Нестандартные методы решения нестандартных тригонометрических уравнений
Обновлено
Поделиться
«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».
Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.
В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.
Видео:Решение нестандартных тригонометрических уравнений. Отбор корней ТУ.Скачать
Предварительный просмотр:
Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».
Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ
Основные цели работы:
освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra;
изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций;
отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;
Объект исследования: Тригонометрические уравнения
Предмет исследования: изменение тригонометрической функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров
Предположение исследования: программа GeoGebra позволяет визуально проследить изменение поведения функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров.
Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач.
Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач.
Методы: эмпирический (практическая работа в программе); аналитический (анализ полученных результатов)
1. Знакомство с синтаксисом программы GeoGebra.
2. Освоение опций и функций программы.
3. Практическая работа: построение графиков. Сравнение графического и аналитического методов.
4. Анализ и описание полученных результатов.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».
Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.
В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.
Предполагается, что в результате работы будут:
1. Изучены (в первом приближении) основные возможности программы GeoGebra по созданию динамических чертежей.
2. Собрана (с использованием возможностей Интернета) библиотека файлов, содержащих графические иллюстрации к задачам типа С5 с параметрами.
3 Сформулированы основные принципы использования программы GeoGebra для иллюстрации решений тригонометрических уравнений графическим способом:
динамическое изменение параметра позволяет демонстрировать взаимодействие графиков в режиме реального времени;
функция «паузы» позволяет зафиксировать положение графиков при критических значениях параметра, которые потом необходимо вычислить аналитически;
введение дополнительного параметра в условие задачи, отличного от заданного, позволяет продемонстрировать принципиальные изменения в исходной конфигурации, которые приводят к появлению новых критических значений параметра.
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Предварительный просмотр:
Рабочая карта учащегося
Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».
Решите самостоятельно уравнение графическим методом в интерактивной среде Geogebra;
Откройте Geogebra(Пуск – Все программы – Geogebra)
Настойте координатную плоскость(по оси аргумента – единичный отрезок π/2);
Введите через строку ввода соответствующие функции;
Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и .
Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость. Правой клавишей мыши щелкните по координатной плоскости. В появившемся диалоговом окне поставьте флажок «шаг» и выберите значение π/2. Закройте диалоговое окно. Внесем функции через строку ввода. Для построения первой функции вводим следующее: . Для построения второй функции вводим .
Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции
y= sin x 1) амплитуда А; 2) частота w; 3) начальная фаза φ_0; 4) свободный член b?
Видео:10 класс, 31 урок, Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение)Скачать
Преобразования графика функции y= cos x
Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции y= cos x 1) амплитуда A; 2) частота w; 3) начальная фаза φ_0; 4) свободный член b?
Решите следующие уравнения графическим методом и аналитическим путем.
Упростите левую часть уравнения;
Окройте интерактивную среду Geogebra;
Выполните построение;
Графический метод решения в Geogebra
Аналитический метод решения
Не требуется знать формулы
Требуется знать формулы
Необходимо уметь набирать функции
Нет необходимости учиться набирать функции
Операция «Спасение».
«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».
«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».
«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».
Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y=a cos(bx+c) в зависимости от параметров а, b и с. Рисуем график квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Изменение любого из трех коэффициентов изменяет поведение параболы. Модель можно посмотреть, перейдя по ссылке http://ggbtu.be/m221351 К онечный результат представлен на рисунке.
Предварительный просмотр:
Видео:Все методы решения тригонометрических уравнений за 30 минутСкачать
Подписи к слайдам:
Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса
Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;
Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.
Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.
Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.
При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x
Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:
Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические1. ggb
2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические2. ggb
Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.
Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практическиекорабль синих. ggb
Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.
Практическиекорабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.
Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.
Точки пересечения кораблей – А и В . Практическиекорабль желтых. ggb
Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .
При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практическиединамическая модель. ggb
Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.
Видео:Нестандартные тригонометрические уравнения Часть 3Скачать
Нестандартные тригонометрические уравнения
Разбор вариантов решения тригонометрических уравнений. Анализ типичных ошибок при нахождении корней тригонометрических уравнений. Изучение данной работы полезно старшеклассникам для подготовки к ЕГЭ по математике.
Математические знания могут применяться умело и с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.
Решения тригонометрических уравнений сводятся к решению элементарных уравнений посредством преобразования, разложения на множители, замены неизвестного. Ведущий принцип – не терять корни. Это означает, что при переходе к следующему уравнению не нужно опасаться лишних корней, а заботиться лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение являлось следствием предыдущего.
Пример 1: Основной прием решения нестандартных тригонометрических уравнений – это домножение обеих частей уравнения.
14x = πk; k є z x = ; k є zт. к. sinx ≠ 0 x ≠ πk; k є z k ≠ 14n; где n, k є z
Ответ: x = ; k ≠ 14n; n, k є z.
Решение: умножим обе части уравнения на sinx sinx≠0 x≠πn; n є z
Имеем: sinx·cosx + sinx·cos3x = (sinx
( (2sinx·cosx) + sinx·cosx = (sinx
(sin2x + sinx·cos3x = (sinx
Используя формулу cosα·sinß = ( (sin(ß-α)+sin(ß+α)) получаем:
(sin2x + (sin4x — (sin2x = (sinx
При помощи формулы разности синусов получаем:
(·2sin ·cos = 0 sin = 0илиcos = 0 x= ; n є zx= + ; k є z n ≠ 3mk ≠ 5t + 2
Ответ: ; n є z; + ; k є z; n, k є z; n ≠ 3m; k ≠ 5t + 2
Пример 2: Возведение в квадрат обеих частей уравнения.
Решение: возведём обе части уравнения в квадрат
Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Основная схема отбора состоит в следующем: находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение, на этом периоде отбираются корни. В частности, если период равен 2π, то нужно «обойти» тригонометрический круг.
Проведём отбор корней уравнения , удовлетворяющих условию
(не удовлетворяет условию)
Пример 3:Решение уравнений методом оценки левой и правой части.
Решение: т. к. cos3x ≤ 1 и cos ≤ 1, то данное уравнение эквивалентно системе уравнений: cos3x = 1 cos = 1
= 2πk; k є z x = ; x = ;
5n = 6k n = 6; k = 5
Пример 4: Решение уравнений методом понижения степени.
Используя формулы половинного аргумента, имеем:
Домножим обе части уравнения на 16:
Применяя формулу a + b = (a² + b²)² – 2a²b²
— домножаем уравнение на 8
— не удовлетворяет условию
Пример 5: Решение уравнений, содержащих модуль.
Получаем совокупность двух смещенных систем:
Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:
Пример 6: Решение уравнений с параметрами
При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней?
Уравнениене имеет корней, если a +5 10 a 5
Ответ: уравнение не имеет корней при a, принадлежащем промежутку.
Основные принципы и методы решения тригонометрических уравнений, которые мною рассмотрены, носят достаточно общий характер. При решении любого уравнения важно, чтобы была соблюдена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования были выполнены верно, получен правильный ответ. Тригонометрия относится к сложным разделам математики. Углубленное изучение этой темы способствовало расширению кругозора, улучшению навыков решения тригонометрических уравнений.
Видео:Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать
Нестандартные методы решения нестандартных тригонометрических уравнений
Главная
Список секций
Математика
Нетрадиционные способы решения тригонометрических неравенств
Нетрадиционные способы решения тригонометрических неравенств
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.
Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях обучения. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.
Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических — бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является наличие не единственного способа формы записи ответа.
Цель исследований: изучить различные способы решения тригонометрических уравнений и неравенств и отобрать самые рациональные из них для практического применения.
Изучить найденную литературу по данному вопросу.
Рассмотреть особенности каждого найденного способа.
Определить закономерности в решении тригонометрических уравнений и неравенств.
Выяснить, какой из рассмотренных способов решения тригонометрических уравнений и неравенств является универсальным, и какой является рациональным.
Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов.
Распространить опыт решения тригонометрических уравнений и неравенств среди учащихся 8-11 классов.
Гипотеза:при изучении различных способов решения тригонометрических уравнений и неравенств смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Элементарные тригонометрические уравнения — это уравнения вида , где — одна из тригонометрических функций: , , .
Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:
Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.
Решения уравнения , где , находятся по формуле
Особо отметим некоторые частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:
Теорема.Если — основной период функции , то число является основным периодом функции .
Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и , что .
Теорема.Если периодические функции и , имеют соизмеримые и , то они имеют общий период , который является периодом функций , , .
В теореме говорится о том, что является периодом функции , ,, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и — , а основной период их произведения .
НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Графический метод решения тригонометрических неравенств
На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения неравенств. Рассмотрим сущность метода на конкретных примере.
Пример. Решить неравенство: .
Решение: При решении неравенств графическим методом необходимо как можно более точно построить графики функций. Преобразуем данное неравенство к виду: .
Построим в одной системе координат графики функций и y =3 x -1.(рис. 1)
Графики функций пересекаются в точке A с координатами x 0,6 ; y 0,8 . На промежутке ; 0,6 точки графика ниже точек графика . А при x 0,6 значения функций совпадают. Поэтому при x 0,6.
II. Метод подстановки
Довольно часто исходное тригонометрическое неравенство путем удачно выбранной подстановки удается свести к алгебраическому (рациональному или иррациональному) неравенству. Рассмотрим на конкретных примере применение этого метода.
Пример. Решить неравенство: .
Решение: Так как , то это неравенство эквивалентно следующему:
Произведем замену переменной: .
Решим это неравенство методом интервалов.(рис. 2)
Следовательно, для отыскания x получаем совокупность неравенств:
Решим графически(рис. 3)
III.Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств
Данный метод является аналогом метода параллельных числовых осей при решении систем рациональных неравенств.
Пример. Решить систему тригонометрических неравенств:
Решение: Сначала решим каждое неравенство отдельно(рис. 4)
Далее строим систему концентрических окружностей для аргумента x. Рисуем окружность и заштриховываем ее согласно решению первого неравенства, затем рисуем окружность большего радиуса и заштриховываем ее согласно решению второго, далее строим окружность для третьего неравенства и базовую окружность. Из центра системы через концы дуг проводим лучи так, чтобы они пересекали все окружности. На базовой окружности формируем решение(рис. 5)
IV. Метод секторов для решения тригонометрических неравенств
Рассмотрим метод секторов для решения тригонометрических неравенств. Решение неравенств вида , где и – рациональные тригонометрические функции (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы входят в них рационально), аналогично решению рациональных неравенств. Рациональные неравенства удобно решать методом интервалов на числовой оси. Его аналогом при решении рациональных тригонометрических неравенств является метод секторов в тригонометрическом круге, для sin x и cos x ( T 2 ) или тригонометрическом полукруге для tg x и ctg x ( T ).
В методе интервалов каждому линейному множителю числителя и знаменателя вида на числовой оси соответствует точка , и при переходе через эту точку меняет знак. В методе секторов каждому множителю вида , где – одна из функций или и , в тригонометрическом круге соответствуют два угла и , которые делят круг на два сектора. При переходе через и функция меняет знак.
Необходимо помнить следующее:
а) Множители вида и , где , сохраняют знак для всех значений Такие множители числителя и знаменателя отбрасывают, изменяя (если a 1) при каждом таком отбрасывании знак неравенства на противоположный.
б) Множители вида и также отбрасываются. При этом, если это множители знаменателя, то в эквивалентную систему неравенств добавляются неравенства вида и . Если это множители числителя, то в эквивалентной системе ограничений им соответствуют неравенства и в случае строгого исходного неравенства, и равенства и в случае нестрогого исходного неравенства. При отбрасывании множителя или знак неравенства изменяется на противоположный.
Пример. Решить неравенства: a) ; б) .
Решение: В тригонометрическом круге уравнению соответствуют два угла и . Они делят круг на два сектора, в каждом из которых функция сохраняет знак. (рис. 6)
В секторе имеем . В секторе , очевидно, . Период функции .
2. Неравенства вида .
Каждому множителю вида , где одна из функций tg x или ctg x , в тригонометрическом полукруге (или ) соответствует один угол такой, что . При переходе через функция ( f ( x )- a ) меняет знак. Кроме того, c tg x не определен при , и слева, и справа от этих точек имеет разные знаки. Аналогично, ctg x не определен при x 0 и x , и слева, и справа от этих точек имеет разные знаки.
Пример. Решить неравенства а) ; б) .
Решение: В тригонометрическом полукруге уравнению соответствует один угол . При функция не определена. Указанные три угла делят полукруг на два сектора, в каждом из которых функция сохраняет знак.(рис. 7)
В секторе имеем .
В секторе , очевидно, .
Функция y = tg x имеет период T .
V. Метод интервалов на тригонометрической окружности
Рассмотрим денный способ на конкретном примере:
Решение. Приведем неравенство к виду . Далее будем работать с уравнением
Решим данные уравнения:
Будем отмечать на тригонометрическом круге корни первого уравнения ( ∆), а корни второго (*). Получим:(рис. 8)
Теперь на круге видно несколько промежутков. Подставим в исходное уравнение корни из этих промежутков и узнаем какой знак имеет каждый из них. Получим решение уравнения.
Результаты и обсуждение
Для того что бы сравнить пригодность и выявить плюсы и минусы различных методов решения тригонометрических неравенств, я решил одно тригонометрическое неравенство всеми доступными для него способами. Это неравенство: .
1 способ (Графический метод)
Представим данное неравенство в виде двух функций: , и начертим их графики (рис. 9).
Как видно из рисунка, графики пересекаются в точках и . Период функции равен , следовательно при
2 способ (Метод секторов)
Определим точки в которых функция равна . Это точки и . Отметим их на тригонометрической окружности (рис. 10):
Далее проверим в каких секторах неравенство больше , а в каких меньше. В ответ запишем, те корни, когда .
3 способ (Метод интервалов)
Отметим на тригонометрической окружности корни уравнения (рис. 11):
Далее проверим в каких интервалах неравенство больше , а в каких меньше. В ответ запишем, те корни, когда .
Графический метод решения тригонометрических неравенств
Изучается в школе
Неточный, требует сложных построений
Прост в понимании
Работает не всегда
Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств
Помогает быстро решать системы тригонометрических неравенств
Не подходит для решения одиночных неравенств
Метод секторов для решения тригонометрических неравенств
Позволяет точно определить ответ
Подходит не для всех уравнений
Метод интервалов на тригонометрической окружности
Требует знания тригонометрических формул
В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме (Таблица 1), изучить различные способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, научиться тригонометрические уравнения и неравенства уравнения 5 способами, помимо тех, которые изучаются в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональным для использования будет метод интервалов на тригонометрической окружности.
Я провел исследование на тему моей работы. Сначала я предложил своим одноклассникам решить различные тригонометрические уравнения, которые решаются разными способами. Вот результаты которые они показали(Диаграмма 1):
После того, как я объяснил одноклассникам различные способы решения тригонометрических неравенств, то они снова написали эту же работу. Результаты повторной работы представлены в диаграмме 2:
Подводя итоги, можно сделать вывод: так как тригонометрические уравнения и неравенства играют огромную роль в математике, найденные и освоенные новые знания могут пригодиться не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни. Также, можно понять, что в современных учебниках по алгебре мало внимания уделяется различным способам решения тригонометрических уравнений и неравенств, что не является положительным моментом.
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. для учащихся 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 1994.
2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства / М.И. Башмаков – М.: Наука, 1976.
3. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман – М.: Мир, 1965.
4. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства / А.Ш. Блох, Т.Л. Трухан – Минск: Народная Асвета, 1972.
5. Ваховский Е.Б., Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике / Е.Б. Ваховский Е.Б., А.А. Рывкин – М.: Наука, 1971.
6. Виленкин Н.Я., Гутер Р.С., Шварцбурд С.И., Овчинский Б.В., Ашкинузе В.Г. Алгебра. Учебное пособие для 9-10 классов средних школ с математической специализацией. / Н.Я. Виленкин, Р.С. Гутер, С.И. Шварцбурд и др. – М.: Просвещение, 1968.
7. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Гусева О.В. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств // Математика в школе. – 1999. – №4. – С.73-74.
