Однородное волновое уравнение на отрезке

Видео:10. Волновое уравнение на отрезке. Сложные задачиСкачать

10. Волновое уравнение на отрезке. Сложные задачи

Основные типы уравнений математической физики

Однородное волновое уравнение на отрезке

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

Однородное волновое уравнение на отрезке,

Однородное волновое уравнение на отрезке

и уравнение Лапласа

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Уравнение колебаний струны.

Видео:5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать

5. Решение волнового уравнения на отрезке методом Фурье

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤xl оси Однородное волновое уравнение на отрезкеOx. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

Однородное волновое уравнение на отрезке

при начальных условиях

Однородное волновое уравнение на отрезке, Однородное волновое уравнение на отрезке,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

Однородное волновое уравнение на отрезке

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=xat, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

Однородное волновое уравнение на отрезке, Однородное волновое уравнение на отрезке,

Однородное волновое уравнение на отрезке,

Однородное волновое уравнение на отрезке,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству Однородное волновое уравнение на отрезке. Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

Однородное волновое уравнение на отрезке,

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

Однородное волновое уравнение на отрезке. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Однородное волновое уравнение на отрезке,

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Интегрируя последнее равенство, получим:

Однородное волновое уравнение на отрезке,

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Однородное волновое уравнение на отрезке

Однородное волновое уравнение на отрезке

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

Однородное волновое уравнение на отрезке

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение Однородное волновое уравнение на отрезкепри начальных условиях Однородное волновое уравнение на отрезке, Однородное волновое уравнение на отрезке.

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

Однородное волновое уравнение на отрезке

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

Однородное волновое уравнение на отрезке, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), Однородное волновое уравнение на отрезке. (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

Однородное волновое уравнение на отрезке.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

Однородное волновое уравнение на отрезке, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородное волновое уравнение на отрезкеи Однородное волновое уравнение на отрезке. (15)

Общее решение этих уравнений

Однородное волновое уравнение на отрезке,

Однородное волновое уравнение на отрезке,

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и Однородное волновое уравнение на отрезке.

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

Однородное волновое уравнение на отрезке,

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная Однородное волновое уравнение на отрезке, можем записать

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

Однородное волновое уравнение на отрезке(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

Однородное волновое уравнение на отрезке.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

Однородное волновое уравнение на отрезке. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

Однородное волновое уравнение на отрезке, 0


источники:

🎦 Видео

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.Скачать

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод Фурье

Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

Уравнение колебания струны. Решение методом Даламбера

Метод Фурье для волнового уравненияСкачать

Метод Фурье для волнового уравнения

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезке

4.1 Однородные волновые уравнения ГельмгольцаСкачать

4.1 Однородные волновые уравнения Гельмгольца

Уравнение из МФТИ Эпичный косякСкачать

Уравнение из МФТИ Эпичный косяк

Уравнение годаСкачать

Уравнение года

Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.

Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

Неоднородное уравнение колебания струны

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

8.2 Теплопроводность на отрезке. Сложные задачи.Скачать

8.2 Теплопроводность на отрезке. Сложные задачи.

Принцип максимума для уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

Принцип максимума для уравнения теплопроводности на отрезке

Уравнения математической физики. Одномерное волновое уравнение. Метод Фурье.Скачать

Уравнения математической физики. Одномерное волновое уравнение. Метод Фурье.

4.3 Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

4.3  Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямой
Поделиться или сохранить к себе: