Одна зависимая и несколько независимых переменных в уравнении регрессии

Видео:Множественная регрессия в ExcelСкачать

Введение в множественную регрессию

Рассматривая простую регрессию, мы сосредоточили внимание на модели, в которой для предсказания значения зависимой переменной, или отклика Y, использовалась лишь одна независимая, или объясняющая, переменная X. Однако во многих случаях можно разработать более точную модель, если учесть не одну, а несколько объясняющих переменных. По этой причине мы рассмотрим в этой заметке модели множественной регрессии, в которых для предсказания значения зависимой переменной используется несколько независимых переменных. [1]

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером: прогнозирование объемов продаж компании OmniPower. Представьте себе, что вы — менеджер по маркетингу в крупной национальной сети бакалейных магазинов. В последние годы на рынке появились питательные батончики, содержащие большое количество жиров, углеводов и калорий. Они позволяют быстро восстановить запасы энергии, потраченной бегунами, альпинистами и другими спортсменами на изнурительных тренировках и соревнованиях. За последние годы объем продаж питательных батончиков резко вырос, и руководство компании OmniPower пришло к выводу, что этот сегмент рынка весьма перспективен. Прежде чем предлагать новый вид батончика на общенациональном рынке, компания хотела бы оценить влияние его стоимости и рекламных затрат на объем продаж. Для маркетингового исследования были отобраны 34 магазина. Вам необходимо создать регрессионную модель, позволяющую проанализировать данные, полученные в ходе исследования. Можно ли применить для этого модель простой линейной регрессии, рассмотренную в предыдущей заметке? Как ее следует изменить?

Модель множественной регрессии

Для маркетингового исследования в компании OmniPower была создана выборка, состоящая из 34 магазинов с приблизительно одинаковыми объемами продаж. Рассмотрим две независимые переменные — цена батончика OmniPower в центах (Х₁) и месячный бюджет рекламной кампании, проводимой в магазине, выраженный в долларах (Х₂). В этот бюджет входят расходы на оформление вывесок и витрин, а также на раздачу купонов и бесплатных образцов. Зависимая переменная Y представляет собой количество батончиков OmniPower, проданных за месяц (рис. 1).

Рис. 1. Месячный объем продажа батончиков OmniPower, их цена и расходы на рекламу

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013

Интерпретация регрессионных коэффициентов. Если в задаче исследуются несколько объясняющих переменных, модель простой линейной регрессии можно расширить, предполагая, что между откликом и каждой из независимых переменных существует линейная зависимость. Например, при наличии k объясняющих переменных модель множественной линейной регрессии принимает вид:

где β₀ — сдвиг, β₁ — наклон прямой Y, зависящей от переменной Х₁, если переменные Х₂, Х₃, … , Х_k являются константами, β₂ — наклон прямой Y, зависящей от переменной Х₂, если переменные Х₁, Х₃, … , Х_k являются константами, β_k — наклон прямой Y, зависящей от переменной Х_k, если переменные Х₁, Х₂, … , Х_k-1 являются константами, ε_i — случайная ошибка переменной Y в i-м наблюдении.

В частности, модель множественной регрессии с двумя объясняющими переменными:

где β₀ — сдвиг, β₁ — наклон прямой Y, зависящей от переменной Х₁, если переменная Х₂ является константой, β₂ — наклон прямой Y, зависящей от переменной Х₂, если переменная Х₁ является константой, ε_i — случайная ошибка переменной Y в i-м наблюдении.

Сравним эту модель множественной линейной регрессии и модель простой линейной регрессии: Y_i = β₀ + β₁X_i + ε_i. В модели простой линейной регрессии наклон β₁ представляет собой изменение среднего значения переменной Y при изменении значения переменной X на единицу и не учитывает влияние других факторов. В модели множественной регрессии с двумя независимыми переменными (2) наклон β₁ представляет собой изменение среднего значения переменной Y при изменении значения переменной X₁ на единицу с учетом влияния переменной Х₂. Эта величина называется коэффициентом чистой регрессии (или частной регрессии).

Как и в модели простой линейной регрессии, выборочные регрессионные коэффициенты b₀, b₁, и b₂ представляют собой оценки параметров соответствующей генеральной совокупности β₀, β₁ и β₂.

Уравнение множественной регрессии с двумя независимыми переменными:

(3) = b₀ + b₁X_1i + b₂X_2i

Для вычисления коэффициентов регрессии используется метод наименьших квадратов. В Excel можно воспользоваться Пакетом анализа, опцией Регрессия. В отличие от построения линейной регрессии, просто задайте в качестве Входного интервала Х область, включающую все независимые переменные (рис. 2). В нашем примере это $C$1:$D$35.

Рис. 2. Окно Регрессия Пакета анализа Excel

Результаты работы Пакета анализа представлены на рис. 3. Как видим, b₀ = 5 837,52, b₁ = –53,217 и b₂ = 3,163. Следовательно, = 5 837,52 –53,217X_1i + 3,163X_2i , где Ŷ_i — предсказанный объем продаж питательных батончиков OmniPower в i-м магазине (штук), Х_1i — цена батончика (в центах) в i-м магазине, Х_2i — ежемесячные затраты на рекламу в i-м магазине (в долларах).

Рис. 3. Множественная регрессия исследования объем продажа батончиков OmniPower

Выборочный наклон b₀ равен 5 837,52 и является оценкой среднего количества батончиков OmniPower, проданных за месяц при нулевой цене и отсутствии затрат на рекламу. Поскольку эти условия лишены смысла, в данной ситуации величина наклона b₀ не имеет разумной интерпретации.

Выборочный наклон b₁ равен –53,217. Это значит, что при заданном ежемесячном объеме затрат на рекламу увеличение цены батончика на один цент приведет к снижению ожидаемого объема продаж на 53,217 штук. Аналогично выборочный наклон b₂, равный 3,613, означает, что при фиксированной цене увеличение ежемесячных рекламных затрат на один доллар сопровождается увеличением ожидаемого объема продаж батончиков на 3,613 шт. Эти оценки позволяют лучше понять влияние цены и рекламы на объем продаж. Например, при фиксированном объеме затрат на рекламу уменьшение цены батончика на 10 центов увеличит объем продаж на 532,173 шт., а при фиксированной цене батончика увеличение рекламных затрат на 100 долл. увеличит объем продаж на 361,31 шт.

Интерпретация наклонов в модели множественной регрессии. Коэффициенты в модели множественной регрессии называются коэффициентами чистой регрессии. Они оценивают среднее изменение отклика Y при изменении величины X на единицу, если все остальные объясняющие переменные «заморожены». Например, в задаче о батончиках OmniPower магазин с фиксированным объемом рекламных затрат за месяц продаст на 53,217 батончика меньше, если увеличит их стоимость на один цент. Возможна еще одна интерпретация этих коэффициентов. Представьте себе одинаковые магазины с одинаковым объемом затрат на рекламу. При уменьшении цены батончика на один цент объем продаж в этих магазинах увеличится на 53,217 батончика. Рассмотрим теперь два магазина, в которых батончики стоят одинаково, но затраты на рекламу отличаются. При увеличении этих затрат на один доллар объем продаж в этих магазинах увеличится на 3,613 штук. Как видим, разумная интерпретация наклонов возможна лишь при определенных ограничениях, наложенных на объясняющие переменные.

Предсказание значений зависимой переменной Y. Выяснив, что накопленные данные позволяют использовать модель множественной регрессии, мы можем прогнозировать ежемесячный объем продаж батончиков OmniPower и построить доверительные интервалы для среднего и предсказанного объемов продаж. Для того чтобы предсказать средний ежемесячный объем продаж батончиков OmniPower по цене 79 центов в магазине, расходующем на рекламу 400 долл. в месяц, следует применить уравнение множественной регрессии: Y = 5 837,53 – 53,2173*79 + 3,6131*400 = 3 079. Следовательно, ожидаемый объем продаж в магазинах, торгующих батончиками OmniPower по цене 79 центов и расходующих на рекламу 400 долл. в месяц, равен 3 079 шт.

Вычислив величину Y и оценив остатки, можно построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика. Ранее мы рассмотрели эту процедуру в рамках модели простой линейной регрессии. Однако построение аналогичных оценок для модели множественной регрессии сопряжено с большими вычислительными трудностями и здесь не приводится.

Коэффициент множественной смешанной корреляции. Напомним, что модель регрессии позволяет вычислить коэффициент смешанной корреляции r 2 . Поскольку в модели множественной регрессии существуют по крайней мере две объясняющие переменные, коэффициент множественной смешанной корреляции представляет собой долю вариации переменной Y, объясняемой заданным набором объясняющих переменных:

где SSR – сумма квадратов регрессии, SST – полная сумма квадратов.

Например, в задаче о продажах батончика OmniPower SSR = 39 472 731, SST = 52 093 677 и k = 2. Таким образом,

Это означает, что 75,8% вариации объемов продаж объясняется изменениями цен и колебаниями объемов затрат на рекламу.

Анализ остатков для модели множественной регрессии

Анализ остатков позволяет определить, можно ли применять модель множественной регрессии с двумя (или более) объясняющими переменными. Как правило, проводят следующие виды анализа остатков:

• Распределение остатков по (рис. 4).
• Распределение остатков по Х_1i (рис. 5).
• Распределение остатков по Х_2i (рис. 5).
• Распределение остатков по времени.

Первый график (рис. 4а) позволяет проанализировать распределение остатков в зависимости от предсказанных значений . Если величина остатков не зависит от предсказанных значений и принимает как положительные так и отрицательные значения (как в нашем пример), условие линейной зависимости переменной Y от обеих объясняющих переменных выполняется. К сожалению, в Пакете анализа этот график почему-то не создается. Можно в окне Регрессия (см. рис. 2) включить Остатки. Это позволит вывести таблицу с остатками, а уже по ней построить точечный график (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость остатков от предсказанного значения

Второй и третий график демонстрируют зависимость остатков от объясняющих переменных. Эти графики могут выявить квадратичный эффект. В этой ситуации необходимо добавить в модель множественной регрессии квадрат объясняющей переменной. Эти графики выводятся Пакетом анализа (см. рис. 2), если включить опцию График остатков (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость остатков от цены и затрат на рекламу

Четвертый график применяется для проверки независимости данных, собранных в течение определенного времени. Для этого надо наблюдения расположить по времени, и построить зависимость предсказанного значения от времени. Поскольку в примере с OmniPower все измерения делались одновременно, такой график не применим. Для выявления положительной автокорреляции между остатками можно вычислить статистику Дурбина-Уотсона (подробнее см. соответствующий раздел заметки Простая линейная регрессия).

Проверка значимости модели множественной регрессии.

Убедившись с помощью анализа остатков, что модель линейной множественной регрессии является адекватной, можно определить, существует ли статистически значимая взаимосвязь между зависимой переменной и набором объясняющих переменных. Поскольку в модель входит несколько объясняющих переменных, нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н₀: β₁ = β₂ = … = β_k = 0 (между откликом и объясняющими переменными нет линейной зависимости), Н₁: существует по крайней мере одно значение β_j ≠ 0 (мжду откликом и хотя бы одной объясняющей переменной существует линейная зависимость).

Для проверки нулевой гипотезы применяется F-критерий – тестовая F-статистика равна среднему квадрату, обусловленному регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибок (MSE):

где F – тестовая статистика, имеющая F-распределение с k и n – k – 1 степенями свободы, k – количество независимых переменных в регрессионной модели.

Решающее правило выглядит следующим образом: при уровне значимости α нулевая гипотеза Н₀ отклоняется, если F > F_{U(k,n – k – 1)}, в противном случае гипотеза Н₀ не отклоняется (рис. 6).

Рис. 6. Сводная таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициентов множественной регрессии

Сводная таблица дисперсионного анализа, заполненная с использованием Пакета анализа Excel при решении задачи о продажах батончиков OmniPower, показана на рис. 3 (см. область А10:F14). Если уровень значимости равен 0,05, критическое значение F-распределения с двумя и 31 степенями свободы F_U(2,31) = F.ОБР(1-0,05;2;31) = равно 3,305 (рис. 7).

Рис. 7. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии при уровне значимости α = 0,05, с 2 и 31 степенями свободы

Как показано на рис. 3, F-статистика равна 48,477 > F_U(2,31) = 3,305, а p-значение близко к 0,000 2,0395 или р = 0,0000 4,17), гипотеза Н₀ отклоняется, следовательно, учет переменной Х₁ (цены) значительно улучшает модель регрессии, в которую уже включена переменная Х₂ (затраты на рекламу).

Аналогично можно оценить влияние переменной Х₂ (затраты на рекламу) на модель, в которую уже включена переменная Х₁ (цена). Проведите вычисления самостоятельно. Решающее условие приводит к тому, что 27,8 > 4,17, и следовательно, включение переменной Х₂ также приводит к значительному увеличению точности модели, в которой учитывается переменная Х₁. Итак, включение каждой из переменных повышает точность модели. Следовательно, в модель множественной регрессии необходимо включить обе переменные: и цену, и затраты на рекламу.

Любопытно, что значение t-статистики, вычисленное по формуле (6), и значение частной F-статистики, заданной формулой (9), однозначно взаимосвязаны:

где а — количество степеней свободы.

Регрессионные модели с фиктивной переменной и эффекты взаимодействия

Обсуждая модели множественной регрессии, мы предполагали, что каждая независимая переменная является числовой. Однако во многих ситуациях в модель необходимо включать категорийные переменные. Например, в задаче о продажах батончиков OmniPower для предсказания среднемесячного объема продаж использовались цена и затраты на рекламу. Кроме этих числовых переменных, можно попытаться учесть в модели расположение товара внутри магазина (например, на витрине или нет). Для того чтобы учесть в регрессионной модели категорийные переменные, следует включить в нее фиктивные переменные. Например, если некая категорийная объясняющая переменная имеет две категории, для их представления достаточно одной фиктивной переменной X_d: X_d = 0, если наблюдение принадлежит первой категории, X_d = 1, если наблюдение принадлежит второй категории.

Для иллюстрации фиктивных переменных рассмотрим модель для предсказания средней оценочной стоимости недвижимости на основе выборки, состоящей из 15 домов. В качестве объясняющих переменных выберем жилую площадь дома (тыс. кв. футов) и наличие камина (рис. 11). Фиктивная переменная Х₂ (наличие камина) определена следующим образом: Х₂ = 0, если камина в доме нет, Х₂ = 1, если в доме есть камин.

Рис. 11. Оценочная стоимость, предсказанная по жилой площади и наличию камина

Предположим, что наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади, одинаков у домов, имеющих камин и не имеющих его. Тогда модель множественной регрессии выглядит следующим образом:

где Y_i — оценочная стоимость i-гo дома, измеренная в тысячах долларов, β₀ — сдвиг отклика, X_1i,— жилая площадь i-гo дома, измеренная в тыс. кв. футов, β₁ — наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади дома при постоянном значении фиктивной переменной, X_1i,— фиктивная переменная, означающая наличие или отсутствие камина, β₁ — наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади дома при постоянном значении фиктивной переменной β₂ — эффект увеличения оценочной стоимости дома в зависимости от наличия камина при постоянной величине жилой площади, ε_i – случайная ошибка оценочной стоимости i-гo дома. Результаты вычисления регрессионой модели представлены на рис. 12.

Рис. 12. Результаты вычисления регрессионой модели для оценочной стоимости домов; получены с помощью Пакета анализа в Excel; для расчета использована таблица, аналогичная рис. 11, с единственным изменением: «Да» заменены единицами, а «Нет» – нулями

В этой модели коэффициенты регрессии интерпретируются следующим образом:

1. Если фиктивная переменная имеет постоянное значение, увеличение жилой площади на 1000 кв. футов приводит к увеличению предсказанной средней оценочной стоимости на 16,2 тыс. долл.
2. Если жилая площадь постоянна, наличие камина увеличивает среднюю оценочную стоимость дома на 3,9 тыс. долл.

Обратите внимание (рис. 12), t-статистика, соответствующая жилой площади, равна 6,29, а р-значение почти равно нулю. В то же время t-статистика, соответствующая фиктивной переменной, равна 3,1, а p-значение – 0,009. Таким образом, каждая из этих двух переменных вносит существенный вклад в модель, если уровень значимости равен 0,01. Кроме того, коэффициент множественной смешанной корреляции означает, что 81,1% вариации оценочной стоимости объясняется изменчивостью жилой площади дома и наличием камина.

Эффект взаимодействия. Во всех регрессионных моделях, рассмотренных выше, считалось, что влияние отклика на объясняющую переменную является статистически независимым от влияния отклика на другие объясняющие переменные. Если это условие не выполняется, возникает взаимодействие между зависимыми переменными. Например, вполне вероятно, что реклама оказывает большое влияние на объем продаж товаров, имеющих низкую цену. Однако, если цена товара слишком высока, увеличение расходов на рекламу не может существенно повысить объем продаж. В этом случае наблюдается взаимодействие между ценой товара и затратами на его рекламу. Иначе говоря, нельзя делать общих утверждений о зависимости объема продаж от затрат на рекламу. Влияние рекламных расходов на объем продаж зависит от цены. Это влияние учитывается в модели множественной регрессии с помощью эффекта взаимодействия. Для иллюстрации этого понятия вернемся к задаче о стоимости домов.

В разработанной нами регрессионной модели предполагалось, что влияние размера дома на его стоимость не зависит от того, есть ли в доме камин. Иначе говоря, считалось, что наклон оценочной стоимости, зависящей от жилой площади дома, одинаков у домов, имеющих камин и не имеющих его. Если эти наклоны отличаются друг от друга, между размером дома и наличием камина существует взаимодействие.

Проверка гипотезы о равенстве наклонов сводится к оценке вклада, который вносит в модель регрессии произведение объясняющей переменной X₁ и фиктивной переменной Х₂. Если этот вклад является статистически значимым, исходную модель регрессии применять нельзя. Результаты регрессионного анализа, включающего переменные Х₁, Х₂ и Х₃ = Х₁*Х₂ приведены на рис. 13.

Рис. 13. Результаты, полученные с помощью Пакета анализа Excel для регрессионной модели, учитывающей жилую площадь, наличие камина и их взаимодействие

Для того чтобы проверить нулевую гипотезу Н₀: β₃ = 0 и альтернативную гипотезу Н₁: β₃ ≠ 0, используя результаты, приведенные на рис. 13, обратим внимание на то, что t-статистика, соответствующая эффекту взаимодействия переменных, равна 1,48. Поскольку р-значение равно 0,166 > 0,05, нулевая гипотеза не отклоняется. Следовательно, взаимодействие переменных не имеет существенного влияния на модель регрессии, учитывающую жилую площадь и наличие камина.

Резюме. В заметке показано, как менеджер по маркетингу может применять множественный линейный анализ для предсказания объема продаж, зависящего от цены и затрат на рекламу. Рассмотрены различные модели множественной регрессии, включая квадратичные модели, модели с фиктивными переменными и модели с эффектами взаимодействия (рис. 14).

Рис. 14. Структурная схема заметки

[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 873–936

Видео:Тема по SPSS: множественная линейная регрессия - одновременное включение всех переменных в модель.Скачать

Множественная регрессия в EXCEL

history 26 января 2019 г.

Группы статей
• Статистический анализ

Рассмотрим использование MS EXCEL для прогнозирования переменной Y на основании нескольких переменных Х, т.е. множественную регрессию.

Перед прочтением этой статьи рекомендуется освежить в памяти простую линейную регрессию – прогнозирование на основе значений только одного фактора.

Disclaimer : Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей Множественного регрессионного анализа. Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения Регрессии – плохая идея.

Статья про Множественный регрессионный анализ получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:

Прогнозирование единственной переменной Y на основании значений 2-х или более переменных Х называется множественной регрессией .

Множественная линейная регрессионная модель (Multiple Linear Regression Model) имеет вид Y=β ₀ +β ₁ *X ₁ +β ₂ *X ₂ +…+β _k *X _k +ε. В этом случае переменная Y зависит от k поясняющих переменных Х, т.е. регрессоров . ε — случайная ошибка . Модель является линейной относительно неизвестных параметров β.

Видео:РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ STATISTICA #12Скачать

Оценка неизвестных параметров

В этой статье рассмотрим модель с 2-мя регрессорами. Сначала введем необходимые обозначения и понятия множественной регрессии.

Для описания зависимости Y от 2-х переменных линейная модель имеет вид:

Параметры этой модели β _i нам неизвестны, но их можно оценить, используя случайную выборку (измеренные значения переменной Y от заданных Х). Оценки параметров модели (β ₀ , β ₁ , β ₂ ) обычно вычисляются методом наименьших квадратов (МНК) , который минимизирует сумму квадратов ошибок прогнозирования (критерий минимизации в англоязычной литературе обозначают как SSE – Sum of Squared Errors).

Ошибка ε имеет случайную природу и имеет свою функцию распределения со средним значением =0 и дисперсией σ 2 .

Оценки b ₁ и b ₂ называются коэффициентами регрессии , они определяют влияние соответствующей переменной X, когда все остальные независимые переменные остаются неизменными .

Сдвиг (intercept) или постоянный член b ₀ , определяет прогнозируемое значение Y, когда все поясняющие переменные Х равны 0 (часто сдвиг не имеет физического смысла в рамках модели и обусловлен лишь математическими вычислениями МНК ).

Вычислив оценки, полученные методом МНК, позволяют прогнозировать значения переменной Y:

Примечание : Для случая 2-х регрессоров, все спрогнозированные значения переменной Y будут лежать в плоскости (в плоскости регрессии ).

В качестве примера рассмотрим технологический процесс изготовления нити:

Инженер, на основе имеющегося опыта, предположил, что прочность нити Y зависит от концентрации исходного раствора (Х ₁ ) и температуры реакции (Х ₂ ), и соответствует модели линейной регрессии. Для нахождения комбинации переменных Х, при которых Y принимает максимальное значение, необходимо определить коэффициенты регрессии, сделав выборку.

В MS EXCEL коэффициенты множественной регрессии удобнее всего вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН() . Это сделано в файле примера на листе Коэффициенты . Чтобы вычислить оценки:

• выделите 3 ячейки в одной строке (т.к. мы рассматриваем случай 2-х регрессоров, то будут вычислены 2 коэффициента регрессии + величина сдвига = 3 значения, для вывода которых понадобится 3 ячейки). Пусть это будет диапазон С8:Е8 ;
• в Строке формул введите = ЛИНЕЙН(D20:D50;B20:C50) . Предполагается, что в столбце В содержатся прогнозируемые значения Y (в нашей модели это Прочность нити), в столбцах С и D содержатся значения контролируемых параметров Х (Х1 – Концентрация в столбце С и Х2 – Температура в столбце D).
• нажмите CTRL+SHIFT+ENTER (т.к. это формула массива ).

В левой ячейке будет рассчитано значение коэффициента регрессии b 2 для переменной Х2, в средней ячейке — значение коэффициента регрессии b 1 для переменной Х1, в правой – сдвиг . Обратите внимание, что порядок вывода коэффициентов регрессии обратный по отношению к расположению столбцов с данными соответствующих переменных Х (вычисленный коэффициент b 2 располагается левее по отношению к b 1 , тогда как значения переменной Х2 располагаются правее значений переменной Х1). Это может привести к путанице, поэтому лучше разместить коэффициенты над соответствующими столбцами с данными, как это сделано в строке 17 файла примера .

Примечание : В принципе без функции ЛИНЕЙН() можно обойтись, записав альтернативные формулы. Для этого в файле примера на листе Коэффициенты в столбцах I : K вычислены отклонения значений переменных Х _1i , Х _2i , Y _i от их средних значений , т.е.:

Далее коэффициенты регрессии рассчитываются по следующим формулам (эти формулы справедливы только при прогнозировании по 2-м независимым переменным Х):

При прогнозировании по 3-м и более независимым переменным Х формулы для вычисления коэффициентов регрессии значительно усложняются, поэтому следует использовать матричный подход.

В файле примера на листе Матричная форма выполнены расчеты коэффициентов регрессии с помощью матричного подхода.

Расчет можно произвести как пошагово, так и одной формулой массива :

Коэффициенты регрессии (вектор b ) в этом случае вычисляются по формуле b =(X T X) -1 (X T Y) или в другом виде записи b =(X ’ X) -1 (X ’ Y)

Под Х подразумевается матрица, состоящая из столбцов значений переменной Х с дополнительным столбцом единиц, а под Y – вектор-столбец значений Y.

Видео:Что такое зависимая и независимая переменные? Учимся из определять! ЕГЭ по биологииСкачать

Диаграмма рассеяния

В случае простой линейной регрессии (один регрессор, т.е. одна переменная Х) для визуализации связи между прогнозируемым значением Y и переменной Х строят диаграмму рассеяния (двумерную).

В случае множественной линейной регрессии двумерную диаграмму рассеяния можно построить только для анализа влияния каждого отдельного регрессора на Y (при этом остальные Х не меняются), т.е. так называемую Матричную диаграмму рассеивания (См. файл примера лист Диагр расс (матричная) ).

К сожалению, такую диаграмму трудно интерпретировать.

Более того, матричная диаграмма может вводить в заблуждение (см. Introduction to linear regression analysis / D . C . Montgomery , E . A . Peck , G . G . Vining , раздел 3.2.5 ), демонстрируя наличие или отсутствие линейной взаимосвязи между отдельным регрессором X _i и Y.

Для случая с 2-мя регрессорами можно предложить альтернативный вид матричной диаграммы рассеяния . В стандартной диаграмме рассеяния строятся проекции на координатные плоскости Х1;Х2, Y;X1 и Y;X2. Однако, если взглянуть на точки относительно плоскости регрессии , то картину, на мой взгляд, будет проще интерпретировать.

Сравним две матричные диаграммы рассеяния (см. файл примера на листе «Диагр расс (в плоск регрессии)» , построенные для одних и тех же наблюдений. Первая – стандартная,

вторая представляет собой вид сверху на плоскость регрессии и 2 вида вдоль плоскости.

На второй диаграмме становится очевидно, что разброс точек относительно плоскости регрессии совсем не большой и поэтому, скорее всего, построенная модель является полезной, а выбранные 2 переменные Х позволяют прогнозировать Y (конечно, для подтверждения этой гипотезы нужно провести процедуру F-теста ).

Несколько слов о построении альтернативной матричной диаграммы рассеяния:

• Перед построением необходимо нормировать значения наблюдений (для каждой переменной вычесть среднее и разделить на стандартное отклонение ). В этом случае практически все точки на диаграммах будут находится в диапазоне +/-3 (по аналогии со стандартным нормальным распределением , 99% значений которого лежат в пределах +/-3 сигма). В этом случае, на диаграмме можно фиксировать мин/макс значений осей, чтобы EXCEL автоматически не модифицировал масштаб осей при изменении данных (это не всегда удобно);
• Теперь координаты точек необходимо рассчитать в системе отсчета относительно плоскости регрессии (в которой плоскость Оху’ совпадает с плоскостью регрессии). Для этого необходимо найти матрицу вращения , например, через вращение приводящее к совмещению нормали к плоскости регрессии и вектора оси Z (0;0;1);
• Новые координаты позволяют построить альтернативную матричную диаграмму. Кроме того, для удобства можно вращать систему координат вокруг новой оси Z, чтобы нагляднее представить себе распределение точек относительно плоскости регрессии (для этого использована Полоса прокрутки в ячейках Q31:S31 ).

Видео:Множественная регрессияСкачать

Вычисление прогнозных значений Y (отдельное наблюдение и среднее значение) и построение доверительных интервалов

После того, как нами были найдены тем или иным способом коэффициенты регрессии можно приступать к вычислению прогнозных значений Y на основе заданных значений переменных Х.

Уравнение прогнозирования или уравнение регрессии в случае 2-х независимых переменных (регрессоров) записывается в виде:

Примечание: В MS EXCEL прогнозное значение Y для заданных Х ₁ и Х ₂ можно также предсказать с помощью функции ТЕНДЕНЦИЯ() . При этом 2-й аргумент будет ссылкой на столбцы, содержащие все значения переменных Х ₁ и Х ₂ , а 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон ячеек, содержащий 2 значения Х (Х _1i и Х _2i ) для выбранного наблюдения i (см. файл примера, лист Коэффициенты, столбец G ). Функция ПРЕДСКАЗ() , использованная нами в простой регрессии, не работает в случае множественной регрессии .

Найдя прогнозное значение Y, мы, таким образом, вычислим его точечную оценку. Понятно, что фактическое значение Y, полученное при наблюдении, будет, скорее всего, отличаться от этой оценки. Чтобы ответить на вопрос о том, на сколько хорошо мы можем предсказывать новые значения Y, нам потребуется построить доверительный интервал этой оценки, т.е. диапазон в котором с определенной заданной вероятностью, скажем 95%, мы ожидаем новое значение Y.

Доверительные интервалы построим при фиксированном Х для:

• нового наблюдения Y;
• среднего значения Y (интервал будет уже, чем для отдельного нового наблюдения)

Как и в случае простой линейной регрессии , для построения доверительных интервалов нам потребуется сначала вычислить стандартную ошибку модели (standard error of the model) , которая приблизительно показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений переменных Х.

Для вычисления стандартной ошибки оценивают дисперсию ошибки ε, т.е. сигма^2 (ее часто обозначают как MS Е либо MSres ) . Затем, вычислив из полученной оценки квадратный корень, получим Стандартную ошибку регрессии (часто обозначают как SEy или sey ).

где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ei=yi — ŷi ( Sum of Squared Errors ). MSE означает Mean Square of Errors (среднее квадратов ошибок, точнее остатков).

Величина n-p – это количество степеней свободы ( df – degrees of freedom ), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y, р – количество оцениваемых параметров модели). В случае простой множественной регрессии с 2-мя регрессорами число степеней свободы равно n-3, т.к. при построении плоскости регрессии было оценено 3 параметра модели b (т.е. на это было «потрачено» 3 степени свободы ).

В MS EXCEL стандартную ошибку SEy можно вычислить формулы (см. файл примера, лист Статистика ):

Стандартная ошибка нового наблюдения Y при заданных значениях Х (вектор Хi) вычисляется по формуле:

x _i — вектор-столбец со значениями переменных Х (с дополнительной 1) для заданного наблюдения i.

Соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:

где α (альфа) – уровень значимости (обычно принимают равным 0,05=5%)

р – количество оцениваемых параметров модели (в нашем случае = 3)

n-p – число степеней свободы

– квантиль распределения Стьюдента (задает количество стандартных ошибок , в +/- диапазоне которых вероятность обнаружить новое наблюдение равно 1-альфа). Т.е. если квантиль равен 2, то диапазон шириной +/- 2 стандартных ошибок относительно прогнозного значения Y будет с вероятностью 95% содержать новое наблюдение Y (для каждого заданного Хi). В MS EXCEL вычисления квантиля производят по формуле = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-p) , подробнее см. в статье про распределение Стьюдента .

– прогнозное значение Yi вычисляемое по формуле Yi= b 0+ b 1* Х1i+ b 2* Х2i (точечная оценка).

Стандартная ошибка среднего значения Y при заданных значениях Х (вектор Хi) будет меньше, чем стандартная ошибка отдельного наблюдения. Вычисления производятся по формуле:

x _i — вектор-столбец со значениями переменных Х (с дополнительной 1) для заданного наблюдения i.

Соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:

Прогнозное значение Yi (точечная оценка) используется тоже, что и для отдельного наблюдения.

Видео:09 02 Основы множественной регрессииСкачать

Стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

В разделе Оценка неизвестных параметров мы получили точечные оценки коэффициентов регрессии . Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со средним значением и дисперсией . Но, чтобы перейти от точечных оценок к интервальным , необходимо вычислить соответствующие стандартные ошибки (т.е. стандартные отклонения ) коэффициентов регрессии .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии b _j (обозначается se ( b _j ) ) вычисляется на основании стандартной ошибки по следующей формуле:

где C _jj является диагональным элементом матрицы (X ’ X) -1 . Для коэффициента сдвига b ₀ индекс j=1 (верхний левый элемент), для b ₁ индекс j=2, b ₂ индекс j=3 (нижний правый элемент).

SEy – стандартная ошибка регрессии (см. выше ).

В MS EXCEL стандартные ошибки коэффициентов регрессии можно вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН() :

Примечание : Подробнее о функции ЛИНЕЙН() см. статью Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН() .

Применяя матричный подход стандартные ошибки можно вычислить и через обычные формулы (точнее через формулу массива , см. файл примера лист Статистика ):

= КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(E13:E43;F13:F43) /(n-p)) *КОРЕНЬ (ИНДЕКС (МОБР (МУМНОЖ(ТРАНСП(B13:D43);(B13:D43)));j;j))

При построении двухстороннего доверительного интервала для коэффициента регрессии его границы определяются следующим образом:

где t – это t-значение , которое можно вычислить с помощью формулы = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-p) для уровня значимости 0,05.

В результате получим, что найденный доверительный интервал с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение коэффициента регрессии b _j . Здесь мы считаем, что коэффициент регрессии b _j имеет распределение Стьюдента с n-p степенями свободы (n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).

Видео:Множественная Линейная Регрессия || Машинное ОбучениеСкачать

Проверка гипотез

Когда мы строим модель, мы предполагаем, что между Y и переменными X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.

Единственный вариант, когда Y не зависит X, возможен, когда все коэффициенты регрессии β равны 0.

Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка коэффициентов регрессии не обусловлена лишь случайностью (они не случайно отличны от 0), используют проверку гипотез . В качестве нулевой гипотезы Н ₀ принимают, что линейной связи нет, т.е. ВСЕ β=0. В качестве альтернативной гипотезы Н ₁ принимают, что ХОТЯ БЫ ОДИН коэффициент β 0.

Процедура проверки значимости множественной регрессии, приведенная ниже, является обобщением дисперсионного анализа , использованного нами в случае простой линейной регрессии (F-тест) .

Если нулевая гипотеза справедлива, то тестовая F -статистика имеет F-распределение со степенями свободы k и n — k -1 , т.е. F _{k, n-k-1} :

Проверку значимости регрессии можно также осуществить через вычисление p -значения . В этом случае вычисляют вероятность того, что случайная величина F примет значение F ₀ (это и есть p-значение ), затем сравнивают p-значение с заданным уровнем значимости α (альфа) . Если p-значение больше уровня значимости , то нулевую гипотезу нет оснований отклонить, и регрессия незначима.

В MS EXCEL значение F ₀ можно вычислить на основании значений выборки по вышеуказанной формуле или с помощью функции ЛИНЕЙН() :

В MS EXCEL для проверки гипотезы через p -значение используйте формулу =F.РАСП.ПХ(F ₀ ;k;n-k-1) файл примера лист Статистика , где показано эквивалентность обоих подходов проверки значимости регрессии).

В MS EXCEL критическое значение для заданного уровня значимости F _{1-альфа, k, n-k-1} можно вычислить по формуле = F.ОБР(1- альфа;k;n-k-1) или = F.ОБР.ПХ(альфа;k; n-k-1) . Другими словами требуется вычислить верхний альфа- квантиль F -распределения с соответствующими степенями свободы .

Таким образом, при значении статистики F ₀ > F _{1-альфа, k, n-k-1} мы имеем основание для отклонения нулевой гипотезы.

В программах статистики результаты процедуры F -теста выводят с помощью стандартной таблицы дисперсионного анализа . В файле примера такая таблица приведена на листе Надстройка , которая построена на основе результатов, возвращаемых инструментом Регрессия надстройки Пакета анализа MS EXCEL .

Видео:Лекция 8. Линейная регрессияСкачать

Генерация данных для множественной регрессии с помощью заданного тренда

Иногда, бывает удобно сгенерировать значения наблюдений, имея заданный тренд.

Для решения этой задачи нам потребуется:

• задать значения регрессоров в нужном диапазоне (значения переменных Х);
• задать коэффициенты регрессии ( b );
• задать тренд (вычислить значения Y= b₀ +b₁ * Х ₁ + b₂ * Х ₂ );
• задать величину разброса Y вокруг тренда (варианты: случайный разброс в заданных границах или заданная фигура, например, круг)

Все вычисления выполнены в файле примера, лист Тренд для случая 2-х регрессоров. Там же построены диаграммы рассеяния .

Видео:Парная регрессия: линейная зависимостьСкачать

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации R 2 показывает насколько полезна построенная нами линейная регрессионная модель .

По определению коэффициент детерминации R 2 равен:

R 2 = Изменчивость объясненная моделью ( SSR ) / Общая изменчивость ( SST ).

Этот показатель можно вычислить с помощью функции ЛИНЕЙН() :

При добавлении в модель новой объясняющей переменной Х, коэффициент детерминации будет всегда расти. Поэтому, рост коэффициента детерминации не может служить основанием для вывода о том, что новая модель (с дополнительным регрессором) лучше прежней.

Более подходящей статистикой, которая лишена указанного недостатка, является нормированный коэффициент детерминации (Adjusted R-squared):

где p – число независимых регрессоров (вычисления см. файл примера лист Статистика ).

Видео:Линейная регрессияСкачать

Основы линейной регрессии

Видео:РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ общая идея | АНАЛИЗ ДАННЫХ #16Скачать

Что такое регрессия?

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение, если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x, причём изменения в y вызываются именно изменениями в x, мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова «регрессия» исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей «регрессировал» и «двигался вспять» к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Видео:Множественная регрессия в Excel и мультиколлинеарностьСкачать

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y»

• a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когда x=0 (Рис.1).
• b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Видео:Эконометрика. Множественная регрессия и корреляция.Скачать

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b – выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y, Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Видео:Множественная регрессия в программе SPSS (Multiple regression)Скачать

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Между и существует линейное соотношение: для любых пар данные должны аппроксимировать прямую линию. Если нанести на двумерный график остатки, то мы должны наблюдать случайное рассеяние точек, а не какую-либо систематическую картину.

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

• Остатки имеют одну и ту же вариабельность (постоянную дисперсию) для всех предсказанных величин Если нанести остатки против предсказанных величин от мы должны наблюдать случайное рассеяние точек. Если график рассеяния остатков увеличивается или уменьшается с увеличением то это допущение не выполняется;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Видео:Лекция 2.1: Линейная регрессия.Скачать

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

«Влиятельное» наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть «влиятельным» наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для «влиятельных» наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Видео:ММХ. Модуль 6. Часть 1. Регрессионный анализСкачать

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

— оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

Можно рассчитать 95% доверительный интервал для генерального углового коэффициента :

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Видео:Линейная регрессия и L1/L2-регуляризацияСкачать

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации, обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Видео:Парный линейный регрессионный анализСкачать

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Подобным образом можно рассчитать более широкую область, внутри которой, как мы ожидаем, лежит наибольшее число (обычно 95%) наблюдений.

Видео:РЕАЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ | Линейная регрессия | LinearRegression | МАШИННОЕ ОБУЧЕНИЕСкачать

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b 0 + b 1 P 2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Видео:Множественная линейная регрессия в SPSSСкачать

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 ( Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 ( Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на .40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на .65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся «внутри диапазона.»

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию ( -.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p .

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.