Нестандартные уравнения и их решения

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем. (часть 1).Скачать

Нестандартные уравнения и их решения

Главная
• Список секций
• Математика
• Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Видео:Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.

Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений

Задачи

1. Изложить наиболее известные способы решения уравнений
2. Изложить нестандартные способы решения уравнений
3. Сделать вывод

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретические: изучение литературы по теме исследования;
• Анализ: информации полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.
• Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + bх + с обращается в нуль.

Определение 4. Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Пример: – 7x + 3 =0

В каждом из уравнений вида a + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Пример

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:(х + 12)(х — 2) = 0

Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 выражение b 2 – 4ас = D — по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Возможные случаи в зависимости от значения D:

1. Если D>0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
3. Если D 2 + bx + c = 0.

Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х 2 + px + q = 0, тогда

Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения – это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:

1. Еслиа+ b+c=0, тоx₁= 1,x₂=

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 4= 0.

Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:

Следовательно, если + b +c= 0, то x₁ = 1, x₂ =

1. Еслиb =a+c, тоx₁= -1,x₂=

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1

Значит корнями этого уравнения являются –1 и . Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=4 2 – 4·3·1 = 16 – 12 = 4

2.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

Применяя способ «переброски» получаем:

Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:

Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):

Значит, получаем корни: x₁ = -1, x₂ = .

2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов

1. Если уравнениеax 2 + bx + c= 0, коэффициентb= (a2+1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = —a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 +10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = -3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=10 2 – 4·3·3 = 100 – 36 = 64

1. Если уравнениеax 2 — bx + c= 0, коэффициентb= (a2+1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 — 10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=10 2 – 4·3·3 = 100 – 36 = 64

1. Если уравнениеax 2 + bx — c= 0, коэффициентb= (a2-1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = —a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 + 8х —3 = 0..

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

1. Если уравнениеax 2 — bx — c= 0, коэффициентb= (a2-1), и коэффициентc=a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

Пример. Рассмотрим уравнение 3х 2 — 8х —3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ = —

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b 2 – 4ас=8 2 + 4·3·3 = 64 + 36 = 100

2.4.Решение с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6 ).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки S (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х₁; 0), где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра AS SB, R> б) AS=SB, R= в) AS 2 — 2х — 3 = 0 (рис.8).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

2.5.Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:

первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим:

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис 10. где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис. .

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

На рис 11. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Заключение

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах. При работе над темой я ставил задачу, выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

• Решение с помощью выделения квадрата двучлена
• Разложение левой части на множители
• Решение квадратных уравнений по формуле
• Решение с помощью теоремы Виета
• Графическое решение уравнений

Нестандартные методы:

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения
• Решение способом переброски коэффициентов
• Решение с помощью закономерности коэффициентов
• Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
• Исследование уравнения на промежутках действительной оси
• Геометрический способ

При этом следует заметить, что каждый способ обладает своими особенностями и границами применения.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения, при этом легко находятся только целые корни.

Решение уравнений способом переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета, при этом также легко найти только целые корни.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Доступный метод для устного нахождения корней квадратного уравнения, но подходит только к некоторым уравнениям

Графическое решение квадратного уравнения

Наглядный способ решения квадратного уравнения, однако могут возникать погрешности при составлении графиков

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Наглядный способ решения квадратного уравнения, но также могут возникать погрешности

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата

Решая уравнения разными способами, я пришел к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.

При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогаю сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.

Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, за счет рассмотрения истории квадратных уравнений и систематизации способов их решения.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
2. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович — М.: Просвещение, 1988, 372с.
3. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2014 г.
4. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2013 г.
5. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2012 г.
6. .Барвенов С. А «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
7. Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике» — Минск «Полымя», 2010г
8. Шабунин М.И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
9. Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.
10. Шаталова С. Урок – практикум по теме «Квадратные уравнения».- 2004.

Видео:Нестандартные методы решения иррациональных уравненийСкачать

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» ученицей 10 класса школы была поставлена и реализована цель изучить новые методы решения уравнений и неравенств. Каждый из методов был описан и продемонстрирован отдельно.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств» учащейся приведены характеристики таких методов решения уравнений, как метод разложения на множители, метод замены переменной, метод решения уравнений с помощью теоремы Виета и метод интервалов, а также продемонстрированы нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств, метод рационализации, учёт ОДЗ и метод мажорант.

Оглавление

Введение
1. Теория уравнений и неравенств.
1.1 Основные понятия теории уравнений и неравенств.
1.2 Методы решения уравнений и неравенств.
1.2.1 Метод разложения на множители.
1.2.2 Метод замены переменной.
1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
1.2.4 Метод интервалов.
2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
2.1 Метод рационализации.
2.2 Учёт ОДЗ.
2.3 Метод мажорант (оценки).
2.4 Использование свойств функций.
2.4.1 Использование ОДЗ.
2.4.2 Использование монотонности функции.
2.4.3 Использование графиков.
2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
2.5.1 Угадывание корня уравнения.
3. Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств».
3.1 Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.
3.2 Создание контента тренажёра.
3.3 Описание созданного продукта.
3.4 Апробация продукта.
Заключение
Список литературы

Введение

Объектом исследования являются уравнения и неравенства.

Предмет исследования: некоторые нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

В начале работы над проектом была сформулирована гипотеза: благодаря новым методам решения уравнений и неравенств, удастся сократить количество шагов решения в алгоритме и снизить вероятность допущения ошибки. Исходя из этого вывода, была поставлена цель проекта: изучить новые методы решения уравнений и неравенств.

Продуктом проекта были выбраны дидактические материалы с алгоритмом решения уравнений и неравенств новыми методами и тренажёры для отработки заданий подобного типа. Для продуктивного и удобного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта проекта:понятный и удобный интерфейс, наличие мобильной версии, возможность использования русского языка, возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера, тиражируемость (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования).

В процессе создания проекта были сформулированы некоторые задачи:

1. Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию
2. Провести опрос
3. Разработать алгоритмы решения уравнений и неравенств определенным (нестандартным) способом
4. Анализ имеющихся тренажёров, подобрать задания, решаемые нестандартным способом, решить их
5. Создать тренажёр
6. Апробировать продукт
7. Провести опрос об эффективности продукта
8. Собрать статистику
9. Распространить продукт

Методы исследования, используемые при работе над проектом: анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение, прототипирование.

Научная новизна: разработаны уникальные дидактические материалы

Теоретическая значимость: расширение представления о некоторых методах решения уравнений и неравенств.

Практическая значимость: продукт проекта может быть использован учениками при подготовке к ЕГЭ, а также учителями математики.

Социальная значимость: проект может помочь ученикам 9-11 классов при подготовке к экзамену.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Уравнение – равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти.

Корень (решение) уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение — найти его корни или доказать, что корней нет.

Неравенство – два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: , ≤, ≥.

Основные свойства уравнений:

• Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение неравенства – то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Видео:Нестандартные способы решения уравнений, неравенств, систем в 10-11 классахСкачать

Методы решения уравнений и неравенств

Теперь, после перечисления основных понятий, следует вспомнить известные нам из школьной программы способы решения уравнений и неравенств.

Видео:ШОК! Нестандартное решение иррационального уравненияСкачать

Метод разложения на множители

Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.

Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.

Видео:Нестандартное уравнениеСкачать

Метод замены переменной

Цель данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид. Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета

Важно. Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: х2 + px + q = 0. разница с обычным общим видом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 в том, что в приведённом уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент а = 1.

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.

Видео:Как решать неравенства? 9 - 11 класс. Вебинар | Математика TutorOnlineСкачать

Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств. Метод рационализации

Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:

• Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
• Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
• Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
• Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.

Учёт ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.

• Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
• Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Видео:6 способов в одном видеоСкачать

Метод мажорант (оценки)

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.

Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

• Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
• Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
• Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Использование графиков

При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ ещё надо обосновать.

• Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
• Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
• По графику определить решение уравнения/неравенства.
• Доказать справедливость ответа.

Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

Угадывание корня уравнения

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.

• Методом подбора определить корень уравнения.
• Найти ОДЗ уравнения.
• Привести многочлен к стандартному виду.
• Определить остальные корни уравнения.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Разработка интерактивного тренажера «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств»

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит практиковаться в решении уравнений и неравенств с помощью новых, нестандартных методов решения. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

Анализ и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

Платформы были проанализированы по критериям:

• Понятный и удобный интерфейс сайта
• Возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента
• Наличие мобильной версии
• Возможность использования русского языка
• Возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера
• Доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования)
• В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

Видео:Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 6).Скачать

Доклад «Решение нестандартных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Основная часть . ……………………………………..3 стр.

Практическая часть…………………………………..23 стр.

Библиографический список………………………….30 стр.

«Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы.»

Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения. Нестандартные уравнения и неравенства часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам. И это неудивительно, поскольку на уроках в школе таким уравнениям уделяется не очень много внимания. Кроме того, нестандартные задания воспитывают у учащихся творческие навыки, логику мышления и в целом математическую культуру. А, значит, учащиеся, владеющие методами решения нестандартных уравнений, успешно справляются с другими задачами. Поэтому речь пойдёт о нестандартных уравнениях и методах их решения.

Возможности совершенствования методики работы учителя существенно зависят от его умения целенаправленно управлять мыслительной деятельностью учащихся, их вниманием, процессами запоминания учебного материала. Процесс развития мышления сложной и многосторонний. В него включаются:

— развитие основных форм мышления;

— развитие видов мышления;

— развитие теоретического и логического мышления;

— развитие теоретического мышления,

характеризующегося созданием субъективно нового продукта и новообразованиями в самой познавательной деятельности по его созданию.

Наибольшие затруднения учащихся, как правило, вызывают решения так называемых нестандартных задач, уравнений и неравенств которые занимают значительное место среди задач повышенной трудности. Нестандартное уравнение – это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задания? Необходимо научить их отдельным методическим приемам. Но научить учащихся решать задачи можно только в том случае, если у них будет желание их решать. Каждый ученик получит шанс определить свои возможности в учении и приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены.

Определяется кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартам, а кто готов заниматься больше, поскольку планирует поступить в институт или просто хочет получить хорошую оценку. После того как учащиеся определились со своими целями, определяется содержание и объем помощи учащимся, проектируется также итоговая диагностика она создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определить тот минимум знаний который необходим для получения различных результатов.

Решение нестандартного уравнения и неравенств – очень сложный процесс, для усиленного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.

Необходимо также хорошие знания фактического материала, владение общими подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

Одна из целей – дать учащимся возможность углубленного изучения основного курса, другая – формирование мировоззрения учащихся, развитие их мышления.

Достижению этих целей служат специально подобранные задачи по темам.

Рассмотрим технологии решения нестандартных показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Учащиеся уже знакомы с традиционными методами решения трансцендентных уравнений неравенств: потенцирование, логарифмирование, замена переменной, разложение на множители, а также умеют пользоваться схемой поиска решения уравнения.

Процесс решения уравнений состоит в том, чтобы:

Свести данное уравнение к другому (другим) ему эквивалентным, но уже известным.

Разбиения нестандартного уравнения на части, на несколько стандартных подзадач.

В зависимости от характера задачи используются либо одна операция, либо обе многократно.

Анализируя задачи составляется план (перечень всех действий и операций)

Если при анализе обнаруживается, что она решается трудно стандартным способом, необходимо попытаться найти такой способ, который нам известен и менее трудоемок.

Технология предполагает рассмотрение методов:

— оценки левой и правой частей уравнения;

— использование свойств функций (монотонности);

— введение вспомогательной переменной;

Учащиеся получают рекомендации:

1 Если в задаче имеются или можно образовать такие части, которые составляют легко решаемые самостоятельные задачи, то эти части необходимо выделить в виде подзадач, их решить, после чего преобразовать исходную задачу, имея в виду полученные результаты подзадачи после такого преобразования исходная задача, как правило, становится проще.

2 Обычно условие задачи даются для того чтобы на их основе удовлетворять требованиям задачи, поэтому надо следить, чтобы полностью использовать каждое из данных условий.

3 Идея решения задачи возникает в процессе глубокого анализа и составление ее с ранее решенными задачами; поэтому не жалейте сил и времени на анализ задачи, ищите для данной ей подобные, чем либо похожие на нее среди решенных ранее, используйте аналогию, как возможные идеи решения.

№ 1 log = 3 log

Левая часть уравнения функция монотонно возрастает, а правая убывает, следовательно, x = 11 единственный корень уравнения.

№ 2 3 x + 4 x = 91 x /3 – казалось бы свойство не выполняется изменим его 27 x /3 + 64 x /3 = 91 x /3 = x 3

№ 3 с os 1996

Имеем cos 1996 x cos 2 x

x S _m 2 x

Значит, cos 1996 x + x cos 2 x + x 1

Следовательно равенство возможно, если с os 1996 = cos 2 x

и x = x , следовательно, x = 0 или x = 1

следовательно, x ₁ = ; x ₂ =

Оба ответа удовлетворяют первому условию.

Сложность предложенных заданий различна. Задание №1 стандартно решается при условии знаний изученной истории, в задании №2 необходимо догадаться и выполнить несложные преобразования и получить стандартную ситуацию, задание № 3 олимпиадного уровня сложности.

Решая аналогичные задания учащиеся анализируют свою деятельность, оценивают ее сопоставляя результаты своей работы с результатами товарищей по классу, повторяют теорию, учатся поиску методов решения задач.

Анализ КИМ – ов показал, что сейчас актуальным является умение решать задачи на классические темы, поэтому необходимо дать не только теоретический материал и сформулировать тренировочные задачи, но цель любому ученику помочь научиться решать задачи четко, конкретно, быстро и правильно. Это особенно относиться к поступающим в вузы и к тем, кто решиться выполнять задание ЕГЭ серии «С».

Выкладки удобно вносить с помощью равносильных в ОДЗ преобразований о которых в школьных учебниках очень мало сведений. Однако, иногда без них трудно обойтись, и иногда в методической литературе проскальзывают слова: равносильно, тождественное преобразование.

Благодаря условию равносильности, основные уравнения и неравенства, содержащие модуль, решаются не раскрывая модуль, т.е. не обращая внимания на знаки выражений, входящих в знак модуля. Рассматриваются свойства логарифмов, которые необходимы для решения задач, но отсутствуют в большинстве учебников. Рассматриваются функции, которые называются сложным экспонентом y ( x ) = a ( x ) fx и логарифмом с переменным основанием y ( x ) = log _x f ( x ).

С помощью условий равносильностей меньше иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства сводятся к классическому методу интервалов для рациональных функций.

Задание С3-С5 представляют собой интересные и, на первый взгляд, сложные задачи. При обычном способе решения они требуют длинных выкладок. Однако, любой школьник, которому интересна математика, может быстро изучить нетрадиционные способы, методы решения таких задач. Поскольку, почти все задачи решаются несколькими способами и время в дефиците, то придется выбирать оптимальный способ решения, которым и является способ равносильностей.

Существует несколько правил при помощи которых выполняются равносильные переходы.

1 Если g ( x ) 0, то знак () совпадает со знаком ( f ( x ) – g ( x )) в ОДЗ

2 Знак разности — совпадает со знаком разностей (( f ( x ) – g ( x )) в ОДЗ

3 Знак разностей модулей (( f ( x ) – g ( x )) совпадает со знаком произведения ( f ( x ) + g ( x )) ( f ( x ) – g ( x )) в ОДЗ

4 Если g ( x ) 0, то знак разностей ( f ( x ) – g ( x )) совпадает со знаком ( f ( x ) – g ( x )) ( f ( x ) + g ( x ) в ОДЗ

5 Знак разностей а f ( x ) – a g ( x ) совпадает со знаком (а-1) ( f ( x ) – g ( x )) в ОДЗ

6 Знак log _a f ( x ) совпадает со знаком (а-1) ( f ( x ) -1) в ОДЗ

7 Знак log _a f ( x ) – log _a g ( x ) совпадает со знаком (а-1) ( f ( x ) ) в ОДЗ

8 Знак ( a ( x ) f ( x ) – a ( x ) f ( x ) ) совпадает со знаком ( a ( x ) -1) ( f ( x ) – g ( x )) в ОДЗ

9 Знак log _{a ( x )} f ( x ) совпадает со знаком (а ( x ) – 1) ( f ( x ) – 1) в ОДЗ

10 Знак ( log _{a ( x )} f ( x ) – log _{a ( x )} g ( x )) совпадает со знаком ( a ( x ) – 1) ( f ( x ) – g ( x ) в ОДЗ

Преимущество условия равносильностей состоит в том, что если a ( x ); f ( x ); g ( x ) – рациональные функции, то за один шаг мы переходим к классическому варианту метода интервалов. Все условия равносильностей легко запоминаются.

С ₅ :

Задание интересно тем, что без применения равносильностей решение будет громоздким. Применяя равносильности получаем:

в ОДЗ

Которое легко решается методом интервалов (использованы равносильности № 5 и № 7.

Прежде чем учащиеся приступят к решению задач необходимо:

1 Овладение умениями и приемами для данного метода;

2 Умение осуществлять поиск решения задач;

3 Умение анализировать требования задачи, ее условия.

Обучение проводиться следующими этапами:

1 Овладение теорией

2 Овладение умениями методов

3 Умение выбора метода для данной задачи (наиболее рационального для данной задачи).

В результате описанного процесса создается:

— логическая структура уроков с промежуточной диагностикой;

— разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся;

— дидактический материал ко всем урокам.

Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять минимум знаний. Данная технология позволяет осуществлять индивидуальный подход к учащимся, включать каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать ее, формировать навыки самообучения и самоорганизации, обеспечивая тем самым постоянный переход от пассивного воспринимающей позиции ученика к его сотрудничеству с учителем.

В 11 классе на данный момент идет изучение темы показательные уравнения и неравенства.

I уровень : (стандарт) – решение простейших уравнений и неравенств.

1 Знание формул, основных правил решения уравнений, неравенств;

2 Умение их применять

II уровень : (решение уравнений и неравенств, самостоятельно выбирая метод решения)

Знание методов решения

Умение их применять

III уровень : (применение полученных знаний в нестандартных ситуациях)

1 Знания нестандартных методов решения уравнений, неравенств.

2 Умение их применять

Решение нестандартных задач со всеми учащимися способствует пробуждению и развитию у них устойчивого интереса к математике и ее приложениям, расширению и углублению их знаний по программному материалу, оптимальному развитию способностей отдельных учащихся и всего класса в целом.

Методы решения нестандартных уравнений

1 .Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(х)*g(х)*h(х)=0 можно заменить совокупностью уравнений f(х)=0; g(х)=0; h(х)=0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Пример 1. Решить уравнение: =

Δ Освободимся в уравнении от знаменателей дробей. При этом целесообразно суммы х²+х и 3х²+5х в левой и правой его частях считать за одно слагаемое : ((х²+х)+2)/((3х²+5х)-14)=((х²+х)+6)((3х²+5х)-10).

Теперь получаем (х²+х)(3х²+5х)-10(х²+х)+2(3х²+5х)-20=(х²+х)(3х²+5х)-14(х²+х)+6(3х²+5х)-84, 4(х²+х)-4(3х²+5х)+64=0, х²+х-3х²-5х+16=0,

Корни последнего уравнения х ₁ = 2, х ₂ = -4. Сделаем проверку по исходному уравнению: не обращается ли какой-либо из двух знаменателей дробей в этом уравнении в нуль? Оказывается, не обращается. Значит, это корни исходного уравнения.

Пример 2. Решите уравнение:

Δ Представим уравнение в таком виде:

Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям:

(х-6)( — )=0.

Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим х – 6 =0 или 8х= 66, учитывая при этом, что х , х

Ответ: 6,- .

Пример 3 .Решите уравнение: + =1.

Δ Возведем обе части уравнения в куб. Будем иметь:

х-1+2х-1+3 *( + )=1,

*( )=1-х.

А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1:

Последнее уравнение также возведем в куб:

Отсюда х ₁ =1, х ₂ =х ₃ =0.

Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет.

2.Метод введения новой переменной.

Суть метода: если уравнение ƒ(х)=0 удалось преобразовать к виду р( q (х))=0,

то нужно ввести новую переменную u=q(х), решить уравнение p(u)=0, а затем

решить совокупность уравнений q(х)=u ₁ ; q(х)=u ₂ …; q(х)=u _n , где u ₁ , u ₂ … u _n – корни уравнения p ( u )=0.

Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда завуалирована и «проявляется» лишь в процессе преобразований.

Пример 4 . Решите уравнение: (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)=4х 2 .

ΔВ левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-6х+8)(х²-6х+8)=4х².

А дальше разделим обе части уравнения на х 2 , пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения: (х-9+ )(х-6+ )=4.

Введем подстановку: х-9+ =у. Будем иметь:

В обоих случаях найдем х, решая совокупность уравнений

х ₁ , ₂ =5 .

Ответ: 5 .

Пример 5. Решите уравнение: (х+3) ⁴ +(х+5) ⁴ =16.

Δ Положим х+4=y ,т. к. =х+4.

Имеем: (y-1) ⁴ +(y+1) ⁴ =16.

Теперь нужно в левой части уравнения (y-1) и ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение: y ⁴ +6y²-7=0.

Его корни y ₁ , ₂ = . Отсюда х ₁ =-3, х ₂ =-5.

Пример 6 . Решите уравнение: (х²+3х-4)³+(2х²-5х+3)³=(3х²-2х-1)³.

ΔВведём две подстановки: х²+3х-4=y; 2х²-5х+3= .

Получим: y³ +z³= (y + z)³ , 3yz (y + z)=0,

Решая уравнения х²+3х-4=0, 2х²-5х+3=0 и 3х²-2х-1=0 найдём все корни

1, 1, 1, -4, , — .

Ответ: 1, 1,1, -4, , — .

Пример 7 . Решите уравнение: =5.

Δ Введем две новые переменные: =у, = z .

Получаем систему уравнений:

Вычтем третье из второго уравнения системы для того, чтобы исключить х: z 3 -у 3 =19.

Для решения системы двух уравнений у+ z =5, z 3 -у 3 =19

выразим z из первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение:

z =5-у, (5-у) 3 -у 3 =19, 125-75у+15у 2 -2у 3 =19, 2у 3 -15у 2 +75у-106=0.

Из делителей свободного члена последнему уравнению удовлетворяет у=2. Тогда уравнение приводится к виду:

Так как дискриминант уравнения 2y² -11y+51=0 отрицателен, то других корней у уравнения нет.

Следовательно, х=у 3 =2 3 =8.

3. Функционально-графический метод

Идея графического метода решения уравнения ƒ(х)=q(х) проста и понятна: нужно построить графики функций y= ƒ(х), y = q(х) и найти точки их пересечения — корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые , а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие – либо свойства функций.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 8. Решите уравнение: + =х³-3х+2 .

ΔНайдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств

Решением первого неравенства является множество ,

второго отрезок . Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет.

Пример 9 . Решите уравнение: =

Δ ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 3-х 0 и х-3 0, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Следовательно , уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определённую роль. Например, если для всех x из некоторого множества М справедливы неравенства ƒ(х) А и q(х) А, где А некоторое число, то на множестве М уравнение ƒ(х)=q(х) решений не имеет.

Пример 10 . Решите уравнение: =-х²+4х.

ΔСправедливы неравенства : х²-2х+17 -х²+4х 4.

Тогда множество значений левой части уравнения есть промежуток ), а правой – ( .Следовательно, равенство этих частей возможно только тогда, когда каждая из частей уравнения равна 4. Но левая часть равна 4 прих=1, а правая – при х=2. Это значит, что уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 11. Решите уравнение: 10х ⁴ +3х³+5х²+5х+8=0.

ΔСделаем уравнение приведённым:

х ⁴ + х³+ х²+ х+ =0.

Дополним сумму х ⁴ + х³ до квадрата суммы:

(х² + х)² +( х²+ х + )=0.

Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего во вторых скобках , отрицателен, поэтому трёхчлен при х сохраняет постоянный знак, а именно положительный. Но тогда вся левая часть уравнения положительна; следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 12 . Решите уравнение: + +х=7.

Δ Очевидно один корень уравнения – х=2. Имеет ли оно другие корни?

Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет

Решение нестандартных уравнений, содержащих модули.

Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

Рассмотрим два случая.

Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

1)

2)

Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |

1)в y = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,

То есть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть график пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы получили первый график.

2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0

x — 4=1 или x — 4=-1

Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.

При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3

Ответ: 3

Решить уравнение | x 2 + 3x | = 2(x + 1).

Решение.

Уравнение равносильно системе

Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.

Ответ: .

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

В контексте данной темы этот урок занимает особое место, так как знакомит учащихся со способами решения нестандартных уравнений с помощью компьютера.

Для развития исследовательской, творческой, познавательной деятельности учащихся класс разбивается на группы, и каждая группа обобщает решение уравнений определенного вида.

Тем самым создается обстановка, побуждающая к творчеству, которая позволяет учителю вместе с учениками осознавать, что любое соображение заслуживает внимания, что все соображения будут критически пересматриваться и оцениваться с целью отбора правильных.

Решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага:

Преобразование уравнения к стандартному,

Решение стандартного уравнения.

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако, полезно запомнить некоторые наиболее употребляемые приемы, общие для всех типов уравнений

.

стандартные уравнения, которые были уже изучены:

При решении нестандартных уравнений использовался способ замены переменной или способ подстановки.

Есть уравнения решаются способом разложения на множители.

Кроме аналитического решения уравнений существует графический способ. Обговаривается этот способ, то есть в системе координат строятся графики левой и правой частей уравнений. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями данного уравнения.

При графическом способе решения уравнений получаем приближенные значения корней, однако, графический способ решения дает качественные ответы о числе корней, а так же грубо указывает отрезки числовой прямой, где эти корни могут находится.

Перед классом ставится проблема: для каждого «а» укажите количество корней уравнения

Воспользуемся графическим способом решения уравнения. Построим графики При построении графика f(x) применяем алгоритм исследования функции и построение графика с помощью производной.

Решение многих практических задач сводится к решению уравнений f(x)=0.

Алгебраические уравнения, которые рассматриваются в школе, решаются или аналитически, или графически для уравнений не выше 4-ой степени.

Для решения алгебраических уравнений любой степени, трансцендентных уравнений разработаны численные методы.

Решение уравнений разбивается на 2 этапа:

отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения;

вычисление корня с заданной точностью.

Простейшими методами приближенного вычисления корней являются методы:

Метод половинного деления;

Метод хорд и касательных.

рассмотрим метод половинного деления

.

Решение нелинейных уравнений с одной переменной представляет одну из важных задач прикладного анализа , необходимость которой возникает в многочисленных и разнообразных разделах физики, механики, техники и других областях.

В общем случае, нелинейное уравнение можно записать в виде f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [a,b].

Например, трансцендентными уравнениями являются Lg(x)=cosx, Sin2x=0.5(cosx+sinx).

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение – это значит установить имеет ли уравнение корни, и найти значение корней с заданной точностью. Задача численного нахождения корней состоит из двух этапов: отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня и уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной точностью в некоторой окрестности.

Отделение корней во многих случаях можно произвести графически. При графическом способе строится график функции y=f(x) для уравнения f(x)=0. Абсциссы точек пересечения графиков позволяют выделить интервалы изоляции корней. Для построения графика функции используем среду EXCEL, MATLAB и другие.

Например отделить корни уравнения Sinx=0.5*(sinx+cosx).

Графическое отделение корней уравнения Sin2x=0.5(cosx+sinx).

Для построения графика функции, составили таблицу значений функции на предполагаемом промежутке, и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то нуль функции находится между ними.

Этап уточнения корней состоит в доведении их до заданной степени точности. Это значит, что если на этапе отделения корней найден отрезок [A,B], содержащий корень уравнения f(x)=0, то для нахождения корня с заданной точностью Е необходимо определить новый, более узкий интервал, содержащий корень, такой, чтобы выполнялось условие ABS(b-a)

Решение уравнения f(x)=0 заключается в определении значения переменной х, обращающего f(x) в нуль. Пусть на интервале изоляции корня [a,b] изолирован действительный корень уравнения f(x)=0. На интервале изоляции корня [a,b] определяется точка С, являющаяся серединой этого отрезка, c=(a+b)/2. Вычисляется значение функции f(x) в точках a,b,c. Если f(c)=0, то С-точный корень уравнения f(x)=0.

В противном случае из двух образовавшихся отрезков [a,c] и [c,b] выбирается тот, на концах которого функция принимает противоположные знаки и новый отрезок обозначается через [a,b]. Процесс деления отрезка [a,b] пополам продолжается до тех пор, пока выполняется условие Abs(b-a)

Формирование умения решать нестандартные уравнения и неравенства при подготовке к ЕГЭ.

Анализ результатов выполнения алгебраических заданий ЕГЭ позволяет выделить темы, вопросы, усвоение которых вызывает у учащихся серьезные затруднения. К ним, наряду с другими, относятся исследование свойств функции элементарными методами (нахождение области определения и множества значений), применение свойств функций при решении уравнений и неравенств. Причем, половина выпускников не справляется с подобными заданиями уже на первом уровне (уровне воспроизведения), где требуется прямое применение в знакомой ситуации стандартных приемов, алгоритмов, распознавание математических объектов и свойств. При решении задач второго уровня (уровня установления связей) нужно изменить стандартный алгоритм с учетом условия задачи, установить связи между различными представлениями ситуации, интегрировать материал из разных разделов, применить не одну формулу или свойство, а несколько. Такие задания вызывают затруднения у значительного количества учащихся.

Чтобы избежать указанных проблем, улучшить результаты сдачи экзамена, к нему должна вестись систематическая целенаправленная подготовка, которая включает в себя: а) изучение программного материала с включением заданий в формах, используемых при итоговой аттестации;

б) ликвидацию пробелов в знаниях; в) работу над культурой вычислений;

г) формирование приемов самоконтроля. Работа проводится на уроках во время сопутствующего повторения (тренинги по разным темам в устной и письменной форме), во время индивидуальных и групповых консультаций, на специальных обобщающих занятиях.

В ходе обучения стараюсь ставить перед учениками такие проблемы, решение которых выходило бы за рамки стандартных алгоритмов, но ученики могли бы с ними справиться.

Предлагаемый модуль по теме « Применение свойств функции при решении нестандартных уравнений и неравенств » включает в себя три обобщающих занятия, имеющих своей целью систематизацию знаний учащихся о функциях и их свойствах. В процессе занятий и последующей самостоятельной работы выпускники учатся выбирать метод решения, использовать материал нескольких тем в одном задании.

Так как решение большинства нестандартных уравнений и неравенств основано на применении ограниченности функции, то значительное место в модуле отведено нахождению их множества значений.

Тема : « Применение свойств функций при решении нестандартных уравнений и неравенств»

Занятие 1 . Нахождение множества значений функции.

Цель : систематизация знаний о свойствах функций; обобщение умений находить множества значений различных функций.

Теоретический минимум: свойства известных функций.

1) Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c .

Область значений: при а > 0

2) Тригонометрические функции y = sinx , y = cosx .

-1≤ sinx ≤1; -1≤ cosx ≤1.

3) Обратные тригонометрические функции

4)Показательная функция у=а х . Логарифмическая функция y = log _a x .

5) |a| ≥ 0 ; а 2 ≥ 0; при а >0

Задания для тренинга . Найти множество значений выражений:

1. 16-x 2 , x 2 +5, x 2 +6x+10, -4x — x 2 , log ₂ (16-x 2 ), log ₅ (x 2 +5), log _0,5 (16-x 2 ), log _0,5 x 2 , (log _0,2 x) 2 , (log ₂ x-4) 2 , 5-log ₂ x, lg(sinx).

2. 2sinx-5, 5-2cosx, 2sin 2 x-5, sin 3 x-4, (2sinx-1) 2 , 12arccosx, π-arctgx.

При решении широко используются графические иллюстрации, рассматриваются функции вида y = log _a t , y = a t , y =√ t , в которых областью изменения переменной t служат ранее найденные множества значений.

Занятие 2 . Нахождение множества значений функции.

Цель : обучение приемам решения заданий повышенного уровня на отыскание множества значений выражений.

Тренинг: 1) выделение квадрата двучлена из х 2 -6х+7; х 2 +8х-13; 2х 2 -8х-10;

-2х 2 +8х-10; -16х 2 +8х-3;

2) определение границ значений выражений а 2 , а 3 , |а|, если 1 a

1.Найти сумму целых значений функции .

Решение : 25cos 2 x+10sinx+46 = 25(1-sin 2 x)+10sinx+46 =

= 25-25sin 2 x+10sinx+46 = -25sin 2 x+10sinx+71= -(25sin 2 x-10sinx-71) =

-6 2 ≤36, -36≤-(5sinx-1) 2 ≤0,

36≤72-(5sinx-1) 2 ≤72, , 6√2≈8,4.

Сумма целых значений функции 6+7+8=21.

2.Найти наименьшее значение функции

Решение: 2 х >0, 2 x – 2,5> — 2,5, (2 x – 2,5) 2 ≥0, (2 x – 2,5) 2 -3,25 ≥ -3,25.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3,25.

3. Найти наибольшее целое значение функции

Решение: | x | ≥0, — | x | ≤0, 0 -| x | ≤ 1(т.к. показательная функция с основанием 5 возрастает), -100 ≤ -100∙5 -| x |

25 ≤ 125 — 100∙5 -| x |

(т.к. логарифмическая функция с основанием √5 возрастает).

log _√5 125 = 6, поэтому, наибольшее целое значение функции равно 5.

Ответ: 5.

4.Найти наименьшее целое значение функции

Логарифмическая функция с основанием 2 -3 убывает, поэтому,

Ответ: наименьшее целое значение функции равно -60.

Задания для самостоятельного решения : найти множество значений функций

y = 4∙( cos 2 x – cosx +1), y = log ₂ (63 + 2∙3 | x | — 9 | x | ),

Занятие 3 . Решение уравнений и неравенств .

Цель : обучение приемам использования некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

1 . Применение ограниченности функции.

Теория. Пусть дано уравнение f ( x )= g ( x ). Если f ( x )≥ a , и g ( x )≤ a , то решение уравнения является решением системы f ( x )= a

Пример 1. Решить уравнение

Решение. По определению, 0≤ arccos ( x -1)≤π для допустимых значений х, c ледовательно, 0≤ 3/π а rccos ( x -1)≤3.

для допустимых значений х.

Равенство достигается, если обе части уравнения одновременно равны 3.

. Решим первое уравнение системы:

arccos ( x -1)= π , x -1=-1, x =0.

При х=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство, следовательно, решением системы и уравнения является число 0.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. х 2 +6х+13 = (х+3) 2 +4 ≥4, ,

.

2 x 2 +12 x +17 = 2( x 2 +6 x +8,5) = 2( x +3) 2 -1 ≥ -1. Т. к. показательная функция с основанием возрастает, то , .

Равенство достигается, если обе части уравнения равны .

,

. Из второго уравнения получим 2х 2 +12х+17=-1, х=-3.

Решением системы и, следовательно, уравнения является -3.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. | x |≥0, — | x | ≤0, 1- | x | ≤1.

2- x 2 ≤2, log ₂ (2- x 2 ) ≤1

Следовательно, неравенство выполняется, если оба слагаемые одновременно равны 1. 1- | x | =1,

log ₂ (2- x 2 ) =1. Решением системы, является х =0.

2 . Применение монотонности функции.

Теория. 1) Если функция f ( x ) монотонна на промежутке Х, то уравнение

f ( x )= C имеет на промежутке Х не более одного корня.

2)Если функция f ( x ) возрастает на промежутке Х. а функция g ( x )

убывает на промежутке Х, то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет на

промежутке Х не более одного корня.

Пример 1. Решить уравнение 2 х = 6-х.

Решение. Функция f ( x ) = 2 x возрастает на R , функция g ( x ) = 6- x убывает на R .

Подбором находим, что х =2. В силу справедливости теоремы 2) утверждаем, что х =2 единственный корень уравнения.

Пример 2. Решить неравенство log ₂ (8- x ) ≤ 3 x -10.

Так как левая часть – убывающая функция, а правая – возрастающая, то неравенству удовлетворяют х ≥4. С учетом ОДЗ имеем: 4 ≤ х

Задания для самостоятельного решения . cosx =1-| x |, sinx =1+

Найти нули функции y =( x 3 -3 x 2 -25 x +3) 2 +( x 2 -6 x -7) 4 ,

Предложенные примеры призваны помочь ученику «увидеть идеи» при поиске решения трудных уравнений и неравенств. Систематические тренировки в решениях заданий подобного рода, кропотливая самостоятельная работа позволяют повысить уровень математической компетентности учащихся.

Итоговая аттестация за курс средней школы в разные годы проходила в разных формах. Существенно отличались экзаменационные варианты для выпускников общеобразовательных и математических классов. Разный уровень подготовки имеет место и у учащихся одного класса, в частности, зависит от того, намерен ли ученик продолжить обучение, и будет ли его обучение связано с математикой. Все эти различия требуют от учителя разной методики подготовки учащихся к экзамену, внутренней готовности к смене формата оценки результатов обучения и , соответственно, результатов его труда. Однако, какую бы методику не применял учитель, он должен помнить, по нашему мнению, о главном: 1) подготовка должна носить системный характер; 2) в основе любой методики лежит кропотливая самостоятельная работа каждого учащегося над задачами базового, повышенного и высокого уровня исходя из запросов выпускника и уровня его математической подготовки.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., Рязановский А.Р., Семенов П.В. Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся. /ФИПИ-М.:Интеллект-Центр, 2007.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике.// Математика в школе.- 2008- №6.-с.4-8

Денищева Л.О., Карюхина Л.В., Михеева Т.Ф. Учимся решать

уравнения и неравенства. 10-11 класс.-М.: Интеллект-Центр, 2006.

Семенов П.В. Алгебра и начала анализа: учебное пособие

/ П.В.Семенов.-М.: Мнемозина, 2007.- (ЕГЭ: шаг за шагом)

5. Семенов А.В., Юрченко Е.В. Система подготовки к ЕГЭ по математике.

//Учебно-методическая газета «Математика». – 2008 -№17. – с38 -47

6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике:

Решение задач (11класс) – М.: Просвещение, 1991

ГалицкийМ.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. 2-е изд. М.: Просвещение, 1994.

Галкин Е.В.Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. Челябинск: «Взгляд», 2004.

Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1995.

Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995.

Олехник С.Н., Потапов М.Е., ПасиченкоП.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. М.: Изд. МГУ, 1991.

Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Книга для ученика и учителя/ Под ред. М.И. Сканави. 6-е изд. М.: Высшая школа, 1993.

📹 Видео

10 класс. Алгебра. Решение нестандартных уравнений.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Лекция 62. Нестандартные уравнения (часть 1)Скачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем (часть 3).Скачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать