Однородные тригонометрические уравнения на егэ

ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения

13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

  • ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени ;
  • сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
  • научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
  • развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
  • стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.

II. Актуализация опорных знаний..

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

III. Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

IV. Усвоение новых знаний

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + Однородные тригонометрические уравнения на егэcosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

  • Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx Однородные тригонометрические уравнения на егэ0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Однородные тригонометрические уравнения на егэОднородные тригонометрические уравнения на егэ

Ответ: Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

  1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x.
  2. Если член asin 2 x в уравнении содержится (т.е. а Однородные тригонометрические уравнения на егэ0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos 2 x и последующим введение новой переменной.
  3. Если член asin 2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361 в)

3-я и 4-я группа решают № 363 в)

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника

№ 361в)
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx Однородные тригонометрические уравнения на егэ0, получаем
Однородные тригонометрические уравнения на егэ

№ 363в)
sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0
разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим
tg 2 x + tgx – 2 = 0
решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а 2 + а – 2 = 0
Д = 9
а1 = 1 а2 = –2
возвращаемся к замене

Однородные тригонометрические уравнения на егэОднородные тригонометрические уравнения на егэ

VI. Самостоятельная работа

  1. 2 cosx – Однородные тригонометрические уравнения на егэ2 = 0
  2. tg2x +1 = 0
  3. 2cos 2 x – 3cosx +1 = 0
  4. 3 sin 2 x + sinx cosx – 2 cos 2 x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

VII. Подведение итогов урока

  1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
  2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

VIII. Задание на дом

§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  1. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
  2. Единица измерения углов? (Радиан)
  3. Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
  4. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
  5. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
  6. Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
  7. Как называется верное равенство? (Тождество)
  8. Равенство с переменной? (Уравнение)
  9. Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
  10. Множество корней уравнения? (Решение)

пп
Фамилия имяДомашнее заданиеПрезентацияПознавательная активность
уч-ся
Решение уравненийСамостоятельная
работа
Оценка
1
2
3
4

Рейтинговая система оценки знаний

  • Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)
  • Презентация – 1балл
  • Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)
  • Решение уравнений 1 балл
  • Самостоятельная работа – 4 балла

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

За высокую активность ставится дополнительная оценка.

Видео:Как решать однородные тригонометрические уравненияСкачать

Как решать однородные тригонометрические уравнения

Материал по подготовке к ЕГЭ по теме:»Тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методический центр сектора дошкольного, общего и дополнительного образования

Муниципального бюджетного учреждения

«Городское управление народного образования»

МБОУ «Гимназия №2»

Данная работа может быть использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся к экзамену. В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора корней.

I . Важные моменты при решении тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений необходимо уметь вычислять значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Это возможно вычислять с помощью таблицы или единичной окружности.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Примеры использования единичной окружности.

arcsin = arccos = arctg = arcctg =

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

arctg (-1) = arcctg(-1) =

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

а rcsin(- ) =- arccos( )= arctg( )= — arcctg( ) =

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

а rcsin 0 = 0 arccos 0 = arctg 0 = 0

arcctg 0 = не существует

Тренировку по нахождению значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса можно провести, используя следующую таблицу.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать основные формулы.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

При решении тригонометрических уравнений (для упрощения тригонометрических выражений) иногда приходится использовать формулы приведения.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Тренировку можно произвести с помощью следующей таблицы.

II . Решение простейших тригонометрических уравнений.

Для удобства запоминания формул можно использовать следующую таблицу.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Примеры решения простейших тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

III . Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1.Приведение к квадратному уравнению.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

2.Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно тангенса или котангенса.

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , разделим обе части уравнения на cos 2 x

tg 2 x +4 tgx +3=0, пусть tgx = t , тогда t 2 +4 t +3=0.

Корнями этого уравнения являются числа -1 и -3.

3. Разложение на множители.

4. Введение вспомогательного угла.

sinx + cosx =2 разделим обе части уравнения на 2, получим

Однородные тригонометрические уравнения на егэтак как cos = и sin =

IV . Отбор корней тригонометрического уравнения.

При выполнении задания С-1 необходимо найти те корни уравнения, которые принадлежат заданному промежутку. Это можно сделать с помощью перебора или решения неравенства.

1.Решить уравнение: 2,5sin2x = 7 cos 2 x – 1,

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку х .

В данном уравнении отбор корней проведем перебором.

Для решения уравнения воспользуемся основным тригонометрическим формулой двойного угла для синуса и основным тригонометрическим тождеством. Получим уравнение

5sinxcosx = 7cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т . е . sin 2 x – 6cos 2 x+ 5sinxcosx = 0

Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 5tgx – 6 = 0.

Пусть tgx = t, тогда t 2 + 5t – 6 = 0, t = 1 или t = –6.

tgx = 1 или tg = –6;

Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку .

Если n =0, то x=. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если n =1, то x=. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если n =2, то x =. Ясно, что данный корень не принадлежит промежутку.

Если n = –1, то x = – не принадлежит промежутку .

Если k =0, то x= arctg (-6), x =- arctg 6 – не принадлежит промежутку .

Если k =1, то x= arctg (-6)+. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при k = 0 и k = 2, а, следовательно, при k = –1, –2,… k = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку .

2. Решить уравнение sin 2 x -2 cos 2 x =2 и указать корни, принадлежащие промежутку .

Используя формулу двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождеств. Получим уравнение sin 2 x =1.

Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку .

Составим и решим неравенства:

целых значений m удовлетворяющих неравенству нет.

n =1 удовлетворяет неравенству.

3.Необходимо обратить внимание на уравнения, содержащие деление.

Решите уравнение: а) . б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку .

б ) Если k =0, то х =. Данный корень не принадлежит промежутку.

Если k =-1, то х =. Данный корень не принадлежит промежутку.

Если k =-2, то х =. Данный корень принадлежит промежутку.

Если k =-3, то х =. Данный корень принадлежит промежутку.

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 507 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 36. Решение тригонометрических уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 23.05.2018
  • 334
  • 5

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 23.05.2018
  • 508
  • 7

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 22.05.2018
  • 7059
  • 133

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 10.05.2018
  • 515
  • 5

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 06.05.2018
  • 2500
  • 93

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 03.05.2018
  • 569
  • 4

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 03.05.2018
  • 4426
  • 259

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • 30.04.2018
  • 912
  • 21

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 14.06.2018 3504
  • DOCX 2.6 мбайт
  • 76 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Колобова Светлана Айратовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

  • На сайте: 4 года и 2 месяца
  • Подписчики: 3
  • Всего просмотров: 13690
  • Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Подготовка к ЕГЭ #87. Решение однородных тригонометрических уравненийСкачать

Подготовка к ЕГЭ #87. Решение однородных тригонометрических уравнений

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Однородные тригонометрические уравнения на егэ

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📽️ Видео

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.

Алгебра 10 класс (Урок№46 - Однородные тригонометрические уравнения.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№46 - Однородные тригонометрические уравнения.)

Однородные тригонометрические уравнения | Алгебра 10 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Однородные тригонометрические уравнения | Алгебра 10 класс #30 | Инфоурок

Однородные тригонометрические уравненияСкачать

Однородные тригонометрические уравнения

Метод замены и однородные уравнения - Задание №13 из ЕГЭ - Тригонометрические уравнения (часть 2)Скачать

Метод замены и однородные уравнения - Задание №13 из ЕГЭ - Тригонометрические уравнения (часть 2)

Однородные тригонометрические уравненияСкачать

Однородные тригонометрические уравнения

Решение однородных тригонометрических уравненийСкачать

Решение однородных тригонометрических уравнений

Однородные тригонометрические уравненияСкачать

Однородные тригонометрические уравнения

ЕГЭ 2017. Задание13 . Тригонометрические уравнения. Однородные уравнения.Скачать

ЕГЭ 2017. Задание13 . Тригонометрические уравнения. Однородные уравнения.

СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрияСкачать

СЕКРЕТНЫЙ ЛАЙФХАК С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #тригонометрия

5 задание ЕГЭ. 10 класс. Алгебра. Однородные тригонометрические уравненияСкачать

5 задание ЕГЭ. 10 класс. Алгебра. Однородные тригонометрические уравнения

3A Однородные тригонометрические уравнения первой степениСкачать

3A Однородные тригонометрические уравнения первой степени

Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Тригонометрические уравнения. Задание 12 | Профильная математика ЕГЭ 2023 | Умскул

Однородные тригонометрические уравнения и как их решатьСкачать

Однородные тригонометрические уравнения и как их решать

Однородные тригонометрические уравнения. Часть 13.11. Алгебра 10 классСкачать

Однородные тригонометрические уравнения. Часть 13.11. Алгебра 10 класс

Как решать С1. Урок 8. #ЕГЭ по математике 2014. Однородные тригонометрические уравнения.Скачать

Как решать С1. Урок 8. #ЕГЭ по математике 2014. Однородные тригонометрические уравнения.
Поделиться или сохранить к себе: