Numpy решение системы нелинейных уравнений

Два или более линейных уравнения с одинаковым набором переменных называются системой линейных уравнений. Мы можем решить эти переменные в Python с помощью Numpy.

• Автор записи

Автор: Guest Contributor
Дата записи

Библиотека Numpy может использоваться для выполнения различных математических/научных операций, таких как матричные кросс-и точечные произведения, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипулирование формой и т. Д. Слово Numpy-это сокращенное обозначение “Числового питона”.

В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy Python.

Что такое Система линейных уравнений?

В математике система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой совокупность двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений – найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными, x и y :

Чтобы решить приведенную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y . Существует множество способов решения такой системы, таких как Исключение переменных, Правило Крамера, Метод сокращения строк и Матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

В матричном решении система решаемых линейных уравнений представляется в виде матрицы AX . Например, мы можем представить Уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

Чтобы найти значение переменных x и y в Уравнение 1 , нам нужно найти значения в матрице X . Для этого мы можем взять точечное произведение обратной матрицы A и матрицы B , как показано ниже:

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричный точечный продукт, ознакомьтесь с этой статьей .

Решение системы линейных уравнений с Numpy

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений необходимо выполнить две операции: инверсию матрицы и матричное точечное произведение. Библиотека Numpy из Python поддерживает обе эти операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip :

Теперь давайте посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv() и dot()

Во-первых, мы найдем обратную матрицу A , которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A в Python. Для создания матрицы можно использовать метод array модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list , который далее содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки являются двумя строками в матрице A . Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу array , как показано ниже:

Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается в метод linalg.inv() модуля Numpy:

Следующий шаг-найти точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B . Важно отметить, что матричное точечное произведение возможно только между матрицами , если внутренние размеры матриц равны , то есть количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Для поиска точечного продукта с помощью библиотеки Numpy используется функция linalg.dot () . Следующий скрипт находит точечное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения 1 .

Вот, 2 и 4 являются ли соответствующие значения для неизвестных x и y in Уравнение 1 . Для проверки, если вы подключаете 2 на месте неизвестного x и 4 на месте неизвестного y в уравнении 4x + 3y вы увидите , что результат будет равен 20.

Давайте теперь решим систему из трех линейных уравнений, как показано ниже:

Приведенное выше уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

В приведенном выше скрипте методы linalg.inv() и linalg.dot() соединены вместе. Переменная X содержит решение для уравнения 2 и печатается следующим образом:

Значение для неизвестных x , y и z равно 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подключить эти значения в Уравнение 2 и проверить их правильность.

Использование метода solve()

В предыдущих двух примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg.dot() для нахождения решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.dsolve () , который может быть использован для непосредственного нахождения решения системы линейных уравнений:

Вы можете видеть, что выход такой же, как и раньше.

Реальный Пример

Давайте посмотрим, как система линейных уравнений может быть использована для решения реальных задач.

Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, то какова была цена одного манго и одного апельсина?

Эта задача легко решается с помощью системы двух линейных уравнений.

Допустим, цена одного манго равна x , а цена одного апельсина равна y . Вышеприведенная проблема может быть преобразована следующим образом:

Решение приведенной выше системы уравнений показано здесь:

Результат показывает, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина-15 долларов.

Видео:Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Как решить пару нелинейных уравнений с помощью Python?

каков (лучший) способ решить a пара нелинейных уравнений с использованием Python. (Numpy, Scipy или Sympy)

фрагмент кода, который решает вышеуказанную пару, будет отличным

Видео:FreeDy010 Решение Системы нелинейных уравнений scipy sympyСкачать

7 ответов

для численного решения, вы можете использовать fsolve:

Если вы предпочитаете sympy вы можете использовать nsolve.

первый аргумент-это список уравнений, второй-список переменных, а третий-начальная догадка.

попробуйте этот, я уверяю вас, что он будет работать отлично.

к вашему сведению. как упоминалось выше, вы также можете использовать «приближение Бройдена», заменив «fsolve» на «broyden1». Это работает. Я сделал это.

Я точно не знаю, как работает приближение Бройдена, но это заняло 0.02 s.

и я рекомендую вам не использовать функции Sympy

вы можете использовать пакет openopt и его метод NLP. Он имеет много алгоритмов динамического программирования для решения нелинейных алгебраических уравнений, состоящих из:
goldenSection, scipy_fminbound, scipy_bfgs, scipy_cg, scipy_ncg, amsg2p, scipy_lbfgsb, scipy_tnc, bobyqa, ralg, ipopt, scipy_slsqp, scipy_cobyla, lincher, algencan, который вы можете выбрать.
Некоторые из последних алгоритмов могут решить ограниченную задачу нелинейного программирования. Итак, вы можете представить свою систему уравнения для openopt.НЛП () С такой функцией:

lambda x: x[0] + x[1]**2 — 4, np.exp(x[0]) + x[0]*x[1]

Я получил метод Бройдена для работы для связанных нелинейных уравнений (обычно с полиномами и экспонентами) в IDL, но я не пробовал его в Python:

scipy.оптимизировать.broyden1

найти корни функции, используя первый аппроксимация Якобиана Бройдена по.

этот метод также известен как»хороший метод Бройдена».

🎬 Видео

Решения системы линейных уравнений на Python (Sympy).Скачать

Использование библиотеки SymPy для работы с системами уравнений в PythonСкачать

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Numpy (система уравнений)Скачать

#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy урокиСкачать

Numpy - unique methodСкачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Основы NumPy Python | Массивы, Матрицы И Операции Над НимиСкачать

Линейная алгебра для Data Science: Системы линейных уравнений. Примеры в Numpy #numpy #datascienceСкачать

Система НЕЛИНЕЙНЫХ уравнений ★ Как решать ★ Быстрый способ ★ Решите систему x^3+y^3=65; yx^2+xy^2=20Скачать

max and min function of numpy in pythonСкачать

Решение систем линейных матричных уравнений через формулы Крамера в PythonСкачать

Решение системы нелинейных уравнений графическим способом средствами ExcelСкачать