Однородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью (2 видео)

Уравнения с правой частью специального вида

Общее решение y_ОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения y_ОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого — либо частного решения y_ЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.

Функцию , где P_j(x) — некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если y_j , j=1,2. m — решения уравнений L(y) = b_j(x), то есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e λx . В частности, если λ=α+βi — комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

(1)

у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение

где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

7.1. Уравнения с правой частью специального вида

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

, (7.1)

Где , , …, , – вещественные числа.

Уравнение (7.1) можно проинтегрировать рассмотренным ранее методом вариации произвольных постоянных, который сводится к составлению и решению системы линейных уравнений относительно функций, а также к интегрированию этих функций. Таких трудоемких операций можно избежать в некоторых случаях благодаря особому виду уравнения (7.1).

Поскольку общее решение соответствующего однородного уравнения (5.1) мы уже умеем находить, то получение общего решения уравнения (7.1) в силу теоремы подраздела 6.2 сводится к нахождению какого-нибудь частного его решения. Оказывается, что эта задача решается весьма просто при некоторых специальных видах функции в правой части уравнения (7.1). Далее рассматриваются следующие случаи.

1. Уравнения с правой частью в виде полинома.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) представима в виде

Где – многочлен степени с известными коэффициентами.

2. Правая часть в виде произведения полинома и экспоненты.

В данном случае правая часть уравнения (7.1) имеет вид

Где – многочлен степени с известными коэффициентами, – некоторое число.

3. Правая часть в виде произведения полинома, экспоненты и гармонической функции.

В этом случае правая часть уравнения (7.1) имеет один из видов:

, ,

Где – многочлен степени с известными коэффициентами, и – многочлены известных степеней с известными коэффициентами, и – некоторые числа.

Для всех этих случаев на основании значений корней характеристического многочлена уравнения (7.1) и вида его правой части можно записать частное решение с точностью до коэффициентов входящих в него многочленов. Значения этих коэффициентов находятся путем составления и решения системы линейных алгебраических уравнений. Такой метод нахождения частного решения уравнения (7.1) называется Методом неопределенных коэффициентов.

Видео:Однородное дифференциальное уравнениеСкачать

Однородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель x k .

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:

где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.

Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель x k .

ПРИМЕР 15.2. Найти общее решение уравнения
y′′ − 2y′ + y = 8e3x .
РЕШЕНИЕ. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y′′ − 2y′ + y = 0.
Так как его характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет корни
λ1,2 =1, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид
y C ex C xex = 1 + 2 .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая
часть является произведением числа и показательной функции e3x :

f (x) = 8e3x ⇒ α = 3, β = 0, s = 0.
При этом число α ±βi = 3 не является корнем характеристического урав-
нения. Поэтому частное решение y

неоднородного уравнения надо искать
в виде

y = Ae3x ,
где A – неизвестный коэффициент.
Имеем:

y′′ = 9Ae3x .
Подставим

y′′ в неоднородное уравнение и получим
9Ae3x − 2⋅3Ae3x + Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4A = 8 или A = 2.
Таким образом,

y = 2e3x – частное решение неоднородного уравне-
ния, а его общее решение имеет вид
( 1 2 )
y = C ex + C xex + 2e3x .

📺 Видео

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

5. Однородные дифференциальные уравнения. Часть 2.Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать

ЛНДУ II п. со спец. правой ч. (sin, cos)Скачать

Метод неопределенных коэффициентов для линейного ДУ со специальной правой частью (квазимногочленом)Скачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка #calculus #differentialequation #maths #Скачать

7. ДУ. ЛНДУ с правой частью спец вида (4270 Берман Г.Н)Скачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать