Неособенная матрица коэффициентов системы уравнений

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Широко используется во многих разделах теоретической и прикладной математики

Главная > Документ

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА

Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет числом; если элементы матрицы функции, то и определитель будет функцией и так далее. Обозначается определитель любой квадратной матрицы одним из следующих символов . Определяющее правило составления определителя введем индуктивно, то есть будем выражать значение определителя матрицы размера (определитель порядка ) через определители меньших порядков.

Определитель матрицы положим равным элементу . Так, например, .

Определителем порядка назовем число, которое будем находить по правилу разложения по первой строке матрицы размера :

.

В этой и во всех последующих формулах минором элемента называется определитель порядка , полученный вычеркиванием из исходной матрицы строки с номером и столбца с номером . Отсюда определитель второго порядка находится по правилу

,

т. е. составляется разность произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

Так , .

Определитель третьего порядка по общей формуле сначала выражается через определители второго порядка и далее определители первого порядка:

=

= =

= .

Если в последнем выражении определителя третьего порядка в одну группу собрать произведения со знаком плюс, а во вторую – произведения со знаком минус, то мы получим формулу раскрытия определителя по правилу Саррюса:

=

(определитель третьего порядка равен сумме произведений его элементов, находящихся на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали, минус сумму произведений элементов, находящихся на побочной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали).

Вычислим по правилу Саррюса следующий определитель третьего порядка

=

=.

В теории определителей важную роль играет следующая основная теорема , которую мы приводим без доказательства. Определим, предварительно, алгебраическое дополнение любого элемента по формуле

.

Как следует из определяющей формулы, алгебраическое дополнение может отличаться от минора только знаком.

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу).

Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Например, формула разложения определителя по той строке в соответствии с основной теоремой имеет вид:

Этой теоремой широко пользуются при вычислении определителей, стараясь выбирать те строки или столбцы, которые содержат больше нулей.

Перечислим основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть .

Это свойство непосредственно следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу.

Свойство 2. Знак определителя изменяется на противоположный при перестановке двух произвольных строк (столбцов) местами.

Свойство 3. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые:

.

Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит суммы элементов.

Свойство 4. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на постоянный множитель, то исходный определитель умножится на этот множитель. Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит постоянный множитель.

Свойства 3 и 4 могут применяться многократно и составляют, так называемые, линейные свойства определителей.

Свойство 5. Если определитель содержит хотя бы одну строку (столбец), состоящий из нулевых элементов, то он равен нулю.

Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит только нулевые элементы.

Свойство 6. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, если переставить в матрице с определителем две равные строки, то эта матрица не изменится и будет иметь тот же определитель . С другой стороны, по свойству 2, знак определителя изменяется на противоположный при перестановке любых двух строк матрицы. Отсюда значение определителя равно . Таким образом получается, что , что и требовалось доказать.

Свойство 7. Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию некоторых других строк (столбцов), то величина определителя не изменится.

Это свойство следует из линейных свойств определителя и свойства 6.

Теорема (теорема аннулирования).

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам любой другой строки (столбца) равна нулю.

Напишем формулу разложения определителя по первой строке

.

Вид этой формулы не зависит от того, какие конкретно значения имеют элементы первой строки. Поместим в первую строку элементы любой другой строки. Тогда мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 6 равен нулю. Кроме того, в этом случае алгебраические дополнения, которые остались в формуле разложения соответствующими первой строке, не будут соответствовать той строке, которую мы поместили на место первой строки. Таким образом, мы получили, что сумма произведений элементов любых строк, кроме первой, на алгебраические дополнения элементов первой строки, равно нулю. Аналогично, используя теорему о разложении определителя по любой строке (столбцу), доказывается теорема для остальных строк и столбцов.

Теорема (об определителе произведения двух матриц).

Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей .

Теорема приводится без доказательства. Следующий пример

, , ,

,

иллюстрирует сформулированную теорему.

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Общая система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными имеет вид

Коэффициенты при неизвестных объединяют в так называемую матрицу системы , неизвестные – в матрицу – столбец неизвестных , а правые части уравнений объединяют в матрицу – столбец . Учитывая введенные обозначения и определения умножения и равенства матриц, исходную систему уравнений записывают в виде .

Обычно, для более краткой записи нижние индексы матриц опускают и систему уравнений в матричной форме представляют в виде .

Если все правые части уравнений равны нулю, то систему называют однородной , если же хотя бы одна из правых частей системы отлична от нуля, то систему называют неоднородной . Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица ее коэффициентов квадратная, а саму систему называют квадратной .

Конечная последовательность чисел называется решением системы уравнений, если при подстановке этих чисел вместо неизвестных все уравнения системы обращаются в верные равенства. Множество всех решений системы называют общим решением системы.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. В обратном случае систему называют несовместной, а ее множество решений является пустым множеством. Если решение системы единственное, то такую систему называют определенной , если же система имеет более чем одно решение, то – неопределенной . Далее будет доказано, что неопределенные системы могут иметь только бесконечно много решений. Таким образом, любая система может иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь вообще ни одного решения.

Рассмотрим несколько характерных примеров.

Система уравнений — квадратная, неоднородная, имеет единственное решение , так что является определенной. Система имеет более одного решения. Например, ее решениями являются значения: ; ; . Такая система называется неопределенной. Система не имеет ни одного решения. Такая система называется несовместной.

Исследование линейных систем начнем с решения квадратных систем. Введем предварительно необходимые определения. Если определитель матрицы не равен нулю, то такие матрицы будем именовать неособенными или невырожденными . Если же определитель матрицы равен нулю, то такую матрицу будем называть особенной или вырожденной .

Матрицу называют обратной к , если удовлетворяет условиям

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы).

Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле , тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Матрицаназывается присоединенной по отношению к матрице , и ее столбцы состоят из алгебраических дополнений к элементам, расположенным в соответствующих строках исходной матрицы .

Докажем, что условие , является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главной диагонали произведения матрицы на обратную матрицу стоят суммы произведений элементов строк матрицы на соответствующие этим элементам строк алгебраические дополнения. Эти суммы дают значения определителя, который по условию теоремы не равен нулю. Любые элементы произведения матриц , не лежащие на главной диагонали, равны нулю, так как там стоят суммы произведений элементов строк матрицы на алгебраические дополнения к элементам других строк.

Таким образом: .

Аналогично доказывается, что произведение , что означает существование обратной матрицы в виде, указанном в формулировке теоремы.

Покажем, что эта матрица единственная. Предположим, что имеется хотя бы одна матрица , также удовлетворяющая условиям . Умножая равенство слева на матрицу , получим цепочку следований:

,

что доказывает единственность обратной матрицы.

Докажем, что условие является необходимым , то есть из существования обратной матрицы должна следовать не особенность исходной матрицы . Действительно, из теоремы об определителе произведения матриц и определения обратной матрицы следует, что . Отсюда можно сделать вывод, что и, так как иначе их произведение не могло бы равняться отличному от нуля числу 1. Теорема полностью доказана.

Отметим, что в процессе доказательства теоремы было показано, что определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, то есть вычисляется по формуле .

Квадратная матрица , обладающая свойством , называется ортогональной . Следующие основные свойства обратных матриц:

1) , 2) , 3)

доказываются обычно по методу представления в общем виде элементов матриц, стоящих слева и справа от знаков равенств.

Рассмотрим пример вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы, то есть путем составления алгебраических дополнений, для следующей матрицы третьего порядка . Ее определитель вычислим методом разложения по первой строке . Так как определитель матрицы не равен нулю, то матрица неособенная, и поэтому можно составлять обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , ,

, ,,

, , .

Обратной матрицей для матрицы является следующая матрица:

.

Для того чтобы проверить правильность составления обратной матрицы, следует исходную матрицу умножить на обратную ей матрицу. В результате должна получиться единичная матрица соответствующего размера.

С помощью обратной матрицы, найденной вышеуказанным способом, удобно решать невырожденные квадратные системы с небольшим числом неизвестных. При этом решение системы находится за конечное число шагов и явно выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Правило решения такой системы формулируется в следующей теореме.

Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способом по формуле , либо по формулам Крамера ,

где матрицы получены из матрицы заменой -тых столбцов на столбец правых частей системы.

В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица . Умножая нашу систему, имеющую в матричной форме вид , слева на обратную матрицу , получим: .

Таким образом, доказано, что матричным способом вектор – столбец решений находится в единственном виде по формуле .

Если далее формулу представить в покомпонентной записи, то для компонент вектора неизвестных будем иметь формулы

, ,

так как суммы в круглых скобках представляют собой разложения определителей по -тым столбцам матриц .

Таким образом, теорема Крамера полностью доказана.

Решим для примера следующую систему уравнений:

Матрица коэффициентов этой системы неособенная, так как . Присоединенная матрица имеет вид . Отсюда , ,

т. е. .

Если ту же систему уравнений решать с помощью формул Крамера, то:

,

,

.

Отметим, что в нашем примере мы находили определители в числителях формул Крамера, используя разложения по столбцам свободных членов. Однако, как следует из теоремы о разложении определителя по любым строкам или столбцам, можно было выбрать любые удобные строки или столбцы.

Для исследования и решения систем линейных уравнений в общем виде введем предварительно понятие о ранге матрицы.

Пусть в матрице размера произвольно выбраны строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка , определитель которой называется минором порядка матрицы .

Базисным минором произвольной матрицы размера называют любой ее минор порядка , если он отличен от нуля, а все миноры порядка либо равны нулю, либо не существуют (выходят за размеры исходной матрицы ). Порядок базисного минора называется рангом матрицы и обозначается .

Строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами .

Отметим, что у матрицы может быть несколько базисных миноров, причем каждому из них соответствуют свои базисные строки и столбцы. Если матрица является квадратной порядка и невырожденной, то по определению ее ранг равен числу , то есть , так как определитель порядка отличен от нуля, а других определителей более высокого порядка не существует. Все строки и все столбцы такой матрицы являются базисными.

Если размеры матрицы не очень большие, то ранг матрицы вычисляют, пользуясь методом окаймляющих миноров .

Пусть в матрице найден некоторый минор порядка , отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры порядка , которые содержат в себе (окаймляют) выделенный минор. Если все окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен . Если же среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор порядка , то процедура повторяется, пока ранг не будет найден.

Пример. Найдем методом окаймляющих миноров ранг следующей матрицы

.

Фиксируем минор порядка два, отличный от нуля, , стоящий в первых двух строках, и в третьем и четвертом столбцах матрицы.

Минор порядка три, стоящий в левом верхнем углу, окаймляет предшествующий минор и также отличен от нуля. Однако, оба возможных окаймляющих минора порядка четыре равны нулю:

.

Таким образом, ранг матрицы найден по методу окаймляющих миноров и равен трем.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Неособенная матрица коэффициентов системы уравнений

webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.

Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.

Чем может быть полезен webkonspect.com:

• простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
• просмотр конспекта без выхода в интернет.
• удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
• конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
• webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Что значит найти обратную матрицу?

Нахождение обратной матрицы — процесс, который состоит из достаточно простых действий. Но эти действия повторяются так часто, что процесс получается довольно продолжительным. Главное — не потерять внимание при решении.

При решении наиболее распространённым методом — алгебраических дополнений — потребуется:

• вычислять определители, поэтому нелишне открыть в новом окне материал по вычислению определитедей;
• находить миноры и алгебраические дополнения — подробно об этом также в соответствующем материале;
• транспонировать матрицы.

При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение a и b равно единице: ab = 1 . Число b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Нахождение обратной матрицы — задача, которая чаще решается двумя методами:

• методом алгебраических дополнений, при котором, как было замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и алгебраические дополнения и транспонировать матрицы;
• методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько разминочных.

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы)

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

, (2)

где — определитель матрицы А, а — матрица, союзная с матрицей А.

Разберём ключевые понятия, которые потребуются для решения задач — союзная матрица, алгебраические дополнения и транспонированная матрица.

Пусть существует квадратная матрица A:

Транспонированная относительно матрицы A матрица A’ получается, если из строк матрицы A сделать столбцы, а из её столбцов — наоборот, строки, то есть заменить строки столбцами:

Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.

Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:

.

Вычислим алгебраическое дополнение элемента , то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.

Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется следующий определитель, который и является минором элемента :

.

Алгебраическое дополнение элемента получим, если умножим , где i — номер строки исходного элемента, а k — номер столбца исходного элемента, на полученный в предыдущем действии минор этого исходного элемента. Получаем алгебраическое дополнение элемента :

.

По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы A’, транспонированной относительно матрицы матрица A.

И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы , транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Следовательно, матрица , союзная с матрицей A, имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса — приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы получим сдвоенную матрицу . Умножим обе части этой матрицы на , тогда получим

,

и .

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Нахождение обратной матрицы методом линейных преобразований

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы. Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование — это система линейных уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование — систему линейных уравнений вида

,

где a ij — элементы матрицы A.

2. Решить полученную систему относительно y — найти для предыдущего линейного преобразование обратное линейное преобразование

,

в котором A ij — алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ — определитель матрицы A. Внимание! Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки — в столбце, а для элементов столбца — в строке.

3. Находим коэффициенты при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований — это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании — это элементы обратной матрицы для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Найти обратную матрицу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти обратную матрицу для матрицы

.

📽️ Видео

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Решение систем линейных уравнений с помощью матрицСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

9. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений / матричный методСкачать

2.2. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Метод ГауссаСкачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

Матрица интенсивностей. Система уравнений КолмогороваСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать