Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений проект (5 видео)

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Построение графика функции y= sin x
Построение графика функции y= cos x
Преобразования графика функции y= sin x
Преобразования графика функции y= cos x
Подписи к слайдам:
Проект » Методы решения тригонометрических уравнений»
Проект:»Методы решения тригонометрических уравнений»
Просмотр содержимого презентации «1 группа»
Просмотр содержимого презентации «группа 2»
Просмотр содержимого презентации «группа 3»
Просмотр содержимого презентации «методы решения»
Просмотр содержимого презентации «урок метод проектов»
💡 Видео

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
osnovnye_tseli_raboty.docx	16.6 КБ
rabochiy_list.docx	60.85 КБ
nestandartnye_sposoby_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy_graficheskim_metodom.pptx	2.94 МБ

Видео:Все методы решения тригонометрических уравнений за 30 минутСкачать

Предварительный просмотр:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ

Основные цели работы:

освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra;
изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций;
отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Объект исследования: Тригонометрические уравнения

Предмет исследования: изменение тригонометрической функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров

Предположение исследования: программа GeoGebra позволяет визуально проследить изменение поведения функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров.

Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач.
Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач.
Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Методы: эмпирический (практическая работа в программе); аналитический (анализ полученных результатов)

1. Знакомство с синтаксисом программы GeoGebra.

2. Освоение опций и функций программы.

3. Практическая работа: построение графиков. Сравнение графического и аналитического методов.

4. Анализ и описание полученных результатов.

Предполагается, что в результате работы будут:

1. Изучены (в первом приближении) основные возможности программы GeoGebra по созданию динамических чертежей.

2. Собрана (с использованием возможностей Интернета) библиотека файлов, содержащих графические иллюстрации к задачам типа С5 с параметрами.

3 Сформулированы основные принципы использования программы GeoGebra для иллюстрации решений тригонометрических уравнений графическим способом:

динамическое изменение параметра позволяет демонстрировать взаимодействие графиков в режиме реального времени;
функция «паузы» позволяет зафиксировать положение графиков при критических значениях параметра, которые потом необходимо вычислить аналитически;
введение дополнительного параметра в условие задачи, отличного от заданного, позволяет продемонстрировать принципиальные изменения в исходной конфигурации, которые приводят к появлению новых критических значений параметра.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Предварительный просмотр:

Рабочая карта учащегося

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Решите самостоятельно уравнение графическим методом в интерактивной среде Geogebra;

Откройте Geogebra(Пуск – Все программы – Geogebra)
Настойте координатную плоскость(по оси аргумента – единичный отрезок π/2);
Введите через строку ввода соответствующие функции;

Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и .

Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость. Правой клавишей мыши щелкните по координатной плоскости. В появившемся диалоговом окне поставьте флажок «шаг» и выберите значение π/2. Закройте диалоговое окно. Внесем функции через строку ввода. Для построения первой функции вводим следующее: . Для построения второй функции вводим .

Видео:Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать

Построение графика функции y= sin x

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Построение графика функции y= cos x

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Преобразования графика функции y= sin x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции

y= sin x
1) амплитуда А;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Видео:Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Преобразования графика функции y= cos x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции y= cos x
1) амплитуда A;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Решите следующие уравнения графическим методом и аналитическим путем.

Упростите левую часть уравнения;
Окройте интерактивную среду Geogebra;
Выполните построение;

Графический метод решения в Geogebra

Аналитический метод решения

Не требуется знать формулы

Требуется знать формулы

Необходимо уметь набирать функции

Нет необходимости учиться набирать функции

Операция «Спасение».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y=a cos(bx+c) в зависимости от параметров а, b и с. Рисуем график квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Изменение любого из трех коэффициентов изменяет поведение параболы. Модель можно посмотреть, перейдя по ссылке http://ggbtu.be/m221351 К онечный результат представлен на рисунке.

Предварительный просмотр:

Видео:Нестандартные тригонометрические уравнения. Часть 1.Скачать

Подписи к слайдам:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.

При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x

Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:

Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические1. ggb

2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические2. ggb

Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.

Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практическиекорабль синих. ggb

Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.

Практическиекорабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.

Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.

Точки пересечения кораблей – А и В . Практическиекорабль желтых. ggb

Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .

При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практическиединамическая модель. ggb

Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Проект » Методы решения тригонометрических уравнений»

Проект ориентирован на учеников 10 класса. Данный проект посвящен учебным темам «Тригонометрические уравнения, решение тригонометрических уравнений». В данной работе представлены общие сведения о тригонометрических уравнениях, методы решения тригонометрических уравнений, рассмотрены приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Рассматривается применение изученных методов для решения тригонометрических уравнений базовой части и уравнений повышенной сложности.

Видео:Как решать тригонометрические уравнения. Способы решения ТУ.Скачать

Проект:»Методы решения тригонометрических уравнений»

Урок — проект: » Методы решения тригонометрических уравнений»

Просмотр содержимого презентации
«1 группа»

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась её вспомогательным разделом.

Астрономы при нахождении расстояний до планет и звёзд использовали свойства треугольника.

Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями .

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов .

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

называется уравнение, в котором

переменная является аргументом

одной или нескольких

простейшие тригонометрические уравнения

2 . Отметить точку а на оси абсцисс .

3 . Построить перпендикуляр в этой точке .

4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью .

5 . Полученные точки – решение уравнения cost = a.

6 . Записать общее решение уравнения .

Частные случаи уравнения

2 . Отметить точку а на оси ординат .

3 . Построить перпендикуляр в этой точке .

4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью .

5 . Полученные точки – решение уравнения sint = a.

6 . Записать общее решение уравнения .

Частные случаи уравнения

« Метод замены переменой»

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Основное тригонометрическое тождество: следствия:

Косинус двойного аргумента :

Метод решения — замена переменной

Сделайте замену переменной.
Решите полученное алгебраическое уравнение относительно новой переменной.
Сделайте обратную замену и получите совокупностьпростейших тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно

cos х = t , sin х = t .

A sin 2 x + B cosx + C = 0

A cos 2 x + В sinx + C = 0

A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0
A sin 2 x + B cosx + C = 0 A cos 2 x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.

не удовлетворяет условию

Пример 2 . Решить уравнение

2 sin 2 x + sinx — 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2 t 2 + t — 1 = 0.

Решим его: D = 1 + 8 = 9,

sinx = 1/2 или sinx = -1.

Пример 3 . Решить уравнение

6 sin 2 x + 5 cosx — 2 = 0.

Заменяя sin 2 x на 1-с os 2 x , получим квадратное уравнение относительно с osx .

6 ( 1- cos 2 x ) + 5 cosx — 2 = 0,

-6 cos 2 x + 5cosx + 4 = 0,

6 cos 2 x — 5cosx — 4 = 0.

Пусть cos x = t , тогда 6t 2 — 5t — 4 = 0,

t 1 = — 1/2, t 2 = 4/3.

1.» width=»640″

Cледовательно, с os x = — 1/2 или cos x = 4/3 .

Решая уравнение с os x = -1/2 , находим:

Уравнение cos x = 4/3 не имеет решений, так как 4 /3 1.

Пример 4 . Решить уравнение

то уравнение можно записать в виде:

Обозначим tgx через t . Получим уравнение

которое приводится к квадратному t 2 — 3t + 2 = 0,

По теореме, обратной теореме Виета,

Желаю творческих успехов!

Спасибо за внимание!

Просмотр содержимого презентации
«группа 2»

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Формулы двойного аргумента

sin 2 x = 2 sin x cos x ,
cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Уравнения, допускающие разложение на множители

основной метод решения:

основной метод решения:

Используя метод группировки, разложить одночлены, входящие в состав уравнения, на множители.Используя условие равенства произведения нулю, получите и решите совокупность простейших тригонометрических уравнений.
Используя метод группировки, разложить одночлены, входящие в состав уравнения, на множители.
Используя условие равенства произведения нулю, получите и решите совокупность простейших тригонометрических уравнений.

Уравнения, решаемые разложением на множители

sin 2 x – sin x = 0

sin 2 x = 2 sin x cos x ;

2 sin x cos x – sin x = 0,

sin x (2 cos x – 1) = 0

sin x = 0 или 2 cos x – 1 = 0

Если в уравнении встречаются тригонометрические функции с разными, но кратными аргументами х, 2х, 4х , … , то

Приведите все аргументы к одинаковым, используя тождества двойного аргумента и/или тождества понижения степени.
Решите полученное уравнение содинаковыми функциями одинаковых аргументов

Пример 3 . cos x + cos 3 x = 0

Для решения этого уравнения необходимо вспомнить формулу суммы косинусов

2 cos 2 x  cos (– x ) = 0,

2 cos 2 x  cos x = 0,

cos 2 x =0 или cos x = 0,

Нанесем эти решения единичную окружность и убедимся, что вторая серия корней полностью входит в первую, поэтому в ответе достаточно записать только первую серию корней.

Пример 4 . sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0

Пример 5 . sin 2 x = cos 3 x

Пример 6 . 2 sin x cos 2 x – 1 + sin x – 2 cos 2 x = 0

Пример 7 . sin 4 x + sin 2 2 x = 0

Просмотр содержимого презентации
«группа 3»

МКОУ «СОШ» с.п. Светловодское

Тригонометрия (от греч. trigonon -треугольник и metrio- измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития.

Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2 a .

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ( IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ( IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль — Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.

Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1 ’ с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль — Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1 ’ с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках.

Сумма показателей степеней при sin x и cos x

у всех слагаемых такого уравнения равна n.

Уравнение вида asinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени:

Посмотреть, есть ли в уравнении членasin2x.
Если членasin2xв уравнении содержится (т.е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения наcos2xи последующим введение новой переменной.
Если членasin2xв уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносятcosx.

Если тригонометрическое уравнение является однородным уравнением относительно синуса и косинуса одинаковых аргументов, то

1. Проверьте является ли решение

Если является, то запишите это решение.

2. Разделите уравнение почленно на

косинус в степени уравнения.

3. Замените sin x/cos x = tgx.

4. Решите полученное уравнение с

одинаковыми функциями одинаковых аргументов

Заданное уравнение можно привести к однородному уравнению с помощью тригонометрического разложения единицы:

x= arctg ( ) + π k, k Z

Формулы двойного аргумента

sin 2 x = 2 sin x cos x

cos 2 x = cos 2 x – sin 2 x, или

cos 2 x = 1 – 2 sin 2 x и

cos 2 x = 2 cos 2 x – 1.

Просмотр содержимого презентации
«методы решения»

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;
б ) вынести все общие множители за скобки;
в ) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу

Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида:

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: