называют начальными условиями.

Если дополнительные условия задаются более чем в одной точке, то совокупность ОДУ и дополнительных условий называют краевой задачей Коши для рассматриваемого ОДУ, а дополнительные условия называют граничными или краевыми условиями.

3. Многошаговые методы решения задач Коши для ОДУ

Методы решения ОДУ бывают одношаговые и многошаговые. К одношаговым относятся: метод Эйлера, метод Рунге – Кутты и др., а к многошаговым: линейные многошаговые разностные методы, в том числе методы Адамса-Башфорта и методы Адамса-Мултона.

В многошаговых методах повышение точность вычисления происходит за счет использования информации о поведении решения на предыдущих шагах.

Общая схема построения m-шаговых разностных методов, используемых для приближенного решения задачи Коши [4]

(1)

выглядит следующим образом

(2)

где — числовые коэффициенты, не зависящие от n, причем .Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение через найденные ранее значения .

Наиболее простые и наиболее часто встречающиеся вычислительные правила для многошаговых методов имеют вид:

(3)

Среди правил (5) особенно широко известны явные (экстраполяционные) при и неявные (интерполяционные) при методы Адамса.

3.1 Явные многошаговые методы Адамса-Башфорта

Все m –шаговые методы Адамса, полученные из формулы (3), положив в ней получили название явные методы Адамса-Башфорта или э кстраполяционные методы Адамса

(4)

Определить коэффициенты формулы (4) можно следующим образом. Пусть известно приближенное решение в m узлах сетки . Следовательно, в этих точках отрезка известно и значение правой части дифференциального уравнения (1) при i=n-m+1, . n-1,n, причем будет уже функцией только одной переменной . Заменим в (6) функцию интерполяционным многочленом , например, многочленом Ньютона и вычислим значение , проинтегрировав (1) на отрезке . Находим

(5)

Проводя интегрирование, получим разностную схему для решения дифференциального уравнения. Порядок схемы определяется величиной остаточного члена интерполяционного полинома. По существу, интерполяционный многочлен в формуле (5) используется вне области, т.е. в данном случае это экстраполяционный многочлен. Поэтому полученный таким образом метод часто называют экстраполяционным методом Адамса — Башфорта. Получим формулы Адамса — Башфорта для различного числа точек m. Зададим таблицу , заданных значений приближенного решения, по которым можно вычислить значения и составить таблицу .

Рассмотрим случай при m =2. В этом случае соответствующий многочлен Ньютона будет иметь вид:

Подставив его в формулу (7) мы получим:

А после интегрирования формула для вычисления приближенного решения будет иметь вид:

3. 2 Неявные многошаговые методы Адамса-Мултона

Неявные m-шаговые методы Адамса определяются формулой (6) при . Их также называют интерполяционные методы Адамса-Мултона.

(6)

Построение интерполяционных m- шаговых методов Адамса-Мултона может быть осуществлено совершенно аналогично случаю экстраполяционных формул. Для этого следует использовать интеграл (5) , в котором интерполяционный многочлен построен по следующим узлам интерполяции .

Приведем интерполяционные формулы Адамса различных порядков точности:

двухшаговый неявный разностный метод Адамса- Мултона

(7)

трехшаговый неявный разностный метод Адамса – Мултона

(8)

Определение порядка аппроксимации неявных методов Адамса-Мултона выполняется аналогично определению невязки методов Адамса-Башфорта

Погрешность аппроксимации трех шагового метода Адамса – Мултона равна

Заметим, что во всех приведенных выше интерполяционных формулах Адамса значение неизвестно, так как само пока является неизвестным. Следовательно, интерполяционные методы Адамса определяют только неявно. Так, например, интерполяционная формула второго порядка точности

(9)

действительно является уравнением относительно неизвестного значения . Поэтому интерполяционный метод Адамса называют неявным.

На практике обычно не решают уравнение (9), а используют совместно явную и неявную формулы (метод Адамса-Бошфорта-Мултона), что приводит к методу прогноза и коррекции. Одним из широко используемых методов прогноза и коррекции является объединение методов Адамса четвертого порядка точности

(10)

При такой последовательности вычислений этот метод является явным

4 Параллельные методы численного решения задачи Коши для ОДУ

В данной главе будут рассмотрены основы распараллеливания одношаговых и многошаговых алгоритмов методов решения задачи Коши для ОДУ [5].

Для простоты понимания и вывода формул, будем рассматривать решение задачи Коши для одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Множество M точек равномерной сетки , m = и t m =T с шагом ? разобьем на N блоков, содержащих к точек каждый, при этом k NхM. В каждом блоке введем номер точки i = и обозначим через t n , i точку n блока с номером i. Точку t n ,0 назовем началом блока n, а t n , k — концом блока. Очевидно, что имеет место t n , k = t n +1,0 . Условимся начальную точку t 0 = t 1,0 в блок не включать. При численном решении задачи Коши для каждого следующего блока новые k значений функции вычисляются одновременно. Поэтому блочные методы особенно удачно реализуются на параллельных вычислительных системах.

В общем случае уравнения многошаговых разностных методов для блока из k точек при использовании вычисленных значений приближенного решения в m предшествующих блоку узлах, с учетом введенных выше обозначений можно записать в виде:

, , n =1,2,…

5 Оценка параллелизма многошаговых блочных методов

Для оценки ускорения m -шагового k -точечного блочного метода сравним время его выполнения на мультипроцессорной системе со временем выполнения алгоритма m -шагового метода Адамса-Башфорта на однопроцессорной ЭВМ. [5] Метод Адамса-Башфорта можно рассматривать как многошаговый одноточечный блочный метод. Последовательное k -кратное применение формул Адамса-Башфорта позволяет вычислить приближенное решение в тех же k узлах блока, в которых параллельно за k итераций может быть вычислено решение m -шаговым k -точечным блочным методом. В этом случае время вычисления будет приблизительно одинаково. Точность приближенного решения, полученного m -шаговым k -точечным блочным методом, имеет порядок O( , а точность приближенного решения, полученного по m шаговой формуле Адамса-Башфорта, имеет порядокO( . Поэтому для получения решения с одинаковой точностью для метода Адамса-Башфорта надо, чтобы шаги сетки для метода Адамса-Башфорта и m -шагового k -точечного блочного метода удовлетворяли условию

Здесь шаг сетки решения задачи методом Адамса-Башфорта, а шаг сетки решения этой же задачи. Если , например, шаг для решения задачи 4 -шаговым 4 -точечным блочным методом выбран равным =0.01, то для обеспечения той же точности решения методом Адамса-Башфорта необходимо взять шаг =0.0063.В этом случае время решение задачи m -шаговым k -точечным блочным методом будет меньше в 16 раз времени решения методом Адамса-Башфорта. В приведенных здесь оценках не учитывалось время обменов между процессорами при решении на линейке.

ЭВМ и сравним времена решения задачи m -шаговым k -точечным блочным методом на однопроцессорной линейке k процессоров . Закрепим за каждым узлом блока процессор. Используя обозначения, введенные в п. 7.3. получим для времени вычисления на одном процессоре с локальной точностью O( во всех k узлах блока по формулам

Время параллельного вычисления приближенных значений решения на линейке из процессоров с той же точностью для всех узлов блока составит

Ускорение параллельных многоточечных алгоритмов можно вычислиь по формуле

Если учитывать только время вычислений правой части уравнений, т.к. времена выполнения арифметических операций и обмена значительно меньше времени вычисления правой части, то ускорение k точечного многошагового параллельного алгоритма можно считать приближенно равным

и эффективность будет равна

Отсюда следует, что при решении на однопроцессорной ЭВМ решение m -шаговым k -точечным блочным методом потребует меньше времени, чем решение этой же задачи соответствующим методом Адамса — Башфорта.

Выводы

В данный момент все чаще и чаще приходится касаться вопросов вычислительной мощности систем. Одним из способов повышения этой мощности является организация параллельных систем.

В данной работе рассмотрены параллельные алгоритмы решения задачи Коши, как многошаговых, так и одношаговых. Повышение производительности параллельных алгоритмов происходит за счет одновременного вычисления нескольких значений. В свою очередь повышение точности вычислений многошаговых методов происходит за счет учета найденных решений в нахождении новых. Т.о. параллельные многошаговые методы обладают высокой производительностью и высокой точностью вычислений.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бейбалаев В.Д.

В работе получены формулы для приближенного вычисления производной дробного порядка и раз- работаны численные одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциально- го уравнения с производной дробного порядка Caputo. Доказана сходимость полученных методов.

Видео:Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Бейбалаев В.Д.

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Текст научной работы на тему «ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА»

УДК 517.958:536.71 В.Д. Бейбалаев

Одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка

Дагестанский государственный университет, kaspij_03@mail.ru

В работе получены формулы для приближенного вычисления производной дробного порядка и разработаны численные одношаговые методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с производной дробного порядка Caputo. Доказана сходимость полученных методов.

Ключевые слова: численный метод, аппроксимация, фрактал, фрактальная среда, дифференциальное уравнение, устойчивость.

In the article formulas for the approached calculation of a derivative of a fractional order are received and numerical single-step methods of the decision of a problem of Koshi are developed for the ordinary differential equation from a derivative of fractional order Caputo. Convergence of the received methods is proved.

Keywords: numerical methods, approximation, fractal, fractal structure, differential equations, stability.

Развитие прикладных аспектов математического аппарата, интегралов и производных дробного порядка представляет интерес не только с точки зрения создания адекватных математических моделей для решения практических задач, но и с точки зрения развития самой математики интегродифференцирования дробного порядка. В отличие от традиционного подхода, когда дляколичественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений,применение аппарата интегродифференцирования позволяет использовать однопараметрический континуумдифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной.

В настоящее время для решения дифференциальных уравнений дробного порядка используются как аналитические, так и численные методы. В связи с большими трудностями, возникающими при поиске аналитических решений уравнений с дробными производными, в данной статье предпринимается попытка разработки численных методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка. Численным методам решения уравнений с производными дробного порядка посвященыработы 10.

1. Приближенное вычисление производной дробного порядка

Пусть u(t) е Cn ([0, T]). Тогда производная дробного порядка Caputo от функции u(t) задается равенством [3]

CD0tu(t) =-1-f u(n)(s) 1 ds, (1)

0t w r(n — a)0(t — s)a-n+1

где п -1 ((к ) + 0(Т 4-а ).

Следовательно, разностная аппроксимация (5) производной дробного порядка имеет порядок точности 4 — а .

Рассмотрим достаточное условиесуществования производной дробного порядка

п>(-) =-1-Г—)» Г-и(я) — — Римана — Лиувилля [2].

Пусть функция и(-) непрерывна на [0, Т] вместе со своими производными до порядка т -1 включительно, причем и(т)(-) е Д0, Т]. Тогда для любого а е (0; т] производная ) существует. Кроме того, если а е (п -1; п], то почти всюду на [О, Т] имеет место представление

О0>(-) = X и°)(0) • -*-а +-1-Г и(п)(я) , ёя .(6)

0- г=0Г(1 + / — а) Г(п — а)0(- — я)а-п+1

Производную Римана — Лиувилля (6) на каждом частичном отрезке [-к, -к+1 ] можно задать равенством

иа , Л и()(-к) , V-а 1 V и(п)(я) . (7) 1д0;и(-)|, = у-• (-, +1 —ку а +- г-2—— .(7)

-ю)к .-=0 г(1 +; — а) ^к+1 к; Г(п — а) ¡к (-к+1 — я)а-п+1

В правой части равенства (7), заменяя и(г) и и(п) разностными выражениями

v 0′ ,ГоГ(1 +1 — а)та (п — а)Г(п — а)та

где п -1 (‘) = /(‘, и), ‘ > 0, (10) и(0) = и0 .(11)

Задачу (10), (11) будем решать численным методом. Для этого введем по переменному’ равномерную сетку с шагом т > 0, то есть рассмотрим множество точек

Щ = . Обозначим через и(‘) точное решение задачи (10)-( 11), а через уп = у(‘п) — приближенное решение.

Воспользовавшись равенством (4), уравнение (10) заменим разностным уравнением

= f (tn, Уп), n = 0,1, 2. (12)

Решение разностного уравнения (12) можно находить явным образом по рекуррентной формуле

Уп+1 = Уп +Г(2 — а)та/(‘п, Уп), п = 0,1, 2. (13)

Формула (13) является обобщеннойформулой Эйлера. В случае а = 1 в (13) мы получаем формулу Эйлера: уи+1 = уи + т • /(‘п,уи), п = 0,l, 2. .

Фиксируем точку ‘ и построим последовательность сеток Щ, таких, что т ® 0 и ‘п = пт = ‘ .

Определение 1 [1]. Говорят, что метод (13) сходится в точке ‘ , если |уи — и(‘п) ® 0 при т ® 0.

Определение 2 [//.Говорят, что метод (13) имеетр-тый порядок точности, если существует число р > 0, такое, что|уп -и(‘п) = 0(тр) прит ® 0 .

Обозначим через 1п = уп — и (‘п) погрешность метода. Подставляя уп = + ип в (12), получим:

Г(2 — а)та п,ип ‘п/ Г(2 — а)та

Представим правую часть равенства (14) в виде суммы у^ + у (п2), где

у(1) =—^ — ип + /(- , и ) ,(15)

Уп2) = /(-п, ип + ^) — /(-п, ип). (16)

Функция У п1> называется невязкой, или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (12) на решение исходного уравнения (14).

Пусть и» (-) ограничена. Тогда функция у п2) = /(-„, ип + 2п ) — /(-„, ип ) обращается в нуль, если правая часть / не зависит от решения и(-). По формуле конечных приращений имеем

Уп2) =5- (-п, ип + в • ) • ,0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для невязки у V = — Г^1 — % + ^ [/ (-п ‘ Уп ) + / (-п+1, Уп+1)] Г (2 — а)Т 2

справедливо разложение (1) и(-п + т)-и(-п) 1 г . и'(? ) Т и»(-п)

Г(2 — а )та 2й п п п+1 п+1 Г(2 — а)та-1 2 Г(2 — а)та-1 +о(т з-а)+1 [соа,и(-п )+спа-и(-п+1)]=-соа-и(-п) — 2 соа0-и >(-„)+о(т з-а) + ,

+1 Кх?п) +сод? п)+т ^соа-и'(-п )]=о(т з-а)

т.е. уп1 = 0(т3 а). Таким образом, метод (18) имеет 3 — а порядок аппроксимациии, следовательно, имеет порядок точности 3 — .

Формула (18) является обобщенной формулой Эйлера — Коши.

Уп+1 = Уп + Г(2 2а)Т» [/(-п, Уп) + /(-п + Т, Уп + Г(2 — а)та/(-п, Уп)],(18)

4. Сходимость одношаговых методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с производными дробного порядка

Докажем сходимость предложенных методов (12) и (17). Пусть и (‘п) значение точного решения в точке ‘п,уп — значение приближенного решения, полученное по формулам (17). Тогда 2п = уп — и(‘п) -погрешность метода. Имеем:

уп+1 » уп =1 [к1(у) + к2(у)], (19) Г(2 — а)та 211 ^

где к1( у) = / (‘п. уп К

к2 (у) = /(‘п + т, уп +Г(2 — а)та/(‘п, уп)) .(20)

Подставим в левую часть уравнения (19) вместо уп и уп+1 выражения ип+1 + хп+1 и ип + , а в правой части этого уравнения добавим и вычтем сумму 2[к1(и) + к2(и)] , где

к2(и) = /(‘п + т, «п +Г(2 — а)та/(‘п, «п)) .(21) Тогда уравнение (19) примет вид:

уЫ =—»п+1 -«п +1[к1 (и) + к2(и)] (23) п Г(2 — а)та 211 , (23)

уп2) = 2 Е (к (у) — к, (и)). (24)

Равенство (22) является уравнением погрешности и оно выполняется для всех п = 0, 1, 2, . Т. к. начальное значение у0 = и0 задается точно, то = 0. Будем считать, что задача (10)—(11) решается на ограниченном отрезке времени 0 Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Видео:Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x):

, здесь y (n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная.

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

(6.1)

Именно такая форма записи принята в качестве стандартной при рассмотрении численных методов решения ОДУ.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно функции y(x) и всех ее производных.

Например, ниже приведены линейные ОДУ первого и второго порядков

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных констант C₁ , C₂ , …, C_n

Это очевидно следует из того, что неопределенный интеграл равен первообразной подынтегрального выражения плюс константа интегрирования

Так как для решения ДУ n -го порядка необходимо провести n интегрирований, то в общем решении появляется n констант интегрирования.

Частное решение ОДУ получается из общего, если константам интегрирования придать некоторые значения, определив некоторые дополнительные условия, количество которых позволяет вычислить все неопределенные константы интегрирования.

Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференциального уравнения подразумевает получение искомого решения (функции y(x)) в виде выражения от элементарных функций. Это возможно далеко не всегда даже для уравнений первого порядка.

Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n -го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):

Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y .

Множество значений абсцисс в которых определяется значение функции, называют сеткой, на которой определена функция y(x) . Сами координаты при этом называют узлами сетки. Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки, в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки или шагом интегрирования дифференциального уравнения

или , i = 1, …, N

Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n . Для уравнений первого порядка – одно, для второго — 2 и т.д. В зависимости от способа их задания при решении дифференциальных уравнений существуют три типа задач:

· Задача Коши (начальная задача): Необходимо найти такое частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке:

то есть, задано определенное значение независимой переменной (х₀) , и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х₀) называется начальной. Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x₀, y₀)

Такого рода задача встречается при решении ОДУ, которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени (t = 0) , и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени (t) . В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.

· Краевая задача. В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка. Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными условиями (заданы значения функции в двух различных точках):

· Задача Штурма-Лиувиля (задача на собственные значения). Задачи этого типа похожи на краевую задачу. При их решении необходимо найти, при каких значениях какого-либо параметра решение ДУ удовлетворяет краевым условиям (собственные значения) и функции, которые являются решением ДУ при каждом значении параметра (собственные функции). Например, многие задачи квантовой механики являются задачами на собственные значения.

Численные методы решения задачи Коши ОДУ первого порядка

Рассмотрим некоторые численные методы решения задачи Коши (начальной задачи) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Запишем данное уравнение в общем виде, разрешенном относительно производной (правая часть уравнения не зависит от первой производной):

(6.2)

Необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где есть значение функции y(x) в начальной точке x₀.

Преобразуем уравнение умножением на d x

И проинтегрируем левую и правую части между i -ым и i+ 1-ым узлами сетки.

(6.3)

Мы получили выражение для построения решения в i+1 узле интегрирования через значения x и y в i -ом узле сетки. Сложность, однако, заключается в том, что интеграл в правой части есть интеграл от неявно заданной функции, нахождение которого в аналитическом виде в общем случае невозможно. Численные методы решения ОДУ различным способом аппроксимируют (приближают) значение этого интеграла для построения формул численного интегрирования ОДУ.

Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим методы Эйлера, Рунге-Кутта и прогноза и коррекции. Они достаточно просты и дают начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения задачи Коши.

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x ) переменных между узлами равномерной сетки:

где y_i+1 это искомое значение функции в точке x_i+1 .

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить y_i+1 , если известно y_i в точке х_i :

(6.4)

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в (6.3) в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования — формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения (6.2) следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=x_i — , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=x_i .

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

,

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=x_i . Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования:

Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x₀ и y₀ можно вычислить

Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h) по x на отрезке [x₀, x_N]. Ошибка в определении значения y(x_i) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).

При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок [x_i, x_i+1] слишком велик, то каждый участок [x_i, x_i+1] разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.

Используя метод Эйлера, построить приближенное решение для следующей задачи Коши:

На сетке с шагом 0,1 в интервале [0, 1] (6.5)

Данное уравнение уже записано в стандартном виде, резрешенном относительно производной искомой функции.

Поэтому, для решаемого уравнения имеем

Примем шаг интегрирования равным шагу сетки h = 0,1. При этом для каждого узла сетки будет вычислено только одно значение ( N=1 ). Для первых четырех узлов сетки вычисления будут следующими:

Полные результаты (с точностью до пятого знака после запятой) приведены в таблице 1 в третьей колонке — h =0,1 ( N =1). Во второй колонке таблицы для сравнения приведены значения, вычисленные по аналитическому решению данного уравнения .

Во второй части таблицы приведена относительная погрешность полученных решений. Видно, что при h =0,1 погрешность весьма велика, достигая 100% для первого узла x =0,1.

Таблица 1 Решение уравнения (6.5) методом Эйлера (для колонок указан шаг интегрирования и число отрезков интегрирования N между узлами сетки)

Относительные погрешности вычисленных значений функции при различных h

Уменьшим шаг интегрирования вдвое, h = 0.05, в этом случае для каждого узла сетки вычисление будет проводиться за два шага ( N =2). Так, для первого узла x =0,1 получим:

И так далее, до конца отрезка.

Из таблицы 1 (четвертая колонка, N =2) видно, что погрешность решения резко снизилась, примерно вдвое, хотя и осталась по-прежнему, значительной.

При шаге интегрирования h =0,025 для каждого узла сетки необходимо выполнить 4 вычисления по формуле Эйлера в промежуточных точках ( N =4).

(Для других узлов значения приведены в таблице 1, колонка N =4)

В таблице 1 приведены для сравнения вычисления для некоторых других значений N , вплоть до 512. Видно, что точность решения возрастает весьма медленно при уменьшении шага интегрирования, необходимо брать очень маленький шаг для достижения приемлемой точности (и, следовательно, много раз вычислять значение F(x,y)) . Поэтому метод Эйлера практически не используется в вычислительной практике.

Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна.

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования – формулой трапеций.

(6.6)

Данная формула оказывается неявной относительно y_i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравением относительно y_i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначи и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы Эйлера:

,

которое затем использовать при вычислении по (6.6).

Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений

(6.7)

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Подход, использованный в методе Гюна, используется для построения так называемых методов прогноза и коррекции, которые будут рассмотрены позже.

Проведем вычисления для уравения (6.5) с помощью метода Гюна.

При шаге интегрирования h =0,1 в первом узле сетки x₁ получим:

Что намного точнее значения, полученного методом Эйлера при том же шаге интегрирования. В таблице 2 ниже приведены сравнительные результаты вычислений при h = 0,1 методов Эйлера и Гюна.

Таблица 2 Решение уравнения методами Эйлера и Гюна

Отметим существенное увеличение точности вычислений метода Гюна по сравнению с методом Эйлера. Так, для узла x =0,1 относительное отклонение значения функции, определенного методом Гюна, оказывается в 30 (!) раз меньше. Такая же точность вычислений по формуле Эйлера достигается при числе отрезков интегрирования N примерно 30. Следовательно, при использовании метода Гюна при одинаковой точности вычислений понадобится примерно в 15 раз меньше времени ЭВМ, чем при использовании метода Эйлера.

Проверка устойчивости решения

Решение ОДУ в некоторой точке x_i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y_i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y_i) – с шагом интегрирования h и при уменьшенной (например, двое) величине шага

В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования ( ε – наперед заданная малая величина)

Такая проверка может осуществляться и для всех решений на всем интервале значений x. Если условие не выполняется, то шаг снова делится пополам и находится новое решение и т.д. до получения устойчивого решения.

Дальнейшее улучшение точности решения ОДУ первого порядка возможно за счет увеличения точности приближенного вычисления интеграла в выражении (6.3).

Мы уже видели, какое преимущество дает переход от интегрирования по формуле прямоугольников (метод Эйлера) к использованию формулы трапеций (метод Гюна) при аппроксимации этого интеграла.

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка — широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [ x_i+1 x_i ]

тогда можно переписать так:

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции y_i+h/2 и y_i+1 . Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты третьего порядка — РК3 (погрешность порядка h 3 ):

(6.8)

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка- РК4 (погрешность порядка h 4 ):

(6.9)

Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.

Используя алгоритм Рунге-Кутты третьего (6.8) и четвертого (6.9) порядков решить задачу (6.5) с шагом h =0.1:

Для алгоритма третьего порядка (для узла x =0.1) вычисления таковы:

Для алгоритма четвертого порядка (для узла x =0.1) вычисления таковы:

Приведем таблицу решения с шагом интегрирования h =0,1 методов Рунге-Кутты 3-го (РК3) и четвертого (РК4) порядков на интегрвале [0,1] и их относительные отклонения от точного решения.

Как видно, точность решения, полученного методом Рунге-Кутты четвертого порядка, намного превышает точность решения, полученного методом Гюна и методом Рунге-Кутты 3-го порядка (сравнте с данными Таблицы 2). При шаге h = 0,1 он позволил точно определить четыре значащие цифры решения, тогда как для достижения такой точности с помощью метода Эйлера необходимо взять h = 0,0001, что требует более тысячи (. ) вычислений функции F(x,y ). При шаге h = 0,05 точность решения в этом узле достигает шести значащих цифр.

Высокая точность, вместе с достаточной простотой реализации делает метод Рунге-Кутты четвертого порядка одним из весьма распространенных численных методов решения задачи Коши ОДУ и систем ОДУ первого порядка.

Рассмотренные ранее методы (Эйлера, Гюна, Рунге-Кутты) используют значение функции на одном предшествующем шаге, поэтому они относятся к так называемым одношаговым методам. Точность вычислений можно увеличить, если использовать при нахождении решения в некотором узле x_i информацию о значениях функции, полученных в нескольких ( k ) предыдущих узлах сетки интегрирования (x_i-1, x_i-2 … x_i-k ).

Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени (k-1) — , который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению (6.3). Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:

,

где λ_l – квадратурные коэффициенты.

Очевидно, что при k =1 в качестве частного случая получается уже известная нам формула Эйлера. Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.

Полученное таким образом семейство формул называется явной k -шаговой схемой Адамса (методы Адамса-Башфорта).

Например, четырехшаговая явная формула Адамса может быть записана так:

Если для построения интерполяционного полинома использовать k узлов, начиная с x_i+1, то можно получить формулы интегрирования ОДУ, известные как неявные схемы Адамса (или методы Адамса-Моултона). Неявными эти формулы называются потому, что значение искомой функции в (i+1)-м узле — y_i+1 — оказывается одновременно и в левой и правой частях равенства.

Квадратурные коэффициенты для неявных методов Адамса приведены в таблице ниже.

Например, четырехшаговая неявная формула Адамса-Моултона имеет вид:

Видно, что это выражение является уравнением относительно y_i+1, так как y_i+1 встречается и в левой и правой его части. Однако обычно это уравнение не решается, а значение в правой части заменяется на рассчитанное по какой-либо явной формуле — например, формуле Адамса-Башфорта. Такой подход лежит в основе методов «прогноза-коррекции».

Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ — функции F(x,y ). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x₁, x₂, …, x_k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутты 4–го порядка.

Другой проблемой является невозможность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах.

Методы прогноза и коррекции

Несколько иной подход используется в многошаговых методах прогноза и коррекции. В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим 2-х шаговый метод прогноза и коррекции.
Пусть дано ДУ для которого известно значение функции в двух соседних узлах сетки:

Сначала строится прогноз значения в (i+1) -ом узле интегрирования по какой-либо грубой формуле (при k =2 это метод Эйлера) по предудущему узлу.

Затем это значение корректируется по более точной формуле, в данном случае – по формуле трапеций (неявная формула Адамса второго порядка)

В качестве решения в узле x_i+1 берется

где E_c — ошибка коррекции

Для того чтобы начать расчет методом прогноза и коррекции, необходимо знать значения функции в двух первых узлах сетки — x₀ и x₁ — . Обычно значение в узле x₁ определяется каким-либо одношаговым методом (методом Рунге-Кутты или Гюна).

На каждом шаге построения решения методом прогноза и коррекции требуется вычислить всего одно значение функции, а одно берется из предыдущего узла сетки. Поэтому он весьма экономичен по затратам времени вычислений при достаточной точности.

Погрешность описываемого метода пропорциональна h 3 (d

Аналогичные схемы прогноза-коррекции могут быть получены сочетанием явных (прогноз) и неявных (коррекция) формул Адамса для различных k. Так, например, широко применяется четырехшаговый метод прогноза-коррекции, в котором в качестве прогноза используется 4-х шаговая формула Адамса-Башфорта, а для коррекции — 4-х шаговая формула Адамса-Моултона. Погрешность такого метода пропорциональна

С использованием алгоритма прогноза и коррекции второго порядка решить ДУ в точке x₂ = 0,2 при h = 0,1 со следующими начальными значениями:

При h = 0,1 получаем

Аналитическое решение уравнения (с точностью до 9 знака после запятой) дает значение
y (0,2) =0,018730753. Относительная погрешность составляет 0,049%.

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений 1-го порядка

Системой M дифференциальных уравнений первого порядка в общем случае можно назвать следующую совокупность Обыкновенных дифференциальных уравнений:

,

Где есть некоторые функции независимой переменной х , причем правые части уравнений не зависят от производных y_i(x) , то есть все уравнения разрешены относительно производных функций.

Начальными условиями при решения задачи Коши для такой системы будут являться значение независимой переменной и значения всех M функций при этом значении:

Все описанные ранее методы решения задачи Коши для уравнений легко обобщаются на случай решения систем ДУ первого порядка. Формулы выбранного метода применяются последовательно к каждому уравнению системы уравнений для определения значения соответствующей функции. Из первого уравнения определяется значение y _{1 i} , из второго – y _{2 i} , …, из M -го — y_Mi .

В качестве примера рассмотрим применение метода Рунге-Кутты 4-го порядка для решения системы двух ОДУ первого порядка.

Адаптируем формулу Рунге-Кутты 4-го порядка для данной системы уравнений. Из первого уравнения будем вычислять значения функции u(x), а из второго – функции v(x) (это функции, чьи производные стоят в левой части соотетствующих уравнений):

Аналогично для второго:

С учетом вышесказанного, для расчета коэффициентов k_u0 — k_u3 используем правую часть первого уравнения ( F ₁), а для коэффициентов k_v0 — k_v3 — второго ( F₂). Кроме этого, для расчета приращения функции u используем коэффициенты k_u, а для расчета приращения функции v — k_v. Таким образом, коэффициенты рассчитываются по следующим формулам:

Модель «хищник-жертва»

Примером задачи, сводимой к системе нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, является задача «хищник — жертва» (модель Лóтки-Вольтéрры). Данная модель довольно широко применяется при описании временной зависимости объема популяций в биологических системах, при моделировании экономических и физических процессов.
Задача формулируется следующим образом. Пусть в системе в некоторый момент времени t имеются хищники (например, волки) в количестве v ( t ) и жертвы (например, зайцы) в количестве u ( t ). Модель «хищник — жертва» утверждает, что u ( t ) и v ( t ) удовлетворяют системе ОДУ первого порядка:

Где A , B , C и D – некоторые числовые константы.
Действительно, если зайцы имеют достаточно травы для питания, то скорость роста популяции будет прямо пропорциональна их числу (первое слагаемое в первом уравнении). Второе слагаемое описывает гибель зайцев при встрече с хищниками, так как вероятность их встречи равна произведению . Второе уравнение описывает изменение популяции хищников. Скорости роста популяции способствует их хорошее питание (первое слагаемое второго уравнения пропорционально вероятности встречи хищника и жертвы — ), а избыток хищников приводит к их гибели за счет голода (второе слагаемое).

Применим метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения полученной системы уравнений. Сравнивая решаемую систему и систему, записанную в стандартной форме, заметим, что:

Значения функций u и v находятся по уже известным формулам:

Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков

Задачу Коши для ОДУ второго порядка

,

можно свести к решению системы двух ДУ первого порядка, если ввести некоторую функцию

тогда и система примет вид

при начальных условиях

Аналогично, ОДУ порядка n сведется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка.

Движение тела под действием пружины
Рассмотрим некоторое материальное тело массой m , которое движется по горизонтальной поверхности (в общем случае – с трением) под действием пружины.

Сила упругого сжатия (растяжения) пружины описывается законом Гука и пропорциональна смещению тела от положения равновесия пружины ( x = 0):

k – коэффициент жесткости пружины.
Сила трения направлена всегда против движения тела и пропорциональна его скорости:

с – коэффициент трения.
Баланс сил, действующих на тело в каждый момент времени можно записать так:

С учетом того, что координата тела есть функция от времени, а скорость и ускорение – это первая и вторая производная координаты во времени, соответственно, получим:

Таким образом, изменение координаты тела от времени описывается ОДУ 2-го порядка, которое в стандартном виде записывается так:

Начальными условиями в данной задачи являются значения координаты тела и его скорости в начальный момент времени (t = 0):

Как было показано, ОДУ 2-го порядка сводится к системе двух уравнений 1-го порядка подстановкой:

Окончательно система ОДУ принимает вид:

с начальными условиями

Применим метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения полученной системы уравнений. Правые части уравненией имеют вид:

Из первого уравнения рассчитываем значения функции x ( t ), из второго – v ( t ).

Теперь запишем соответствующие выражения для расчета коэффициентов k _x0 – k _x3 и k _v0 — k _v3.

Решение других проблем, связанных с дифференциальными уравнениями – задачи с граничными условиями и задачи на собственные значения и функции в данном курсе не рассматриваются.

Химические задачи, сводящиеся к решению ДУ

Кинетика химических реакций

для которой k₁ и k₂ k₃ — константы скорости реакций:

Решение системы из четырех ДУ зависит от начальных значений концентраций веществ

и от констант скоростей реакций k₁, k₂ и k₃ .

🎦 Видео

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать