Нормальная система дифференциальных уравнений 1 го порядка (3 видео)

Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

Оглавление

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 1

2. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка. 3

3. Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. 2

4. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 3

5. Системы неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. 2

Преобразование Лапласа. 1

7. Свойства преобразования Лапласа. 3

8. Приложения преобразования Лапласа. 2

Введение в интегральные уравнения. 1

10. Элементы общей теории линейных интегральных уравнений. 3

11. Понятие об итерационном решении интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. 2

12. Уравнение Вольтерра. 2

13. Решение уравнений Вольтерра с разностным ядром с использованием преобразования Лапласа. 2

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Введение

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений состоят из нескольких уравнений, содержащих производные неизвестных функций одного переменного. В общем случае такая система имеет вид

где – неизвестные функции, t – независимая переменная, – некоторые заданные функции, индекс нумерует уравнения в системе. Решить такую систему – значит найти все функции , удовлетворяющие этой системе.

В качестве примера рассмотрим уравнение Ньютона, описывающее движение тела массы под действием силы :

где – вектор, проведенный из начала координат к текущему положению тела. В декартовой системе координат его компонентами являются функции Таким образом, уравнение (1.2) сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка

Для нахождения функций в каждый момент времени , очевидно, надо знать начальное положение тела и его скорость в начальный момент времени – всего 6 начальных условий (что отвечает системе из трёх уравнений второго порядка):

Уравнения (1.3) вместе с начальными условиями (1.4) образуют задачу Коши, которая, как ясно из физических соображений, имеет единственное решение, дающее конкретную траекторию движения тела, если сила удовлетворяет разумным критериям гладкости.

Важно отметить, что эта задача может быть сведена к системе из 6 уравнений первого порядка введением новых функций. Обозначим функции как , и введем три новые функции , определенные следующим образом

Систему (1.3) теперь можно переписать в виде

Таким образом, мы пришли к системе из шести дифференциальных уравнений первого порядка для функций Начальные условия для этой системы имеют вид

Первые три начальных условия дают начальные координаты тела, последние три – проекции начальной скорости на оси координат.

Пример 1.1. Свести систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка

к системе из четырех уравнений 1-го порядка.

Решение. Введем следующие обозначения:

При этом исходная система примет вид

Еще два уравнения дают введенные обозначения:

Окончательно, составим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, эквивалентную исходной системе уравнений 2-го порядка

Эти примеры иллюстрируют общую ситуацию: любая система дифференциальных уравнений может быть сведена к системе уравнений 1-го порядка. Таким образом, в дальнейшем мы можем ограничиться изучением систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

В общем виде систему из n дифференциальных уравнений 1-го порядка можно записать следующим образом:

где – неизвестные функции независимой переменной t, – некоторые заданные функции. Общее решение системы (2.1) содержит n произвольных констант, т.е. имеет вид:

При описании реальных задач с помощью систем дифференциальных уравнений конкретное решение, или частное решение системы находится из общего решения заданием некоторых начальных условий. Начальное условие записывается для каждой функции и для системы n уравнений 1-го порядка выглядит так:

Решения определяют в пространстве линию, которая называется интегральной линией системы (2.1).

Сформулируем теорему существования и единственности решения для систем дифференциальных уравнений.

Теорема Коши. Система дифференциальных уравнений 1-го порядка (2.1) вместе с начальными условиями (2.2) имеет единственное решение (т.е. из общего решения определяется единственный набор констант ), если функции и их частные производные по всем аргументам ограничены в окрестности этих начальных условий.

Естественно речь идет о решении в какой-то области переменных .

Решение системы дифференциальных уравнений можно рассматривать как вектор-функцию X, компонентами которого являются функции а набор функций – как вектор-функцию F, т.е.

Используя такие обозначения, можно кратко переписать исходную систему (2.1) и начальные условия (2.2) в так называемой векторной форме:

(2.1a)

(2.2a)

Одним из методов решения системы дифференциальных уравнений является сведение этой системы к одному уравнению более высокого порядка. Из уравнений (2.1), а также уравнений, полученных их дифференцированием, можно получить одно уравнение n-го порядка для любой из неизвестных функций Интегрируя его, находят неизвестную функцию Остальные неизвестные функции получаются из уравнений исходной системы и промежуточных уравнений, полученных при дифференцировании исходных.

Пример 2.1. Решить систему двух дифференциальных первого порядка

сведя его к одному уравнению 2-го порядка.

Решение. Продифференцируем второе уравнение:

Производную выразим через первое уравнение

Из второго уравнения

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

откуда получаем Тогда общим решением данного дифференциального уравнения будет

Мы нашли одну из неизвестных функций исходной системы уравнений. Пользуясь выражением можно найти и :

Решим задачу Коши при начальных условиях

Подставим их в общее решение системы

и найдем константы интегрирования:

Таким образом, решением задачи Коши будут функции

Графики этих функций изображены на рисунке 1.

Рис. 1. Частное решение системы примера 2.1 на интервале

Пример 2.2.Решить систему

сведя его к одному уравнению 2-го порядка.

Решение. Дифференцируя первое уравнение, получим

Пользуясь вторым уравнением, приходим к уравнению второго порядка для x:

Нетрудно получить его решение, а затем и функцию , подставив найденное в уравнение . В результате имеем следующее решение системы:

Замечание. Мы нашли функцию из уравнения . При этом на первый взгляд кажется, что можно получить то же самое решение, подставив известное во второе уравнение исходной системы

и проинтегрировав его. Если находить таким образом, то в решении появляется третья, лишняя константа:

Однако, как нетрудно проверить, исходной системе функция удовлетворяет не при произвольном значении , а только при Таким образом, определять вторую функцию следует без интегрирования.

Сложим квадраты функций и :

Полученное уравнение дает семейство концентрических окружностей с центром в начале координат в плоскости (см. рисунок 2). Полученные параметрические кривые называются фазовыми кривыми, а плоскость, в которой они расположены – фазовой плоскостью.

Подставляя какие-либо начальные условия в исходное уравнение, можно получить определенные значения констант интегрирования , а значит окружность с определенным радиусом в фазовой плоскости. Таким образом, каждому набору начальных условий соответствует конкретная фазовая кривая. Возьмем, например, начальные условия . Их подстановка в общее решение дает значения констант , таким образом, частное решение имеет вид . При изменении параметра на интервале мы следуем вдоль фазовой кривой по часовой стрелке: значению отвечает точка начального условия на оси , значению — точка на оси , значению — точка на оси , значению — точка на оси , при мы возвращаемся в начальную точку .

Рис. 2. Фазовая плоскость для примера 2.2

Иногда систему дифференциальных уравнений удается легко решить, подобрав интегрируемые комбинации неизвестных функций. Рассмотрим этот метод решения на примере.

Пример 2.3. Решить систему

подобрав интегрируемую комбинацию.

Решение. Складывая эти два уравнения, получим

Разделяя переменные, решаем это дифференциальное уравнение относительно :

или

Вычтем из первого уравнения второе и решим полученное дифференциальное уравнение относительно :

Из двух полученных уравнений теперь нетрудно выразить и :

(множитель 1/2 был внесен в константы интегрирования).

Задачи

Решить следующие системы дифференциальных уравнений повышением порядка и решить задачу Коши с произвольными начальными условиями.

2.1 2.6

2.2 2.7

2.3 2.8

2.4 2.9

2.5 2.10

Ответы

2.1 2.6

2.2 2.7

2.3 2.8

2.4 2.9

2.5 2.10

Содержание

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения
Решение систем дифференциальных уравнений
Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
Метод исключения
Метод интегрируемых комбинаций
Системы линейных дифференциальных уравнений
Фундаментальная матрица
Квадратная матрица
Метод вариации постоянных
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Метод Эйлера
Матричный метод
Понятие о системах дифференциальных уравнений
Нормальная система дифференциальных уравнений 1 го порядка
3.1. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
🔍 Видео

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Если в (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

является мастным случаем канонической системы. Положив в силу исходного уравнения будем иметь

В результате получаем нормальную систему уравнений

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

дифференцируемых на интервале а

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

и пусть функции определены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Если существует окрестность точки в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным то найдется интервал изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Определение:

Система n функций

зависящих от t и n произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области функции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение

системы (7), принимающее при значения определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Эту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение системы (7), принимающее при t = to начальные значения изображается кривой АВ, проходящей через точку (рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Введя новые функции заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Заменяя в правой части производные их выражениями получим

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Продолжая этот процесс, найдем

Предположим, что определитель

(якобиан системы функций отличен от нуля при рассматриваемых значениях

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

будет разрешима относительно неизвестных При этом выразятся через

Внося найденные выражения в уравнение

получим одно уравнение n-го порядка

Из самого способа его построения следует, что если есть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции

от t в систему уравнений

По предположению эту систему можно разрешить относительно т. е найти как функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

откуда, используя второе уравнение, получаем

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

В силу первого уравнения системы находим функцию

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом и с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Мы нашли два конечных уравнения

из которых легко определяется общее решение системы:

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля:

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

определяются все неизвестные функции

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

или, в матричной форме,

Теорема:

Если все функции непрерывны на отрезке то в достаточно малой окрестности каждой точки где выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, и их частные производные по ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам

Введем линейный оператор

Тогда система (2) запишется в виде

Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

является решением той же системы.

Теорема:

Если есть решение линейной неоднородной системы

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

будет решением неоднородной системы

Действительно, по условию,

Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем

Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений

Определение:

называются линейно зависимыми на интервале a

при причем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

называется определителем Вронского системы векторов

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

где матрица с элементами Система n решений

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а

с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а

() — произвольные постоянные числа).

Пример:

имеет, как нетрудно проверить, решения

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Общее решение системы имеет вид

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

с непрерывными на отрезке коэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (2):

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

есть общее решение однородной системы (6), тогда

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

где неизвестные функции от t. Дифференцируя по t, имеем

Подставляя в (2), получаем

то для определения получаем систему

или, в развернутом виде,

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений . Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a

где — известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Подставляя эти значения в (9), находим частное решение системы (2)

(здесь под символом понимается одна из первообразных для функции

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

в которой все коэффициенты — постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

где — постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно степени n. Из этого уравнения определяются те значения , при которых система (3) имеет нетривиальные решения . Если все корни характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения этой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

где произвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Ищем решение в виде

имеет корни

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Подставляя в (*) получаем

откуда а21 = а11. Следовательно,

Полагая в находим a22 = — a12, поэтому

Общее решение данной системы:

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

матрица с постоянными действительными элементами

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор называется собственным вектором матрицы А, если

Число называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения матрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — матрица, элементы которой суть функции аргумента t, определенные на множестве . Матрица В(t) называется непрерывной на , если непрерывны на все ее элементы . Матрица В(t) называется дифференцируемой на , если дифференцируемы на все элементы этой матрицы. При этом производной матрицы называется матрица, элементами которой являются производные у соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

В частности, если В — постоянная матрица, то

так как есть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, произвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Умножая обе части последнего соотношения слева на и учитывая, что придем к системе

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Здесь — произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

решение Y(t) можно представить в виде

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения матрицы как корни алгебраического уравнения

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Матрица А системы имеет вид

1) Составляем характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения

2) Находим собственные векторы

Для = 4 получаем систему

откуда g11 = g12, так что

Аналогично для = 1 находим

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты системы (7) действительные, то характеристическое уравнение

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем оно будет иметь и корень *, комплексно сопряженный с . Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению , то * — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном решение

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению * будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения . Таким образом, паре , * комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть — действительные собственные значения, — комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

1) Характеристическое уравнение системы

Его корни

2) Собственные векторы матриц

3) Решение системы

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Нормальная система дифференциальных уравнений 1 го порядка

Lv 1 = f, Lv 2 = f,

То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же L) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения.

2.3. Линейная зависимость вектор-функций.

Вектор-функции x 1 (t), . x k (t) называются линейно зависимыми на интервале (или на множестве) М , если найдутся такие постоянные числа c₁. c_k, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при всех t Î M имеем

Вектор-функции линейно независимы на M , если они не являются линейно зависимыми на M, то есть если равенство (12) (при всех t Î M одновременно) возможно лишь в случае c₁ = . = с_k = 0.

Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном множестве M, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.

Если вектор-функции x 1 (t), . x k (t) линейно зависимы на M, то при каждом t Î M их значения являются линейно зависимыми векторами, это следует из (12). Обратное неверно.

x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)

при любом t являются линейно зависимыми векторами.

Но как вектор-функции, они на любом интервале ( α, β) линейно независимы, так как при постоянных с₁ и c₂ равенство

на всем интервале ( α, β) возможно лишь при с₁ = с₂ = 0.

Действительно, c₁x 1 (t) + c₂ x 2 (t) = 0 эквивалентно выполнению равенства

2.3. Детерминант Вронского.

Детерминант Вронского W (t) или вронскиан для n-мерных вектор-функций

х 1 (t). , x n ( t ) — это детерминант n-го порядка, столбцы которого состоят из координат этих вектор-функций.

Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно зависимы, то их вронскиан W(t) ≡ 0.

Если вронскиан W(t) ≠ 0 ( $ t ), то вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно независимы.

Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) являются решениями системы х’ = A(t)x с непрерывной матрицей A ( t ), и их вронскиан равен нулю хотя бы при одном значении t , то эти вектор-функции линейно зависимы и их вронскиан W(t) ≡ 0.

Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций примера 2

x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)

имеем: W(t) ≡ 0, а они линейно независимы.

Далее рассматриваются решения линейной системы

Фундаментальной системой решений называется любая система n линейно независимых решений.

Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем t₀ Î ( α, β) и любые n линейно независимых векторов b 1 , …, b n Î R n

Пусть х 1 (t). ,x n (t) — решения системы х’ = A(t)x с начальными условиями x j (t 0 ) = b j , j = 1. ,n.

Эти решения линейно независимы, так как при t = t₀ их значения — линейно независимые векторы b 1 . b n , и равенство (12) возможно только при c₁ = . = c_n = 0.

Общим решением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множество при всевозможных значениях произвольных постоянных).

Теорема 5 (об общем решении).

Пусть x l (t). x n (t) — какие-нибудь n линейно независимых решений системы

Общее решение системы есть

Теорема 5 означает, что множество решений системы х’ = A(t)x (х Î R n ) есть n-мерное линейное пространство.

Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Равенство (13) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса.

Фундаментальной матрицей системы х’ = A(t)x называется матрица X(t), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений.

Из леммы 3 следует, что det X(t) = W(t) ≠ 0.

С помощью фундаментальной матрицы X(t) общее решение (13) записывается в виде

где с — вектор-столбец с произвольными координатами c₁. с_n (так как X(t)c — линейная комбинация столбцов матрицы X(t), равная правой части (13) с коэффициентами с₁. с_n.

Найти линейно независимые решения и фундаментальную матрицу для системы

Из второго уравнения имеем у = с₁ (произвольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем х’ = с₁. Отсюда х = c₁t + c₂.

Общее решение есть х = c₁t + c₂,

Полагая с₁ = 1, с₂ = 0, находим частное решение х₁ = t,

y₁ = 1, а полагая с₁ = 0, с₂ = 1, находим другое решение х₂ = 1,

y₂ = 0. Их вронскиан W(t) = -1 ≠ 0. И в силу следствия леммы 2 эти решения линейно независимы. Поэтому фундаментальной является матрица

X T = x 1 x 2 y 1 y 2 .

Теорема 6 (переход от одной фундаментальной матрицы к другой).

Пусть X(t) — фундаментальная матрица, С — неособая (det С ≠ 0) постоянная матрица n x n. Тогда Y(t) = X(t)C — фундаментальная матрица той же системы. По этой формуле из данной фундаментальной матрицы X(t) можно получить любую фундаментальную матрицу Y(t), подбирая матрицу С.

Теорема 7 . Общее решение линейной неоднородной системы (10)

есть сумма ее частного решения и общего решения линейной однородной системы

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.

На этой лекции мы рассмотрим пример применения теории дифференциальных уравнений в непрерывной модели экономики, где независимой переменной является время t . Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

3.1. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P ( t ).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:

D(t) = 3P′′ – P′ – 2P +18,

S(t) = 4P′′ + P′ + 3P + 3. (14)

Принятые в (14) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп растет ( Р» > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р» в функции S ( t ) больше, чем в D ( t ) . Рост цены также увеличивает предложение, потому слагаемое, содержащее Р’ , входит в выражение для S ( t ) со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S , приравняем правые части уравнений (14). После приведения подобных получаем

Соотношение (15) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P ( t ) . Как было установлено в предыдущем пункте, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни — комплексно-сопряженные числа: k _1,2 = -1 ± 2 i, и, следовательно, общее решение уравнения (16) дается формулой

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

В качестве частного решения неоднородного уравнения (15) возьмем решение Р = P _st — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (15) дает значение P _st :

Таким образом, общее решение уравнения (15) имеет вид

Нетрудно видеть, что P ( t ) P _st = 3 при t , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене P _st с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

3.2. Частные решения: задача Коши и смешанная задача.

Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция ее изменения: При t =0

Подставляя первое условие в формулу общего решения (17), получаем

P(t) = 3 + e –t (cos 2t + C₂ sin 2t). (18)

Дифференцируя , имеем отсюда

Теперь реализуем второе условие задачи Коши:

Р’ (0) = 2 C₂ — 1 = 1, откуда C ₂ = 1 . Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

P(t) = 3 + e –t (cos 2t + sin 2t).

или в более удобной форме:

P t = 3+ 2 e — t cos 2 t — π 4 .

2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущем случае, то имеем и здесь решение (18). Тогда производные функции Р( t ) выражаются формулами

Отсюда Р’(0) =2 C ₂ — 1 и Р»( 0 ) = —4 C ₂ — 3 . Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т.е. D ( 0 ) = 16 , имеем с учетом вида D ( t ) из первой формулы (14): С₂ = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

или в более удобной форме:

P t = 3- 2 e — t sin 2 t — π 4 .

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изображены на рисунке 1.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).

[2] Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — 295 с.