Видео:Однородное дифференциальное уравнениеСкачать
Уравнения с правой частью специального вида
Общее решение yОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения yОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого — либо частного решения yЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.
Функцию 
, где Pj(x) — некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если yj , j=1,2. m — решения уравнений L(y) = bj(x), то 
есть решение уравнения 
. Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e λx . В частности, если λ=α+βi — комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция
(1)
у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.
Теорема. Линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение
,
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать
7.1. Уравнения с правой частью специального вида
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
, (7.1)
Где 
, 
, …, 
, 
– вещественные числа.
Уравнение (7.1) можно проинтегрировать рассмотренным ранее методом вариации произвольных постоянных, который сводится к составлению и решению системы линейных уравнений относительно функций, а также к интегрированию этих функций. Таких трудоемких операций можно избежать в некоторых случаях благодаря особому виду уравнения (7.1).
Поскольку общее решение соответствующего однородного уравнения (5.1) мы уже умеем находить, то получение общего решения уравнения (7.1) в силу теоремы подраздела 6.2 сводится к нахождению какого-нибудь частного его решения. Оказывается, что эта задача решается весьма просто при некоторых специальных видах функции 
в правой части уравнения (7.1). Далее рассматриваются следующие случаи.
1. Уравнения с правой частью в виде полинома.
В этом случае правая часть уравнения (7.1) представима в виде
,
Где 
– многочлен степени 
с известными коэффициентами.
2. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты.
В данном случае правая часть уравнения (7.1) имеет вид
,
Где – многочлен степени с известными коэффициентами, 
– некоторое число.
3. Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции.
В этом случае правая часть уравнения (7.1) имеет один из видов:
, 
,
,
Где – многочлен степени с известными коэффициентами, 
и 
– многочлены известных степеней с известными коэффициентами, и 
– некоторые числа.
Для всех этих случаев на основании значений корней характеристического многочлена уравнения (7.1) и вида его правой части можно записать частное решение с точностью до коэффициентов входящих в него многочленов. Значения этих коэффициентов находятся путем составления и решения системы линейных алгебраических уравнений. Такой метод нахождения частного решения уравнения (7.1) называется Методом неопределенных коэффициентов.
Видео:4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать
Однородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m
Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).
Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида
где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.
Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:
- Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид
где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то
т. е. частное решение приобретает множитель x k .
Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:
где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.
Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.
Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:
- Если число α + ib не является корнем характеристического уравнения, то
где Q1 и Q2 — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю.
Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то
т. е. частное решение приобретает множитель x k .
ПРИМЕР 15.2. Найти общее решение уравнения
y′′ − 2y′ + y = 8e3x .
РЕШЕНИЕ. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y′′ − 2y′ + y = 0.
Так как его характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет корни
λ1,2 =1, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид
y C ex C xex = 1 + 2 .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая
часть является произведением числа и показательной функции e3x :
f (x) = 8e3x ⇒ α = 3, β = 0, s = 0.
При этом число α ±βi = 3 не является корнем характеристического урав-
нения. Поэтому частное решение y
неоднородного уравнения надо искать
в виде
y = Ae3x ,
где A – неизвестный коэффициент.
Имеем:
y′′ = 9Ae3x .
Подставим
y′′ в неоднородное уравнение и получим
9Ae3x − 2⋅3Ae3x + Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4A = 8 или A = 2.
Таким образом,
y = 2e3x – частное решение неоднородного уравне-
ния, а его общее решение имеет вид
( 1 2 )
y = C ex + C xex + 2e3x .
💡 Видео
Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
5. Однородные дифференциальные уравнения. Часть 2.Скачать
Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать
ЛНДУ II п. со спец. правой ч. (sin, cos)Скачать
19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать
7. ДУ. ЛНДУ с правой частью спец вида (4270 Берман Г.Н)Скачать
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка #calculus #differentialequation #maths #Скачать
Метод неопределенных коэффициентов для линейного ДУ со специальной правой частью (квазимногочленом)Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
