Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Уравнение незатухающих гармонических колебаний, формула

При любых колебаниях отклонение системы вызывает появление восстанавливающей силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

Линейный закон силы: Гармонические колебания характеризуются соотношением: Восстанавливающая сила Fв пропорциональна отклонению у.

Отклонению у отвечает сила F, определяемая жесткостью системы

yотклонение спустя время t,метр
Fотклоняющая сила,Ньютон
Fв

восстанавливающая сила,Ньютон
Dжесткость,Ньютон/метр
mмасса,килограмм
ωкруговая частота,радиан / секунда

Противоположно направленная восстанавливающая сила равна

Отсюда после перестановки следует

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний

Решение этого дифференциального уравнения дается формулой отклонения, что можно доказать, дважды продифференцировав отклонение y по t.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих коле­баний

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Здесь х — смещение колеблющейся материальной точки, t — время,

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где А — амплитуда колебаний, Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет видфаза колебаний, φ0 — начальная фаза колебаний φ= φ0 при t=0, ω0— круговая частота колебаний.

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид, где k — коэффициент квази­упругой силы (F= — kx), возникающей в системе при выходе ее из положения равновесия.

Период колебаний:

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где L — длина маятника, g — ускорение свободного падения;

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где k — жесткость пружины;

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где J — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; L— расстояние между точкой подвеса и центром массы маятника.

Приведенная длина физического маятника

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Скорость материальной точки, совершающей гармонические ко­лебания,

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где Aω0=Vmax –амплитуда скорости.

Ускорение материальной точки при гармонических колебаниях:

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид-амплитуда ускорения.

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

6) Фаза колебаний ωt + φ0 − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ0 − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ0 , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ0)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x1 и x2 , которые запишутся следующим образом:

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x2+x2 , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Так как угол между векторами А 1 и А 2 равен φ=π-(φ21) , то cos[π-(φ21)]=-cos(φ21) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$xover A_1$$ , а sinωt= $$sqrt=sqrt$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Перепишем это уравнение в следующем виде

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

После преобразования, получим

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( — )^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= sqrt<A_1+A_2>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

В этом случае $$( — )^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

3) Разность фаз равна ± $$πover 2$$ [φ=± $$π over2$$ ] . Тогда

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$πover 2$$ и φ=- $$πover 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$πover 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A1cosωt , и y=-A2sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$πover 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A1cosωt , и y=A2sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

и получим выражение для скорости

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

ω0 − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ0) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox Fупр=ma . Упругая сила Fупр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2πover ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φover dt^2$$ , получим

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Период колебаний математического маятника

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Период колебаний математического маятника

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$sqrt$$ и T=2π $$sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

Общее решение дифференциального уравнения свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина lпр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

🔍 Видео

Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

70. Затухающие колебанияСкачать

70. Затухающие колебания

Лекция 6. Гармонические колебания. Свободные незатухающие колебания. Гармонический осцилляторСкачать

Лекция 6. Гармонические колебания. Свободные незатухающие колебания. Гармонический осциллятор

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | ИнфоурокСкачать

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | Инфоурок

Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Выполнялка 53.Гармонические колебания.

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | Инфоурок

Свободные электромагнитные колебания. 11 класс.Скачать

Свободные электромагнитные колебания. 11 класс.

Якута А. А. - Механика - Гармонические колебания. Собственные затухающие колебанияСкачать

Якута А. А. - Механика - Гармонические колебания. Собственные затухающие колебания

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

ЧК_МИФ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СЛУЧАЕ ОТСУТСТВИЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛСкачать

ЧК_МИФ       РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СЛУЧАЕ ОТСУТСТВИЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ
Поделиться или сохранить к себе: