Общее решение в случае кратных действительных корней характеристического уравнения

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y₁(x), y₂(x), . y_n(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx):
exp(lx) (n) + a₁exp(lx) (n-1) + . + a_n-1exp(lx)’ + a_nexp(lx)=
= (l n + a₁l n-1 + . + a_n-1l + a_n)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем характеристического уравнения
l n + a₁l n-1 + . + a_n-1l + a_n = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P(l) = l n + a₁l n-1 + . + a_n-1l + a_n.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

ПРИМЕР 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней.

ПРИМЕР 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.

ПРИМЕР 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых комплексных корней.

ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.

ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.

ПРИМЕР 6. Решение задачи Коши.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:2185 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные и кратные.Скачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Частный случай: уравнение второго порядка Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка где р, Р2 — действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде где тогда Подставляя эти выражения для у и ее производных в уравнение (1), получаем .

Так как , то должно выполняться равенство Следовательно, функция у = eAz будет решением уравнения (1), т. е. будет обращать его в тождество по х, если А будет удовлетворять алгебраическому уравнению Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1), а его левая часть называется характеристическим много-членом.

Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через А] и 1 они могут быть 1) действительными и разными; 2) комплексными; 3) действительными и равными. Рассмотрим каждый случай в отдельности. 1. Если корни Л|, Аг характеристического уравнения действительные и разные, то частными решениями уравнения (1) будут функции Эти решения линейно независимы (Aj Ф А2) и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения.

Общее решение уравнения

Общее решение уравнения имеет вид — произвольные постоянные). Пример 1. Найти общее решение уравнения М Составляем характеристическое уравнение: Оно имеет корни Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Отсюда получаем искомое общее решение 2.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты р], р2 характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят попарно сопряженными. Положим, что Частные решения дифференциального уравнения (1) можно записать в виде Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем заниматься лишь действительными решениями.

С помощью формул Эйлера частные решения ij и у2 уравнения (1) можно представить в виде Воспользовавшисьтеоремой 4, получим, что частными решениями уравнения (1) будут также функции _ Эти решения линейно независимы, так как Решения образуют фундаментальную систему решений уравне-ния (1), общее решение которого в этом случае имеет вид или Пример 3.

Найти общее решение уравнения 4 Характеристическое уравнение имеет кратные корни Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения: Замечание. Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с переменными коэффициентами) Пусть — частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию ti(x) соотношением (разрешимым относительно н(х) в тех интервалах, где yi(x) не обращается в нуль).

Из этого соотношения найдем производные от у : и подставим их в уравнение (5): Для функции и(х) получаем опять уравнение порядка п, но коэффициент при м(х) есть £(yil-Он тождественно равен нулю, так как yi (х) есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) = и'(х).

Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yi(x) Ф 0, приведем его к виду Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию линейного однородного уравнения порядка п — . Можно показать, что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть понижен на две единицы. Вообше, если известно г частных линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на г единиц. 6.2.

Физические приложения: уравнение колебаний Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать время t: где у — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, rh — масса точки, h — коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скорости), к > 0 — коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта сила пропорциональна отклонению).

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для (6) имеет корни Если трение достаточно велико, h2 > Атк, то эти корни действительные и отрицательные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид Так как то из (7) заключаем, что при большом трен и и отклонение точки от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний. Если трение мало, Атк, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения (6) в этом случае определяется формулой или Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания. Пусть теперь трение отсутствует, .

В этом случае характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни Решение уравне- ния (6) имеет вид . в этом случае происходят незатухающие гармонические колебания с частотой ш = и произвольными амплитудой А и начальной фазой 6. Задача. При каких 1) все решения уравнения стремятся к нулю при 2) каждое решение уравнения обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? 6.3. Общий случай: уравнение произвольного порядка Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение произвольного порядка п (п ^ 1) с постоянными коэффициентами ) гдерьрг,,Рп — действительные числа.

Общее решение дифференциального уравнения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка. Ищем решение в виде Подставляя вместо у величину еХх в уравнение (8), получаем , что приводит к характеристическому уравнению 2. Находим корни характеристического уравнения. 3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравнения (8), руководствуясь тем, что: а) Каждому действительному однократному корню А характеристическою уравнения соответствует частное решение уравнения (8).

б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней соответствуют два линейно независимых частных решения уравнения (8). в) Каждому действительному корню А кратности г соответствует г линейно независимых частных решений уравнения (8). Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число А есть корень кратности г характеристического уравнения . Функцию будем рассматривать как функцию двух аргументов: ж и А.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Она имеет непрерывные производные по а: и по А всех порядков, причем Поэтому частные производные функции по х и по А не зависят от порядка дифференцирования (операции дифференцирования функции у по х и по А перестановочны), так что Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что Если А есть г-кратный корень характеристического уравнения то стало быть, правые части (10) и (11) тождественно по х равны нулю: Это означает, что функции являются в этом случае решениями уравнения (8).

Легко проверить, что функции линейно независимы на любом интервале (a, b) изменения х. г) Приведенные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных корней.

Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней p кратности l отвечает 2/х частных решений уравнения 4. Число построенных таким образом частных решений уравнения (8) равно порядку п этого уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в совокупности. Имея п линейно независимых частных решений 3/i(x), skfc). уп(я) уравнения (8), получаем общее решение этого уравнения, где произвольные постоянные. Прммер 4. Найти общее решение уравнения Составляем характеристическое уравнение: 2. Находим корни характеристического уравнения: 3.

По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения: 4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид Схема решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение действительные числа). Характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения Частные линейно независимые решения дифференциального уравнения Общее решение уравнения — произвольные постоянные). §7.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоянными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера где pi.tp2, —tPn — постоянные числа.

Ограничимся рассмотрением уравнения Эйлера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики): Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Положим Подставляя выражения для , получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Последнее интегрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2), после чего возвращаемся к старой переменной х. Пример. Найти общее решение уравнения Замена переменной х = приводит к уравнению характеристическое уравнение которого имеет корни Общее решение преобразованного уравнения равно Учитывая, что , для общего решения исходного уравнения получаем выражение Замечание 1.

Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения (3) частные решения имеют вид Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя в уравнение (1), получим для к уравнение ) совпадающее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечает частное решение уравнения (1); двукратному корню отвечают два решения уравнения (1).

Паре комплексных сопряженных корней уравнения (4) будут соответствовать два решения уравнения (I). Замечание 2. Уравнение постоянные числа) подстановкой также приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. §8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид Здесь заданные на некотором интервале (а, р) функции. Если ао(ж) Ф 0 на (а, то после деления на ац(х) получим уравнение.

Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем: если на отрезке [а, 6] коэффициенты Рк(х) и правая часть /(х) уравнения (2) непрерывны, то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям Уравнение (2) можно записать в виде где, как и выше, Теорема 12. Если у(х) есть решение неоднородного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения мПо условию, В силу линейности оператора £ имеем Это означает, что функция есть решение уравнения Теорема 13.

Если у(х) есть решение уравнения есть решение уравнения та функция есть решение уравнения По условию, используя линейность оператора £, получаем Последнее означает, что функция есть решение уравнения Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения). Теорема 14. Если уравнение где все коэффициенты и функции действительные, имеет решение то действительная часть решения и(х) и его мнимая часть v(x) являются соответственно решениями уравнений.

По условию имеем Отсюда получаем: Теорема 15 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение в области — уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения у(х) неоднородного уравнения, т. е. Надо доказать, что где произвольные постоянные, линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения £[у] = 0, является общим решением неоднородного уравнения.

Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций у(ж), определяемое формулой (4), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в этом определении. В самом деле, функция у(х), определяемая формулой (4), является решением уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения.

Так как для уравнения (2) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных С, в (4) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям где хо € (а,6), т.е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда п = 3.

Потребовав, чтобы решение (4) удовлетворяло начальным условиям (5), приходим к системе уравнений для отыскания Эта линейная по отношению к система трех уравнений с тремя неизвестными допускает единственное решение относительно з при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W(x$) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке ж € (а, Ь), в частности в точке ж = жо.

уо, Уо> Уо» найдется решение С?, С?, Cj системы (6) такое, что функция будет решением дифференциального уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных 155 Пример 1.

Найти общее решение уравнения М Нетрудно заметить, что функция является частным решением данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение этого уравнения, остается отыскать общее решение соответствующего однородного уравнения Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению , есть корни его Поэтому общее решение уравнения (*) имеет вид . Общее решение исходного неоднородного уравнения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:2211 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные.Скачать

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Ниже разберем способы, как решить линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше второго, имеющих постоянные коэффициенты. Подобные уравнения представлены записями y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) , в которых f 0 , f 1 , . . . , f n — 1 — являются действительными числами, а функция f ( x ) является непрерывной на интервале интегрирования X .

Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ

Мы зададим формулировку двух теорем, показывающих, какого вида общих решений ЛОДУ и ЛНДУ n -ого порядка следует искать.

Общим решением y 0 ЛОДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 на интервале
X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) непрерывны на X ) будет линейная комбинация
n линейно независимых частных решений ЛОДУ y j , j = 1 , 2 , . . . , n , содержащая произвольные постоянные коэффициенты C j , j = 1 , 2 , . . . , n , то есть y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j .

Общим решением y ЛНДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) на интервале X (коэффициенты f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) непрерывны на X ) и функцией f ( x ) будет являться сумма y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 , а y

— некоторое частное решение исходного ЛНДУ.

Итак, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, содержащего постоянные коэффициенты y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) , нужно искать, как y = y 0 + y

— некоторое его частное решение, а y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 .

В первую очередь рассмотрим, как осуществлять нахождение y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j — общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами, а потом научимся определять частное решение y

линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах.

Алгебраическое уравнение n -ого порядка k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 носит название характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка, содержащего постоянные коэффициенты, записи y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 .

Возможно определить n частных линейно независимых решений y 1 , y 2 , . . . , y n исходного ЛОДУ, исходя из значений найденных n корней характеристического уравнения k 1 , k 2 , . . . , k n .

Видео:15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ

Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.

1. Когда все решения k 1 , k 2 , . . . , k n характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 действительны и различны, линейно независимые частные решения будут выглядеть так:
   y 1 = e k 1 · x , y 2 = e k 2 · x , . . . , y n = e k n · x . Общее же решение ЛОДУ n -ого порядка при постоянных коэффициентах запишем как: y 0 = C 1 · e k 1 · x + C 2 · e k 2 · x + . . . + C n · e k n · x .

Пример 1

Задано ЛОДУ третьего порядка, содержащее постоянные коэффициенты y ‘ ‘ ‘ — 3 y » — y ‘ + 3 y = 0 . Определите его общее решение.

Решение

Cоставим характеристическое уравнение и найдем его корни, разложив предварительно многочлен из левой части равенства на множители, используя метод группировки:
k 3 — 3 k 2 — k + 3 = 0 k 2 ( k — 3 ) — ( k — 3 ) = 0 ( k 2 — 1 ) ( k — 3 ) = 0 k 1 = — 1 , k 2 = 1 , k 3 = 3

Ответ: найденные корни являются действительными и различными, значит общее решение ЛОДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами запишем как: y 0 = C 1 · e — x + C 2 e x + C 3 · e 3 x .

1. Когда решения характеристического уравнения являются действительными и одинаковыми ( k 1 = k 2 = . . . = k n = k 0 ) , линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами буду иметь вид: y 1 = e k 0 · x , y 2 = x · e k 0 · x , . . . , y n = x n — 1 · e k 0 · x .

Общее же решение ЛОДУ будет выглядеть так:
y 0 = C 1 · e k 0 · x + C 2 · e k 0 · x + . . . + C n · x n — 1 · e k 0 · x = = e k 0 · x · C 1 + C 2 · x + . . . + C n · x n — 1

Задано дифференциальное уравнение: y ( 4 ) — 8 k ( 3 ) + 24 y » — 32 y ‘ + 16 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.

Решение

Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 — 8 k 3 + 24 k 2 — 32 k + 16 = 0 .

Преобразуем данное характеристическое уравнение, используя формулу бинома Ньютона, оно примет вид: k — 2 4 = 0 . Отсюда мы выделим его четырехкратный корень k 0 = 2 .

Ответ: общим решением заданного ЛОДУ станет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 · x + C 3 · x 2 + C 4 · x 3

1. Когда решения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка при постоянных коэффициентах — различные комплексно сопряженные пары α 1 ± i · β 1 , α 2 ± i · β 2 , . . . , α m ± i · β m , n = 2 m , линейно независимые частные решения такого ЛОДУ будут иметь вид:
   y 1 = e α 1 x · cos β 1 x , y 2 = e α 1 x · sin β 1 x , y 3 = e α 2 x · cos β 2 x , y 4 = e α 2 x · sin β 2 x , … y n — 1 = e α m x · cos β m x , y n = e α m x · sin β m x

Общее же решение запишем так:

y 0 = e α 1 x · C 1 · cos β 1 x + C 2 · sin β 1 x + + e α 2 x · C 3 · cos β 2 x + C 4 · sin β 2 x + . . . + + e α m x · C n — 1 · cos β m x + C n · sin β m x

Задано ЛОДУ четвертого порядка при постоянных коэффициентах y ( 4 ) — 6 y ( 3 ) + 14 y » — 6 y ‘ + 13 y = 0 . Необходимо его проинтегрировать.

Решение

Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 4 — 6 k 3 + 14 k 2 — 6 k + 13 = 0 . Осуществим преобразования и группировки:

k 4 — 6 k 3 + 14 k 2 — 6 k + 13 = 0 k 4 + k 2 — 6 k 3 + k + 13 k 2 + 1 = 0 k 2 + 1 k 2 — 6 k + 13 = 0

Из полученного результата несложно записать две пары комплексно сопряженных корней k 1 , 2 = ± i и k 3 , 4 = 3 ± 2 · i .

Ответ: общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами запишется как:
y 0 = e 0 · C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x = = C 1 · cos x + C 2 · sin x + e 3 x · C 3 · cos 2 x + C 4 · sin 2 x

1. Когда решения характеристического уравнения — это совпадающие комплексно сопряженные пары α ± i · β , линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами будут записи:
   y 1 = e α · x · cos β x , y 2 = e α · x · sin β x , y 3 = e α · x · x · cos β x , y 4 = e α · x · x · sin β x , … y n — 1 = e α · x · x m — 1 · cos β x , y n = e α · x · x m — 1 · sin β x

Общим решением ЛОДУ будет:

y 0 = e α · x · C 1 · cos β x + C 2 · sin β x + + e α · x · x · C 4 · cos β x + C 3 · sin β x + . . . + + e α · x · x m — 1 · C n — 1 · cos β x + C n · sin β x = = e α · x · cos β x · C 1 + C 3 · x + . . . + C n — 1 · x m — 1 + + e α · x · sin β x · C 2 + C 4 · x + . . . + C n · x m — 1

Задано линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами y ( 4 ) — 4 y ( 3 ) + 14 y » — 20 y ‘ + 25 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.

Решение

Составим запись характеристического уравнения, заданного ЛОДУ, и определим его корни:

k 4 — 4 k 3 + 14 k 2 — 20 k + 25 = 0 k 4 — 4 k 3 + 4 k 2 + 10 k 2 — 20 k + 25 = 0 ( k 2 — 2 k ) 2 + 10 ( k 2 — 2 k ) + 25 = 0 ( k 2 — 2 k + 5 ) 2 = 0 D = — 2 2 — 4 · 1 · 5 = — 16 k 1 , 2 = k 3 , 4 = 2 ± — 16 2 = 1 ± 2 · i

Таким образом, решением характеристического уравнения будет двукратная комплексно сопряженная пара α ± β · i = 1 ± 2 · i .

Ответ: общее решение заданного ЛОДУ: y 0 = e x · cos 2 x · ( C 1 + C 3 · x ) + e x · sin 2 x · ( C 2 + C 4 · x )

1. Встречаются различные комбинации указанных случаев: некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые — действительными и совпадающими, а какие-то — комплексно сопряженными парами или совпадающими комплексно сопряженными парами.

Пример 5

Задано дифференциальное уравнение y ( 5 ) — 9 y ( 4 ) + 41 ( 3 ) + 35 y » — 424 y ‘ + 492 y = 0 . Необходимо определить его общее решение.

Решение

Составим характеристическое уравнение заданного ЛОДУ: k 5 — 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 — 424 k + 492 = 0 .

Левая часть содержит многочлен, который возможно разложить на множители. В числе делителей свободного члена определяем двукратный корень k 1 = k 2 = 2 и корень k 3 = — 3 .

На основе схемы Горнера получим разложение: k 5 — 9 k 4 + 41 k 3 + 35 k 2 — 424 k + 492 = k + 3 k — 2 2 k 2 — 8 k + 41 .

Квадратное уравнение k 2 — 8 k + 41 = 0 дает нам оставшиеся корни k 4 , 5 = 4 ± 5 · i .

Ответ: общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет: y 0 = e 2 x · C 1 + C 2 x + C 3 · e — 3 x + e 4 x · C 4 · cos 5 x + C 5 · sin 5 x

Таким образом, мы рассмотрели основные случаи, когда возможно определить y 0 — общее решение ЛОДУ n -ого порядка с постоянными коэффициентами.

Следующее, что мы разберем – это ответ на вопрос, как решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n -ого порядка с постоянными коэффициентами записи y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x ) .

Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: y = y 0 + y

. Поскольку мы уже умеем определять y 0 , остается разобраться с нахождением y

, т.е. частного решения ЛНДУ порядка n с постоянными коэффициентами.

Приведем все способы нахождения y

согласно тому, какой вид имеет функция f ( x ) , находящаяся в правой части рассматриваемого ЛНДУ.

Когда f ( x ) представлена в виде многочлена n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , частным решением ЛНДУ станет: y

= Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом степени n , а r – указывает, сколько корней характеристического уравнения равно нулю.
Когда функция f ( x ) представлена в виде произведения многочлена степени n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e α · x , частным решением ЛНДУ второго порядка станет: y

= e α · x · Q n ( x ) · x γ . Здесь Q n ( x ) является многочленом n —ой степени, r указывает, сколько корней характеристического уравнения равно α .
Когда функция f ( x ) записана как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin ( β x ) , где А 1 и В 1 – числа, частным решением ЛНДУ станет запись y

= A cos β x + B sin β x · x γ . Здесь где А и В являются неопределенными коэффициентами, r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно ± i β .
Когда f ( x ) = e α x · P n ( x ) sin β x + Q k x cos β x , то y

= e α x · L m x sin β x + N m x cos β x · x γ , где r – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно α ± i β , P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , m и m соответственно, m = m a x ( n , k ) .

Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства y

( n — 1 ) + . . . + f 1 y

Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.

Когда функция f ( x ) имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.

Пусть нам заданы y j , j = 1 , 2 , . . . , n — n линейно независимые частные решения соответствующего ЛОДУ, тогда, используя различные вариации произвольных постоянных, общим решением ЛНДУ
n -ого порядка с постоянными коэффициентами будет запись: н = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j . В нахождении производных функций C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n поможет система уравнений:

∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0

а собственно функции C j ( x ) , j = 1 , 2 , . . . , n найдем при последующем интегрировании.

Задано ЛНДУ с постоянными коэффициентами: y ‘ ‘ ‘ — 5 y » + 6 y ‘ = 2 x . Необходимо найти его общее решение.

Решение

Составим характеристическое уравнение: k 3 — 5 k 2 + 6 k = 0 . Корни данного уравнения: k 1 = 0 , k 2 = 2 и k 3 = 3 . Таким образом, общим решением ЛОДУ будет запись: y 0 = C 1 + C 2 · e 2 x + C 3 · e 3 x , а частные линейно независимые решения это: y 1 = 1 , y 2 = e 2 x , y 3 = e 3 x .

Варьируем произвольные постоянные: y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x .

Чтобы определить C 1 ( x ) , C 2 ( x ) и C 3 ( x ) , составим систему уравнений:

C ‘ 1 ( x ) · y 1 + C ‘ 2 ( x ) · y 2 + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y ‘ 1 + C ‘ 2 ( x ) · y ‘ 2 + C ‘ 3 ( x ) · y ‘ 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · y » 1 + C ‘ 2 ( x ) · y » 2 + C ‘ 3 ( x ) · y » 3 = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · y 3 = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ = 0 C ‘ 1 ( x ) · 1 ‘ ‘ + C ‘ 2 x · e 2 x ‘ ‘ + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x ‘ ‘ = 2 x ⇔ C ‘ 1 ( x ) · 1 + C ‘ 2 x · e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 2 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 3 e 3 x = 0 C ‘ 1 ( x ) · 0 + C ‘ 2 ( x ) · 4 e 2 x + C ‘ 3 ( x ) · 9 e 3 x = 2 x

Решаем, используя метод Крамера:

∆ = 1 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 0 4 e 2 x 9 e 3 x = 18 e 2 x · e 3 x — 12 e 2 x · e 3 x = 6 e 5 x ∆ C 1 ‘ ( x ) = 0 e 2 x e 3 x 0 2 e 2 x 3 e 3 x 2 x 4 e 2 x 9 e 3 x = e 5 x · 2 x ⇒ C ‘ 1 ( x ) = ∆ C 1 ‘ ( x ) ∆ = e 5 x · 2 x 6 e 5 x = 1 6 · 2 x ∆ C 2 ‘ ( x ) = 1 0 e 3 x 0 0 3 e 3 x 0 2 x 9 e 3 x = — 3 e x · 2 x ⇒ C ‘ 2 ( x ) = ∆ C 2 ‘ ( x ) ∆ = — 3 e 3 x · 2 x 6 e 5 x = — 1 2 · e — 2 x · 2 x ∆ C 3 ‘ ( x ) = 1 e 2 x 0 0 2 e 2 x 0 0 4 e 2 x 2 x = 2 e 2 x · 2 x ⇒ C ‘ 3 ( x ) = ∆ C 3 ‘ ( x ) ∆ = 2 e 2 x · 2 x 6 e 5 x = 1 3 · e — 3 x · 2 x

Интегрируем C ‘ 1 ( x ) = 1 6 · 2 x с помощью таблицы первообразных, а
C ‘ 2 ( x ) = — 1 2 · e — 2 x · 2 x и C ‘ 3 ( x ) = 1 3 · e — 3 x · 2 x при помощи метода интегрирования по частям, получим:
C 1 ( x ) = 1 6 · ∫ 2 x d x = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 C 2 ( x ) = — 1 2 · ∫ e — 2 x · 2 x d x = — 1 2 · e — 2 x · 2 x ln 2 — 2 + C 5 C 3 ( x ) = 1 3 · ∫ e — 3 x · 2 x d x = 1 3 · e — 3 x · 2 x ln 2 — 3 + C 6

Ответ: искомым общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

y = C 1 ( x ) + C 2 ( x ) · e 2 x + C 3 ( x ) · e 3 x = = 1 6 · 2 x ln 2 + C 4 + — 1 2 · e — 2 x · 2 x ln 2 — 2 + C 5 · e 2 x + + 1 3 · e — 3 x · 2 x ln 2 — 3 + C 6 · e 3 x

где C 4 , C 5 и C 6 – произвольные постоянные.

💡 Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Разностные уравнения 2 порядка: кратные корни х.у.Скачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

2195 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные и комплексные.Скачать

Лекция №11 по ДУ. Случай кратных корней характер-го уравнения. Бишаев А.М.Скачать

2187. ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные, не кратные.Скачать

ЛОДУ с постоянными коэффициентами, корни характеристического уравнения | Лекция 37 | МатанализСкачать

Характеристическое уравнение в ДУСкачать

2194. ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные и действительные.Скачать

2184 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные и различныеСкачать

2191. ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные, не кратные.Скачать

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Действительные и кратные корниСкачать

Разностные уравнения | Решение задачСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

2186 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные, не кратные.Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать