Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Одно из важных мест в математике занимают уравнения, так как большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще всего это уравнения квадратного вида.

Просмотр содержимого документа
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Кемеровский государственный университет»

Институт профессиональной ориентации

VI Областная научно-практическая конференция «ДИАЛОГ»

НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

Автор: Шмидт Нелли

МБОУ «Гимназия №12»

Слотюк Мария Викторовна

Глава 1. История развития квадратных уравнений 5

Глава 2. Стандартные способы решения квадратных уравнений

2.1. Решение квадратного уравнения по формулам 6

2.2. Решение уравнений с четным коэффициентом при х 7

2.3. Теорема Виета 7

Глава 3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений

3.1. Метод выделения полного квадрата 8

3.2. Графическое решение квадратных уравнений 9

3.3. Разложение левой части уравнения на множители 10

3.4. Решение уравнений способом «переброски» 10

3.5. Решение уравнений по сумме коэффициентов 11

3.6. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами 11

3.7. Закономерность коэффициентов 12

Математика является одним из основных и достаточно сложных предметов школы. Она помогает в изучении других дисциплин естественнонаучного цикла, таких как физика, химия, информатика и т.д. При обучении математики развивается логическое мышление, которое также способствует усвоению предметов гуманитарного цикла.

При обучении математике формируются умения и навыки умственного труда, такие как: четкое планирование своей работы, поиск рациональных путей, критическая оценка результатов. Во время обучения математике необходимо излагать свои мысли ясно, лаконично, математические записи выполнять, аккуратно и грамотно. Практические умения и навыки, приобретаемые на уроках математики, пригодятся также для трудовой и профессиональной подготовки.

Одно из важных мест в математике занимают уравнения, так как большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще всего это уравнения квадратного вида.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые не отражены в школьных учебниках математики. Но мы считаем, что применение разнообразных способов решения поможет сэкономить время и значительно повысить эффективность и качество решения квадратных уравнений.

В некоторых случаях уравнения можно решать устно, но для этого необходимо знать алгоритм решения квадратных уравнений, который так же может пригодиться на экзаменах ОГЭ, ЕГЭ и в различных жизненных ситуациях.

Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных и нестандартных способов решения. Все сказанное выше доказывает актуальность темы нашего исследования «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

изучение нестандартных способов решения квадратных уравнений, не входящих в школьный курс математики.

Изучить историю развития квадратных уравнений.

Проанализировать учебники алгебры за 8 класс разных авторов для выявления способов решения квадратных уравнений.

Изучить нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Выяснить способы решения квадратных уравнений, которыми владеют учащиеся Гимназии, в результате опроса.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: нестандартные способы решения квадратных уравнений.

• анализ научно – популярной литературы;

• статистические методы обработки данных.

Материалом для исследования послужили учебники «Алгебра 8» следующих авторов: А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, Ш.А. Алимов, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мерзляк, Г.К. Муравин; а также различные интернет-ресурсы.

Глава 1. История развития квадратных уравнений

Необходимость в решении уравнений была вызвана ещё до нашей эры потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельного участка, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии, да и самой математики.

Некоторые приемы решения квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, как дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты представляют собой задачи с решениями, записанные в виде рецептов, без указаний каким образом они были найдены. [8]

Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид, живший в III веке до н. э — отвел геометрической алгебре в своем трактате «Начала» всю вторую книгу, где собрал весь необходимый материал для решения квадратных уравнений.

Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). Однако, способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах, которые, к сожалению, не сохранились.

Индийский ученый – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое по существу совпадает с современным. [9]

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры, в котором Хорезми насчитывает 6 видов уравнений.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Франсуа Виет, однако он признавал только положительные корни. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 — 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

В настоящее время умение решать квадратные уравнения необходимо для всех. Так как, во-первых, умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики, а во-вторых, большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.

Глава 2. Стандартные способы решения квадратных уравнений

2.1. Решение квадратного уравнения по формулам

Квадратным уравнением называют уравнение вида , где a, b, c – любые действительные числа, причем . Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1. Также различают полные и неполные квадратные уравнения. В нашей работе мы рассматриваем способы решения только полных уравнений.

Рис. 1. Решение по формулам квадратного уравнения

Самый распространенный способ решения квадратных уравнений,

который рассматривается в каждом учебнике алгебры, это решение по формулам. На нем мы подробно останавливаться не будем.

2.2. Решение уравнений с четным коэффициентом при х

Если коэффициент b есть четное число, то формулу можно упростить, подставив 2k вместо b. Тогда корни квадратного уравнения ax 2 +2kx+c=0 можно вычислять по формуле: , которая значительно облегчает вычисления. А для приведенного квадратного уравнения эта формула выглядит еще проще: . [6]

Решим уравнение: х 2 +10х-7200=0.

Данный способ решения квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом рассматривается во всех учебниках алгебры, но только у А.Г. Мордковича и Г.В. Дорофеева выделен отдельным пунктом.

2.3. Теорема Виета

Если — корни уравнения х² + pх + q = 0, то справедливы формулы: .

То есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Решим уравнение: х² — 2х – 3 =0

По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней:

а) Если сводный член q 0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

б) Если свободный член q , то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Решение квадратных уравнений по теореме Виета, так же как и решение по формулам, изучается во всех рассмотренных нами учебниках алгебры. Это достаточно легкий способ. Он позволяет сразу увидеть корни уравнения, но найти можно только целые корни.

Глава 3. Нестандартные способы решения квадратных уравнений

3.1. Метод выделения полного квадрата

Решим квадратное уравнение: х² — 2х – 3=0.

Преобразуем это уравнение таким образом:

х² — 2х = 3, х² — 2х +1= 3+1, (х — 1)² = 4.

Следовательно: х – 1 = 2 или х — 1 = -2, откуда х₁ = 3, х₂ = -1.

Решая уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное. В нашем случае уравнение имеет два корня, но если после выделения квадрата двучлена справа получится ноль, то корень будет один, а если отрицательное число окажется справа – корней нет. Данный метод позволяет за минимальное количество действий найти корни уравнения. Однако есть и определенные неудобства, нужно суметь правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. Этот метод подробно рассматривается в учебниках алгебры Ш.А. Алимова, Г.К. Муравина и Ю.Н. Макарычева, но упражнений на его применение очень мало.

3.2. Графическое решение квадратных уравнений

Решим уравнение .

1 способ. Построим график функции

. Вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая х=1. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х, корни уравнения: -1 и 3. (Рис. 2)

2 способ. Преобразуем уравнение к виду

. Построим в одной системе координат графики функций . Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 3)

3 способ. Преобразуем уравнение к виду . Построим в одной системе координат графики функций . Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 4)

4 способ. Преобразуем уравнение к виду и далее =4, т.е. Построим в одной системе координат параболуОни пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис.5)

5 способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим: Построим в одной системе координат гиперболу у = и прямую у = х – 2. Они пересекаются в двух точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения служат абсциссы этих точек: -1 и 3. (Рис. 6) [6]

Графический способ решения квадратных уравнений очень подробно рассматривается в учебнике, автором которого является А. Г. Мордкович. Но, несмотря на обилие способов графического решения, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. И не всегда точки пересечения имеют «хорошие» координаты.

3.3. Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0. Разложим левую часть на множители: х 2 — 2х — 3 = х 2 +х — 3х — 3 = х(х + 1) — 3(х + 1) = (х + 1)(х — 3).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 1)(х — 3) = 0

Так как произведение равно нулю, значит, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = -1, а также при х = 3. Это означает, что числа -1 и 3 являются корнями уравнения х 2 — 2х — 3 = 0. Данный способ не рассматривается отдельно в учебниках алгебры. Сложность его применения заключается в том, что нужно суметь правильно найти все слагаемые для группировки.

3.4. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение: ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение: а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильному данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Решим уравнение 6х 2 + 7х + 1 = 0.

«Перебросим» коэффициент 6 к свободному члену, в результате получим уравнение: у 2 + 7у +6 = 0. Согласно теореме Виета: у₁ = -6; у₂ = -1, следовательно х₁ = -6/6 = -1 и х₂ = -1/6. [6]

Этот способ описывается в учебнике «Алгебра» для углубленного изучения, автор — А.Г. Мордкович. Его применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

3.5. Решение уравнений по сумме коэффициентов

Возьмем уравнение , где :

— если a + b + c = 0, то , а ,

-если a – b + c = 0, то , а .

Решим уравнение: по сумме коэффициентов.

а + b + c = 11 – 33 + 22 = 33 – 33 = 0, следовательно , а .

Решим уравнение: по сумме коэффициентов.

а – b + c = 5 – 12 + 7 = 12 – 12 = 0, следовательно , а .

Этим способом очень удобно пользоваться, если a,b,c – достаточно большие целые числа. [8]

Решим уравнение: т.к.

Решим уравнение: т.к.

Этот способ не рассматривается ни в одном из учебников алгебры, хотя достаточно прост и не требует больших усилий, однако не каждое квадратное уравнение можно решить этим способом.

3.6. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами

Если квадратное уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.

Решим уравнение: 5х 2 -14х-3=0. Сначала нужно выписать все делители свободного члена: 1; -1; 3 и -3. Затем подстановкой проверим, какое из этих чисел является корнем уравнения. Итак, число х₁=3 – корень уравнения. А второй корень можно найти, воспользовавшись соотношением х₁х₂=с/а, то есть 3х₂=-3/5, х₂=-1/5. [4]Этим способом удобно пользоваться, если свободный член не имеет много делителей. Такой прием решения квадратных уравнений мы обнаружили в учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев.

3.7. Закономерность коэффициентов

Все эти свойства коэффициентов позволяют значительно сэкономить время при решении уравнений, но не все уравнения можно решать таким способом, ни в одном учебнике алгебры он не рассматривается.

Таким образом, проанализировав учебники алгебры за 8 класс вышеперечисленных авторов, а также воспользовавшись интернет ресурсами, было выявлено десять различных способов решения квадратных уравнений, из которых семь мы считаем нестандартными.

Мы решили провести социологический опрос среди учащихся 9 классов нашей гимназии, чтобы выяснить, умеют ли ребята решать квадратные уравнения разными способами. В опросе участвовало 53 ученика 9 «А» и 9 «Б» классов.

В качестве основных вопросов были:

Запишите формулу квадратного уравнения.

Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?

Решите квадратное уравнение: х 2 +х-6=0.

Как вы считаете, умение решать квадратные уравнения поможет в успешной сдаче ОГЭ?

По результатам опроса были получены следующие данные: 56% учащихся верно записали формулу квадратного уравнения, 38% вместо формулы уравнения написали формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения и 6% (3 человека) не вспомнили ни одной формулы. На следующий вопрос «Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?» 10% написали 3 способа, 67% вспомнили два способа (через дискриминант и по теореме Виета), 19% только один способ и 2 человека (4%) не назвали ни одного способа. Дальше ребятам было предложено решить квадратное уравнение, которое является приведенным, что позволило его решить несколькими способами. 60% учащихся верно выполнили задание, из них 10 человек решили уравнение двумя способами, 22% допустили ошибки в решении, а 18% (9 человек) не стали решать. И на последний вопрос « Как вы считаете, умение решать квадратные уравнения поможет в успешной сдаче ОГЭ?» «да» — ответили все девятиклассники. (Приложение 1)

Таким образом, можно сделать вывод, что большинство девятиклассников нашей гимназии успешно справляются с решением квадратных уравнений, но пользуются при этом в основном только одним способом, решают по формулам, так как не знакомы с другими способами, которые позволяют решать квадратные уравнения намного проще и быстрее. Это в очередной раз доказывает актуальность нашей темы.

В ходе настоящего исследования мы проанализировали литературу, чтобы познакомиться с историей возникновения квадратных уравнений, выяснили, что некоторые приемы их решения были известны еще за 2000 лет до нашей эры. Таким образом, квадратные уравнения решались нашими далекими предками в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика, так как они применялись в строительстве, в военных делах и в бытовых ситуациях.

Проанализировав учебники алгебры за 8 класс следующих авторов: А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, Ш.А. Алимов, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мерзляк, Г.К. Муравин, мы пришли к выводу, что самыми распространенными способами решения квадратных уравнений являются способы решения по формуле, то есть через дискриминант, и по теореме Виета. Такие способы, как выделение квадрата двучлена, решение уравнений с четным коэффициентом при х; рассматриваются также в каждом учебнике алгебры. Разложение левой части уравнения на множители и графический способ решения квадратных уравнений мы встретили только в учебнике А.Г. Мордковича. Автор предлагает пять различных способов решения уравнения при помощи построения разных графиков. Также в учебнике А.Г. Мордковича, но уже для углубленного изучения, мы познакомились со способом «переброски». В учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев, мы познакомились с интересным способом решения уравнений с целыми коэффициентами, этот способ автор поместил в раздел «Для тех, кому интересно». Пользуясь ресурсами интернета, нами были найдены еще два нестандартных способа решения квадратных уравнений: решение уравнений по сумме коэффициентов и с использованием закономерности коэффициентов. Эти способы вызвали большой интерес, так как они позволяют достаточно легко и быстро находить корни, но достаточно сложно все эти свойства запомнить, поэтому мы решили сделать памятку и пользоваться ей по необходимости (приложение 2). Эту же памятку мы раздали девятиклассникам, среди которых проводили опрос, так как результаты показали (приложение 1), что учащиеся в основном решают квадратные уравнения по формуле дискриминанта.

Рассмотренный нами материал могут использовать учителя математики на уроках, при проведении внеурочных занятий, также при подготовке выпускников к сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

Нам было очень интересно работать над данной темой. Мы узнали, что автор учебника, который мы изучаем на уроках алгебры, А.Г. Мордкович, учит нас решать квадратные уравнения не только традиционными способами, но и рассматривает четыре нестандартных способа, которые не встречаются больше ни в одном учебнике у других авторов. Так же мы познакомились с нестандартными способами решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально их решать. Овладение этими способами поможет сэкономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

В дальнейшем мы планируем продолжить работу над этой темой и рассмотреть более сложные способы решения квадратных уравнений.

Список используемой литературы:

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. Организаций / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др]; под ред. Н.А. Теляковского.-М.: Просвещение.-2013.-287с.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [С.М.Никольский, К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин].-3-е изд.-М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2006.-287с.

Алгебра. 8 класс: учеб для общеобразоват. организаций / [Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин].- М.: Просвещение, 2013.- 336с.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».-5-е изд.-М.: Просвещение, 2010.-288с.

Мерзляк, А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Вентана-Граф, 2013.-256с.

Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2016-215с.

Муравин, Г.К. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина.- 15-е изд.,стереотип.-М.: Дрофа, 2013.-254с.

Видео:5 способов решения уравнений | Эрик Легион | 100балльный репетиторСкачать

Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений

Главная
• Список секций
• Математика
• Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.

Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений

Задачи

1. Изложить наиболее известные способы решения уравнений
2. Изложить нестандартные способы решения уравнений
3. Сделать вывод

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
• Анализ: информации полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
• Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + bх + с обращается в нуль.

Определение 4. Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Пример: – 7x + 3 =0

В каждом из уравнений вида a + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Пример

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х — 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 выражение b 2 – 4ас = D — по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Возможные случаи в зависимости от значения D:

1. Если D>0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
3. Если D 2 + bx + c = 0.

Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х 2 + px + q = 0, тогда

Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения – это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:

1. Еслиа+ b+c=0, тоx₁= 1,x₂=

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 4= 0.

Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:

Следовательно, если + b +c= 0, то x₁ = 1, x₂ =

1. Еслиb =a+c, тоx₁= -1,x₂=

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1

Значит корнями этого уравнения являются –1 и . Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=4 2 – 4·3·1 = 16 – 12 = 4

2.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

Применяя способ «переброски» получаем:

Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:

Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):

Значит, получаем корни: x₁ = -1, x₂ = .

2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов

1. Если уравнениеax 2 + bx + c= 0, коэффициентb= (a2+1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = —a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = -3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=10 2 – 4·3·3 = 100 – 36 = 64

1. Если уравнениеax 2 — bx + c= 0, коэффициентb= (a2+1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 — 10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=10 2 – 4·3·3 = 100 – 36 = 64

1. Если уравнениеax 2 + bx — c= 0, коэффициентb= (a2-1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = —a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 + 8х —3 = 0..

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

1. Если уравнениеax 2 — bx — c= 0, коэффициентb= (a2-1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 — 8х —3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ = —

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

2.4.Решение с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки S (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х₁; 0), где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра AS SB, R> б) AS=SB, R= в) AS 2 — 2х — 3 = 0 (рис.8).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

2.5.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:

первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим:

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис 10. где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис. .

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис 11. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Заключение

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. При работе над темой я ставил задачу, выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

• Решение с помощью выделения квадрата двучлена
• Разложение левой части на множители
• Решение квадратных уравнений по формуле
• Решение с помощью теоремы Виета
• Графическое решение уравнений

Нестандартные методы:

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения
• Решение способом переброски коэффициентов
• Решение с помощью закономерности коэффициентов
• Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
• Исследование уравнения на промежутках действительной оси
• Геометрический способ

При этом следует заметить, что каждый способ обладает своими особенностями и границами применения.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения, при этом легко находятся только целые корни.

Решение уравнений способом переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета, при этом также легко найти только целые корни.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Доступный метод для устного нахождения корней квадратного уравнения, но подходит только к некоторым уравнениям

Графическое решение квадратного уравнения

Наглядный способ решения квадратного уравнения, однако могут возникать погрешности при составлении графиков

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Наглядный способ решения квадратного уравнения, но также могут возникать погрешности

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата

Решая уравнения разными способами, я пришел к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.

При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогаю сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.

Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, за счет рассмотрения истории квадратных уравнений и систематизации способов их решения.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
2. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович — М.: Просвещение, 1988, 372с.
3. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2014 г.
4. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2013 г.
5. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2012 г.
6. .Барвенов С. А «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
7. Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике» — Минск «Полымя», 2010г
8. Шабунин М.И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
9. Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.
10. Шаталова С. Урок – практикум по теме «Квадратные уравнения».- 2004.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

«Нестандартные методы решения квадратных уравнений»

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.

В учебниках учащиеся знакомятся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Данная работа показать различные способы решения квадратных уравнений, уделяеется особое внимание тем, которые не изучаются в школьной программе.

Видео:Альтернативные способы решений квадратных уравненийСкачать

Скачать:

Видео:Геометрический способ решения квадратных уравнений. Без дискриминанта!Скачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №72 г. Липецка

Название работы: Нестандартные методы решения квадратных уравнений

Камышов Даниил Николаевич

Зуев Егор Алексеевич

Учащиеся 8 Б класса

РуководителиьФедулова Ольга Николаевна

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Для выявления актуальности моей темы я провела исследование. Учащимся 8-11 классов было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие 114 учащихся из 8-х, 9-х,11-х классов. Результаты исследования выявили следующее:

Способы решения квадратного уравнения

Метод выделения квадрата двучлена

Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки

Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения

Решение уравнения, используя теорему Виета.

Решение уравнения графическим способом.

Неверно решили уравнение

Актуальность темы исследования.

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Все это заинтересовало меня, и поэтому, для своей исследовательской работы выбрал тему «Способы решения квадратных уравнений».

Цель исследовательской работы : выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы : проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений.

1. Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.
2. Описать технологии различных существующих способов решения уравнений второй степени.
3. Провести анализ этих способов, сравнить их.
4. Привести примеры применения различных способов решения уравнений.
5. Поделиться полученными данными работы с учащимися 8-х классов.

Объект исследовани я: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: существуют ли другие способы решения квадратного уравнения и имеют ли они право на существование?

Практическая значимость: квадратные уравнения – это фундамент, на котором построен курс алгебры. К решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений. Начинают изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их до окончания вуза.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов

Этапы выполнения исследовательской работы:

1. Этап «Сбор статистических данных».

Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.

2. Этап «Обработка данных».

Включает в себя: практическое применение способов решения квадратных уравнений.

3. Этап «Анализ данных»

Включает в себя: анализ результатов, формулирование выводов

История возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники 14-17 веков. Общее правило решения квадратных уравнений вида было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века. учитывали помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т.е. ax 2 + c =bx (5х 2 =10х).
2. «Квадраты равны числу», т. е. ax 2 =c (5x 2 =80).
3. «Корни равны числу», т. е. ax=c (4х=20).
4. «Квадраты и числа равны корням»,т.е. ax 2 +c=bx (х 2 + 10х=39).
5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax 2 +bx=c (x 2 +21=10x).
6. Корни и числа равны квадратам», т. е. bx+c=ax 2 (3х+4=х 2 )

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 +bх=с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c , было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь вXVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была сформулирована им впервые в 1591г.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета ещё далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды.

1) Алгоритм – точное предписание (правило) о выполнении в определенном порядке указанных операций (шагов алгоритма), позволяющее решать все задачи определенного вида.

2) Квадратным уравнением называют уравнения вида:

ax 2 +bx-c=0 , где a, b, c – некоторые действительные числа.

а – первый или старший коэффициент;

b – второй коэффициент или коэффициент при х;

с – свободный член.

3) Квадратное уравнение называют приведенным , если старший коэффициент равен 1;квадратное уравнение называют непереведенным , если старший коэффициент отличается от 1.

4)Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

5) Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

2.2. Решение квадратного уравнения общеизвестными способами.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению.

Решим уравнение х 2 +10х-24=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Х 2 +10х-24=х 2 +12х-2х-24=х(х+12)-2(х+12)=(х+12)(х-2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х=2,а уравнение х 2 +10х-24=0.

Решение квадратного уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения ax 2 +bx+c=0 , а ≠ 0, на 4а и, следовательно, имеем :

4а 2 х 2 +4аbc+4ac=0

((2ax) 2 +2ax ∙ b + b 2 )-b 2 +4ac=0

Выражение b 2 — 4 ac называют дискриминантом и обозначают D, причем

• Если D>0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два различных корня;
• Если D=0, то два одинаковых корня;
• Если D

Решение уравнений с использование теоремы Виета (прямой и обратной)

1)Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид:

Его корни удовлетворяют теореме Виета , которая при а=1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

А) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q> 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p

х 2 -3x+2=0; x 1 = 2 bx 2 =1, так как q = 2>0 и q = 2 > 0 и p = – 3

х 2 +8х + 7 = 0; х 1 = – 7 и х 2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

Б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0. Например, х 2 + 4х – 5 = 0; х 1 = – 5 и х 2 = 1, так как q = – 5 0; х 2 – 8х – 9 = 0; х 1 = 9 и х 2 = – 1, так как q = – 9 0.

2) Теорема Виета для квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 имеет вид :

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если х 1 и х 2 таковы, что х 1 +х 2 = -p, х 1 х 2 = q, то х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Попробуем найти два числа х 1 и х 2 , такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

1. Решить уравнение 😡 2 +3x-28

Попробуем найти два числа х 1 и х 2 , такие, что

Нетрудно заметить, что такими числами будут — 7 и 4. Они и являются корнями данного уравнения.

Нетрадиционных способы решения квадратных уравнений

1. Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2 • х • 3 .

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х и 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , т.к.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 +6х-7=х 2 +2• х • 3 +3 2 — 3 2 -7= (х+3) 2 — 9 -7= (х+3) 2 -16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х+ 3) 2 -16 = 0, т.е. (х+ 3) 2 = 1б.

Следовательно, х + 3 = 4, х 1 = 1, или х +3 = -4 , х 2 = — 7.

2. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 +Ьх+ с= 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + аЬх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получим х 1 = и х 2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как 6ы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

2х 2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме у 1 = 6 х 1 = х 1 = 3

У 2 = 5 х 2 = х 2 = 2,5

3. Учёт свойств коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение

1. Если, а + Ь + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то

Доказательство . Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведённое квадратное уравнение: х 2 + х + = 0.

Согласно теореме Виетаx 1 + x 2 = —

По условию, а + b + с = 0, откуда b = — a — с. Значит,

Получаем x 1 = 1, x 2 = , что и требовалось доказать.

2. Если, a — b + c = 0, или b = a + c, то x 1 = — 1, x 2 = — .

Доказательство. По теореме Виета

По условию, a — b + c = 0, откуда b = a + c . Таким образом,

т.е. х 1 = -1 и х 2 = , что и требовалось доказать.

1.Решим уравнение 345х 2 —137х — 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = = .

2. Решим уравнение 132x 2 + 247x + 115 = 0

Решение. Т.к. a – b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0 ), то x 1 = -1, x 2 = —

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

X 1,2 = можно записать в виде х 1,2 =

Решим уравнение 3x 2 – 14x + 16 = 0

Решение. Имеем :a = 3, b = — 14, c = 16, k = — 7;

D=k 2 – ac = (-7) 2 – 3 • 16 = 49 -48 =1, D>0 , два различных корня ;

X = = ; X 1 = 2 , X 2 = .

В. Приведенное уравнение х 2 + px + q = 0

Совпадает с уравнением общего вида, в котором a=1, pи c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид: x 1,2 = , или x 1,2 = — 2 – q. (2).

Формулу (2) особенно удобно использовать, когда p – чётное число.

1. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8

Ответ. X 1 = 15, x 2 = -1.

4. Решение квадратного уравнения графическим способом

Если в уравнении : х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px – q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи :

-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут качаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

-прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнение : х 2 — 3х — 4 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде : х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х 1 = -1 и х 2 = 4.

Ответ.х 1 = -1, х 2 = 4.

5. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы не всегда удобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точность получаемых результатов невелика. Существует способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ; 0 ) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 — корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х 1 х 2 / 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках В (х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0), где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох в точке В (х 1 ; 0), где х 1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = — 1; х 2 = 3.

6. Решение квадратных уравнений с помощью номограмм

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 ( см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М, Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициент там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Если дано полное квадратное уравнение, то его надо привести к приведенному квадратному уравнению z 2 + pz + q = 0

Затем второй коэффициент и свободный член из уравнения отметить на соответствующих осях p и q, полученные точки соединить прямой.

Прямая пересекает кривую шкалу в двух точках – корнях данного уравнения, если корни положительные.

• Если уравнение имеет корни разного знака, то прямая пересечет кривую шкалу в одной точке – это положительный корень. Отрицательный корень находят, вычитая положительный корень из –p.
• Если же корни отрицательные, то по номограмме находят два положительных корня t 1 и t 2 для уравнения z 2 – pz + q = 0, а для уравнения z 2 + pz + q = 0 корнями будут z 1 = -t 1 , z 2 = -t 2

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) Для уравнения z 2 — 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t 2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5t 1 = 3,0 и z 2 = 5t 2 = 22,0.

7. Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми. Уравнение х 2 + 10х = 39

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39».

Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – четыре прямоугольника высотой . В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной . В углах фигуры построим четыре квадрата .

Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

X 2 + 4 • • ( ) 2 = x 2 + 10x + ( ) 2 • 4

По условию x 2 + 10x = 39, т.е. площадь большого квадрата равна

39 + ( ) 2 • 4 = 39 + + 25 =64.

Значит, его сторона равна 8, тогда x + 2 • ( ) = 8, x = 3 (Ал–Хорезми не признавал отрицательных чисел)

А вот, например, как древние греки решали уравнение y 2 + 6y – 16 = 0

Решение представлено на рис., где у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = — 8.

8. Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Теорема Безу. Если уравнение a 0 x n + a 1 x n-1 … + a n-1 x + a n = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободный член.

Следствие 2: Если b является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на (x-b) без остатка.

Теорема Безу даёт возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше.

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приёмом – он называется понижением степени – можно найти все корни заданного многочлена.

Решить квадратное уравнение: х 2 – 4х + 3 = 0

Делители свободного члена ±1, ±3.

Проверим 1, подставив в уравнение 1 – 4 + 3 = 0. Значит 1 – это корень данного уравнения. Тогда квадратный трёхчлен х 2 — 4х + 3 делится нацело на (х-1).

Разделим f(x) на (x-1), получим:

Х 2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3)

x – 1 = 0; х 1 = 1, или х-3=0, х 2 =3

Ответ: х 1 = 1, х 2 =3.

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным.

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.

В ходе выполнения работы с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, стало очевидным, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Некоторые ( такие как, решение с использованием теоремы Безу и решение с помощью циркуля и линейки) удобно применять, когда коэффициенты невелики, другие – допускают большие коэффициенты ( например, учёт коэффициентов): графический не всегда точен, а геометрический понятен, но громоздок. Можно сделать вывод, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения.

Данная работа помогла мне обобщить способы решения квадратных уравнений, которые не изучают в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

С результатами моей работы я познакомлю одноклассников и учеников других 8-х классов. Они могут воспользоваться собранными материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным.

1.Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. – М., Просвещение, 1990. С. 83.

2.Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1972.

3.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М., Квант, № 4/72. С. 34.

4.Соломник В.С., Милов П.И. Сборник задач по алгебре и элементарными функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М., Просвещение, 1970.

🎬 Видео

Китайский способ решения квадратных уравненийСкачать

НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 классСкачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Методы решения квадратных уравненийСкачать

Способы решения квадратных уравненийСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

✓ Суперсложная экономическая задача | В интернете кто-то неправ #031 | Проφиматика и Борис ТрушинСкачать

Квадратные уравнения: 9 способов решения(Не только дискриминант)Скачать

Способ решения квадратных уравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Квадратного Уравнения #shorts #youtubeshortsСкачать

САМЫЙ ЛЕГКИЙ способ решения Квадратного Уравнения #shorts #youtubeshortsСкачать

Ещё один способ решения квадратных уравненийСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

"Секретный" способ решения квадратных уравнений без дискриминантаСкачать