Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

Тест по алгебре для 7 класса по теме «Линейное уравнение с одной переменной»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

Тест по алгебре 7 класс.

«Линейное уравнение с одной переменной».

1. Придумайте и запишите какое- нибудь линейное уравнение с одним неизвестным х.

2. Как называется уравнение -2х = 17?

3. При каком условии уравнение сх = 5имеет единственный корень? Запишите этот корень.

4. Реши уравнение 0,2х = -1.

5. К обеим частям уравнения прибавили число -3. Какими являются полученное и исходное уравнение?

6. Решите уравнение 5-х = 2х-1.

1.Придумайте и запишите какое- нибудь линейное уравнение с одним неизвестным у.

2.Как называется уравнение -3х = 5?

3.При каком условии уравнение ау = -6 не имеет корней?

4.Реши уравнение -0,3у = 30.

5.Обе части уравнения умножили на число -14. Какими являются полученное и исходное уравнение?

6.Решите уравнение 3х+ 5= -х+17.

Вариант 1. Вариант 2.

2. Линейное уравнение. 2. Линейное уравнение.

5. Равносильными. 5. Равносильными

Содержание
  1. Краткое описание документа:
  2. Как домножить обе части уравнения
  3. Решение уравнений с дробями
  4. Понятие дроби
  5. Основные свойства дробей
  6. Понятие уравнения
  7. Понятие дробного уравнения
  8. Как решать уравнения с дробями
  9. 1. Метод пропорции
  10. 2. Метод избавления от дробей
  11. Что еще важно учитывать при решении
  12. Универсальный алгоритм решения
  13. Примеры решения дробных уравнений
  14. Рациональные уравнения с примерами решения
  15. Рациональные уравнения. Равносильные уравнения
  16. Применение условия равенства дроби нулю
  17. Пример №202
  18. Использование основного свойства пропорции
  19. Пример №203
  20. Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей
  21. Пример №204
  22. Пример №205
  23. Степень с целым показателем
  24. Как домножить обе части уравнения
  25. Решение задач по математике онлайн
  26. Калькулятор онлайн. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Метод подстановки и сложения.
  27. Немного теории.
  28. Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
  29. Решение систем линейных уравнений способом сложения
  30. 🎬 Видео

Краткое описание документа:

«Описание материала:

Уважаемые учителя математики! Предлагаю Вашему вниманию тест по алгебре для 7 класса. «Линейные уравнения с одной переменной».

Данный тест можно использовать на уроках алгебры в 7 классе по учебнику «Алгебра .7 класс.» под редакцией А.Г.Мордковича. Выполняя этот тест, учитель в короткий отрезок времени проверит не только знание теоретической части, но и умение решать учащимися линейных уравнений.

Особое внимание уделяется пониманию учащимися такого понятия как линейное уравнение с параметрами.Ведь именно в этой теме впервые происходит знакомство с этим понятием. Удачи Вам! Спасибо!

«Выдержка из материала:

Тест по алгебре 7 класс. «Линейное уравнение с одной переменной».

1. Придумайте и запишите какое- нибудь линейное уравнение с одним неизвестным х.

2. Как называется уравнение -2х = 17?

3. При каком условии уравнение сх = 5имеет единственный корень? Запишите этот корень.

4. Реши уравнение 0,2х = -1.

5. К обеим частям уравнения прибавили число -3. Какими являются полученное и исходное уравнение?

6. Решите уравнение 5-х = 2х-1.

1.Придумайте и запишите какое- нибудь линейное уравнение с одним неизвестным у.

2.Как называется уравнение -3х = 5?

3.При каком условии уравнение ау = -6 не имеет корней?

4.Реши уравнение -0,3у = 30.

5.Обе части уравнения умножили на число -14. Какими являются полученное и исходное уравнение?

6.Решите уравнение 3х+ 5= -х+17.

Ответы.

Вариант 1. Вариант 2.2. Линейное уравнение. 2. Линейное уравнение.3. с≠0,х=5/с. 3. а=0.4. х=-5. 4. у=-1005. Равносильными. 5. Равносильными.6. х=2. 6. х=-6.

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)

Как домножить обе части уравнения

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

Решение уравнений с дробями

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Решение системы уравнений способом алгебраического сложения. Основы способа. План решения. Алгебра 7Скачать

Решение системы уравнений способом алгебраического сложения. Основы способа. План решения. Алгебра 7

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Равносильность уравнений. Уравнение – следствие | Алгебра 11 класс #24 | Инфоурок

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнение

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравненияОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

Переведем новый множитель в числитель..

Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

    Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.

    Рациональные уравнения с примерами решения

    Содержание:

    Видео:Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?Скачать

    Сложные уравнения. Как решить сложное уравнение?

    Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

    два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

    Так, например, равносильными будут уравнения Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Уравнения Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

    Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

    1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

    2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

    3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

    Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

    В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

    Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

    Применение условия равенства дроби нулю

    Напомним, что Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениекогда Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Пример №202

    Решите уравнение Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Решение:

    С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениегде Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— целые рациональные выражения. Имеем:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Окончательно получим уравнение: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Чтобы дробь Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеравнялась нулю, нужно, чтобы числитель Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеравнялся нулю, а знаменатель Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениене равнялся нулю.

    Тогда Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеоткуда Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеПри Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениезнаменатель Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеСледовательно, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— единственный корень уравнения.

    Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

    1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    2) приравнять числитель Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениек нулю и решить полученное целое уравнение;

    3) исключить из его корней те, при которых знаменатель Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеравен нулю, и записать ответ.

    Использование основного свойства пропорции

    Если Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнението Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениегде Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Пример №203

    Решите уравнение Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Решение:

    Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеИмеем: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнението есть ОДЗ переменной Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениесодержит все числа, кроме 1 и 2.

    Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеполучив пропорцию: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    По основному свойству пропорции имеем:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Решим это уравнение:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеоткуда Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

    Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

    1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

    2) привести уравнение к виду Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    3) записать целое уравнение Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи решить его;

    4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

    Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

    Пример №204

    Решите уравнение Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Решение:

    Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Областью допустимых значений переменной будут те значения Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениепри которых Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнението есть все значения Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениекроме чисел Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеА простейшим общим знаменателем будет выражение Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Умножим обе части уравнения на это выражение:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Получим: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеа после упрощения: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнението есть Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеоткуда Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеили Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

    Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

    Решая дробное рациональное уравнение, можно:

    3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

    4) решить полученное целое уравнение;

    5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

    Пример №205

    Являются ли равносильными уравнения

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Решение:

    Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

    Первое уравнение имеет единственный корень Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеа второе — два корня Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение(решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

    Степень с целым показателем

    Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    где Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— натуральное число, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениекг. Как понимать смысл записи Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Рассмотрим степени числа 3 с показателями Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— это соответственно Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Число Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениедолжно быть втрое меньше числа Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеравного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеРавенство Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениесправедливо для любого основания Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениепри условии, что Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениепри Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениезаписано число Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеЭто число втрое меньше, чем 1, то есть равно Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеСледовательно, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеРассуждая аналогично получаем: Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи т. д.

    Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

    если Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение натуральное число, то Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

    Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

    Как домножить обе части уравнения

    Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

    Свойства уравнений
    • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
    • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
    • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
    Линейное уравнение

    Уравнение вида Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, где Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— переменная, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениенекоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

    Значения Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение
    Корни уравнения Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеОбе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение-любое числокорней нет
    Одночлены и многочлены
    Одночлены
    • Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
    • Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
    • Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
    • Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
    • Нуль-одночлен степени не имеет.
    Многочлены
    • Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
    • Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
    • Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
    Умножение одночлена на многочлен

    Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

    Умножение многочлена на многочлен

    Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

    Формулы сокращенного умножения
    Разность квадратов двух выражений

    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Произведение разности и суммы двух выражений

    Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений пл юс квадрат второго выражении:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

    Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, н а зывают полным квадратом.

    Сумма и разность кубов двух выражений

    Многочлен Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеназывают неполным квадратом разности.

    Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выр а жений и неполного квадрата их разности:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Многочлен Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеназывают неполным квадратом суммы.

    Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Степень. Свойства степени с целым показателем
    Свойства степени с целым показателем

    Для любого Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи любых целых Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениевыполняются равенства:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Для любых Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи любого целого Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениевыполняются равенства:

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение

    Функция. Область определения и область значений функции
    Функция

    Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной п e ременной от другой — функциональной.
    Обычно независимую переменную обозначают Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, зависимую обозначают Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, функцию(правило) — Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение.
    Независимую переменную Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеназывают аргументом функции. Значение зависимой переменной Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеназывают значением функции.
    Тогда функциональную зависимость обозначают Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение.
    Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

    Способы задания функции

    Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

    График функции

    Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

    Линейная функция, её график и свойства
    • Функцию, которую можно задать формулой вида Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, где Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнениеи Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— некоторые числа, Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение— независимая переменная, называют линейной.
    • Графиком линейной функции является прямая.
    • Линейную функцию, заданную формулой Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, где Обе части уравнения умножили на число 7 каким является полученное и исходное уравнение, называют прямой пропорциональностью.
    Системы линейных уравнений с двумя переменными
    Уравнение с двумя переменными

    Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

    Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

    Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

    Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

    • все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
    • координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.
    Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

    Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

    • построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
    • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
    • полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

    Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

    • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
    • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
    • если прямые параллельны, то система решений не имеет.
    Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

    Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

    • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
    • подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
    • решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
    • подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
    • вычислить значение второй переменной;
    • записать ответ.
    Решение систем линейных уравнений методом сложения

    Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

    • подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
    • сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
    • решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
    • подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
    • вычислить значение второй переменной;
    • записать ответ.

    Видео:Уравнение и его корни | Алгебра 7 класс #16 | ИнфоурокСкачать

    Уравнение и его корни | Алгебра 7 класс #16 | Инфоурок

    Решение задач по математике онлайн

    //mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

    Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Калькулятор онлайн.
    Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
    Метод подстановки и сложения.

    С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

    Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
    Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

    При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
    Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

    В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

    Правила ввода десятичных дробей.
    Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
    Например: 2.1n + 3,5m = 55

    Правила ввода обыкновенных дробей.
    В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
    Знаменатель не может быть отрицательным.
    При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
    Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

    Примеры.
    -1&2/3y + 5/3x = 55
    2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

    Решить систему уравнений

    Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

    Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

    Немного теории.

    Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

    МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

    Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

    Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
    1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
    2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
    3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
    4) находят соответствующее значение второй переменной.

    Пример. Решим систему уравнений:
    $$ left< begin 3x+y=7 \ -5x+2y=3 end right. $$

    Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
    $$ left< begin y = 7—3x \ -5x+2(7-3x)=3 end right. $$

    Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
    $$ -5x+2(7-3x)=3 Rightarrow -5x+14-6x=3 Rightarrow -11x=-11 Rightarrow x=1 $$

    Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
    $$ y=7-3 cdot 1 Rightarrow y=4 $$

    Пара (1;4) — решение системы

    Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

    Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

    Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

    Решение систем линейных уравнений способом сложения

    Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

    Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
    1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
    2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
    3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
    4) находят соответствующее значение второй переменной.

    Пример. Решим систему уравнений:
    $$ left< begin 2x+3y=-5 \ x-3y=38 end right. $$

    В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
    $$ left< begin 3x=33 \ x-3y=38 end right. $$

    Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение ( x-3y=38 ) получим уравнение с переменной y: ( 11-3y=38 ). Решим это уравнение:
    ( -3y=27 Rightarrow y=-9 )

    Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: ( x=11; y=-9 ) или ( (11; -9) )

    Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

    🎬 Видео

    Решение простейших уравненийСкачать

    Решение простейших уравнений

    Как расставлять коэффициенты в уравнении реакции? Химия с нуля 7-8 класс | TutorOnlineСкачать

    Как расставлять коэффициенты в уравнении реакции? Химия с нуля 7-8 класс | TutorOnline

    Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать

    Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!

    5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

    5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?
    Поделиться или сохранить к себе: