Разделы: Математика
При изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе достаточное внимание уделяется рассмотрению примеров решений уравнений, сводящихся к квадратным и решению однородных уравнений первой и второй степени относительно sin x и cos x. При этом практически не рассматриваются примеры решения уравнений первой степени, являющихся неоднородными относительно функций sin x и cos x.
Изучая в школьном курсе 10 класса тему «Преобразование тригонометрических выражений», целесообразно ввести формулу a sinx + b cosx = 
sin(x+
), где tg 
= 
. В дальнейшем она будет использоваться при решении неоднородных линейных уравнений. Формулы универсальной подстановки и формулы половинного аргумента выводятся в теме «Преобразование тригонометрических выражений» при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений.
Цели:
- ввести понятие неоднородного тригонометрического уравнения I степени;
- ознакомить с алгоритмами решения неоднородных тригонометрических уравнений I степени;
- проверить прочность усвоения ранее изученных формул тригонометрии.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: индивидуальная и фронтальная работа с учащимися.
Видео:3B Однородные тригонометрические уравнения второй степени и уравнения, приводящиеся к нимСкачать
Ход урока
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя: Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» кроме рассмотренного нами ранее вопроса о способах решения однородных тригонометрических уравнений I степени предполагает также рассмотрение способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Но прежде, чем мы перейдем к изучению нового материала, необходимо вспомнить применение формул тригонометрии при решении уравнений и неравенств.
II. Актуализация опорных знаний, умений
Математический диктант (10-12 минут).
| I вариант | II вариант | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
| Ответы варианта I | Ответы варианта II | ||||||||||||
| (-1) | ||||||||||||
3x = 
— 
0
2x = 
+ 
; 
+ 
, n 
n; (-1)
+ 
n, n 
n; arctg(-
) + 
n, n 
+ 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n 
+ 
; (-1) 
+ 
, n 
+ 
n; 
+ 2
n, n 
n; arctg 
+ 
n, n 
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n 
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n 
sin(x+
), где 
= arctg 
если a 
+ b 
c
, то уравнение имеет корни
cos 
— sin
sin 3x (через введение дополнительного угла)  sin (2x +  ) =  sin 3x sin (2x +  ) = sin 3x sin (2x +  ) — sin 3x = 0 2 sin  cos  = 0 | ||
sin ( ) = 0 sin (  —  ) = 0 x =  + 2 n, где n | или | cos ( ) = 0 cos (  +  ) = 0 x =  +  , где n |
2) 3 sin x – 4 cos x = 5 (применение универсальной подстановки)
3
— 4
6 tg
(tg
x = 2 arctg3 + 2
— 4 
= 5 
— 4 (1 — tg
) = 5 (1 + tg
) 
— 3) 
= 0 
n, где n
3) cos x – sin x = 1 (через переход к функциям половинного аргумента)
cos
2 sinsin
x = 2или sin
tg
x = —
— sin
— 2 sin
cos 
= sin
+ cos
(sin 
+ cos
) = 0
= 0 
n
+ cos 
= 0 – однородное первой степени 
= -1 
+ 2
nДля самостоятельной работы учащихся (перед началом указываются способы решения):
1) sin x + cos x = 
(через введение дополнительного угла)
sin (x +
x =
sin (x + 
) = 
) = 1 
+ 2
n, где n
2) 3 sin x + 5 cos x= 6 (универсальная подстановка)
3
6 tg
11 tg
решений нет, так как D 11.06.2011
+ 5 
= 6 
+5 — 5 tg
= 6 + 6 tg
— 6 tg 
+ 1= 0 Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать
Ход семинара
1. Прослушать сообщение об истории возникновения и развития тригонометрии.
1) Простейшие уравнения и уравнения, непосредственно сводящиеся к простейшим.
К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся следующие:
. Повторить алгоритмы решения.
Пример 1. Решить уравнение 
. Решение. Учитывая четность функции f(x) =соs х: 
Ответ:
2) Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования сумм тригонометрических функций в произведение
Формулы преобразования суммы в произведение:
— сумма синусов любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности. Разность синусов любых двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
— сумма косинусов любых двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
— разность косинусов любых двух углов равна взятому со знаком минус удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Пример 1. Решить уравнение соs 9х — соs 7х + соs 3х — соs х = 0
Решение. -2sin 8х sin х – 2sin 2х sin х = 0
-2 sin х(sin 8х + sin 2х) = 0
sin х=0 или sin 8х+sin 2х = 0
2sin 5x cos 3х = 0
sin 5x=0 или cos 3х = 0
Так как при k=5n, nÎZ, решения первого и второго уравнений совпадают, то
Ответ: 
, 
.
3) Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
a) Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Пример 1. Решить уравнение sin 3х — 3соs 6х = 2
Решение. sin 3х – 3(соs² 3х — sin²3x) – 2 =0
sin 3х – 3(1- sin² 3х — sin²3x) – 2 =0
6sin² 3х + sin 3х – 5 =0
Пусть sin 3x = t, |t|£1, тогда: 6t²+t-5=0, D=121, t1 = -1, t2=5/6.
sin 3 х = -1 или sin 3х = 5/6
Ответ: 
, 
.
Уравнения и неравенства, в которые входят выражения sin x + cos x и sin 2x удобно решать при помощи замены неизвестного sin x + cos x = t, так как при этом
sin2x = 2sinxcosx = 2sin x cos x +1-1 = sin² х + 2sin xcos x + соs²х -1 = (sin x + cos x)²-1 = t²-1. Пример 3. Решить уравнение sin х + cos х + sin х cos х = 1
Решение. Пусть sin x +cos x = t, тогда: sin х cos х = ½ sin 2х = ½ (t²-1).
t + ½ t² — ½ = 1, t² +2t — 1 = 2, t² +2t — 3 = 0, t1 = -3, t2=1.
sin x +cos x = -3 или sin x +cos x = 1
Ответ: 
.
4) Однородные уравнения
a) Однородное уравнение первой степени аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0, решается делением на cosx или на sin x (это можно сделать, так как cosx≠0, в противном случае, т. е. если сosx =0, следует, что sinx =0, но одновременно эти равенства выполняться не могут): atgx+b=0, и приходим к простейшему уравнению tgx=-b/a.
Пример 1. Решить уравнение 5sin 3х = 2соs 3х
Решение. 5tg3x = 2
Ответ: .
б) Неоднородное уравнение первой степени аsin x +bcos x = c, где а≠0, b≠0, c≠0 сводится к однородному разными способами.
Пример 2. Решить уравнение 2sin х — 3соs х=2
Решение. 
Пусть tg x/2 = t, тогда: t²+4t-5=0, t1 = -5, t2=1.
или 
Ответ: ,
Пример 3. Решить уравнение 2sin х — 3соs х=2
Решение. Введем вспомогательный угол φ, такой, что 
, 
Ответ: , 
Или: Введем вспомогательный угол φ, такой, что 
, 
Ответ: 
, 
в) Однородное уравнение второй степени аsin²x +bsinxcosx+ccos² x = 0, где а≠0, b≠0,c≠0 решается делением на cos²x или на sin²x и приходим к квадратному уравнению atg²x+btgx+c=0 относительно tgx.
Пример 1. Решить уравнение 7sin² х-8sinxcosx-15cos²x=0
Пусть tg x = t, тогда: 7t²-8t-15=0, D=484, t1 = -1, t2=15/7.
tgx=-1 или tgx=15/7
Ответ: 
, .
г) Неоднородное уравнение второй степени аsin²x +bsinxcosx+ccos² x = d,где а≠0, b≠0, c≠0, d≠0 сводится к однородному.
Пример 2. Решить уравнение 3sin² х+2sinxcosx=2
Пусть tg x = t, тогда: t²+2t-2=0, D=12, t1,2 = -1±√3.
tgx=-1+√3. или tgx=-1-√3.
Ответ: 
, 
.
5)Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Пример 1. Решить уравнение sin² х +sin²2х + sin² 3х = 3/2
Решение. 
cos 4x=0 или 2cos 2х+1 = 0
Ответ: , .
6) Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
Формулы преобразования суммы в произведение:
Пример 1. Решить уравнение соs 7х ·соs 3х = соs 4х
Решение. 
sin 7х=0 или sin 3х = 0
Ответ: , .
7) Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла α можно выразить через тангенс половинного угла:
Пример 1. Решить уравнение 1+соs х + tg х/2 = 0
Решение. 
Пусть 
, тогда t³+t+2=0.
Покажем решение на тригонометрической окружности.
Ответ: 
.
Пример 3. Решить неравенство tg x £ 1 .
Покажем решение на тригонометрической окружности
с использованием оси тангенсов.
Ответ: .
2)Решение неравенств заменой переменной
Пример 1. Решить неравенство -5sin x + cos 2x 0
Пусть sin x = t, | t | £ 1 (*).
D=9, 
Ответ: .
Задачи с параметрами
Пример 1. Определить, при каких значениях параметра а уравнение (а2 — 4)соs х = а + 2 имеет решения.
Решение. 1) Если 
, то а = ±2,
при а=2, 0·соs х = 4, решений нет.
при а = -2, 0·сos х = 0, х — любое действительное число.
2) Если 
, а ≠ ±2, то 
. Уравнение имеет решение, если 
Ответ: уравнение имеет решения при а£1 или а≥3 .
Пример 2. Определить, при каких значениях параметра а уравнение sin х = а + 2 имеет решения.
Решение. Уравнение имеет решение, если 
Ответ: уравнение имеет решения при .
Пример 3. Определить, при каких значениях параметра а уравнение (а + 2)tg х = 4 имеет решения.
Решение. 1) Если а + 2 = 0, а = — 2, то 0·tg х = 4, решений нет.
2) Если а + 2 ≠ 0, a ≠ — 2, то 
.
Ответ: уравнение имеет решения при a ≠ — 2.
Пример 4. Определить, при каких значениях параметра а уравнение sin х = cos a имеет решения.
Решение. Уравнение sin х = cos a является однородным уравнением первой степени
а sin x + bcos x = 0. Оно имеет решения при любом а.
Ответ: уравнение имеет решения при любом а.
Итог семинара. Подвести итоги семинара и обратить внимание на сильные и слабые стороны подготовки и учащихся.
📽️ Видео
10 кл. Методы решения тригонометрических уравнений (неоднородные уравнения 2 степени) Телепова НВСкачать
Тригонометрические уравнения второй степени. Алгебра 10 классСкачать
10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Неоднородные тригонометрические уравнения или как тебя попытаются завалить на ЕГЭ по математикеСкачать
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать
Однородные тригонометрические уравнения II степени. Видеосправочник по математике #4Скачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
10й класс; Математика; Однородные тригонометрические уравнения I, II степениСкачать
Как решать однородные тригонометрические уравненияСкачать
Алгебра 10 класс (Урок№46 - Однородные тригонометрические уравнения.)Скачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Неоднородные тригонометрические уравнения. 13 задача профильного ЕГЭ.Скачать
№5 Тригонометрические уравнения. Однородные уравнения первого и второго порядков.Скачать
Решение однородных тригонометрических уравнений 1-ой и 2-ой степениСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать
