Неоднородные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка

Мир математических уравнений

Точные решения > Обыкновенные дифференциальные уравнения > Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

3. Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

3.1. Дифференциальные уравнения вида y′′ = f(x, y)

1. y′′ = f(y). Автономное уравнение.
2. y′′ = Ax n y m . Уравнение Эмдена—Фаулера.
3. y′′ + f(x)y = ay −3 . Уравнение Ермакова.
4. y′′ = f(ay + bx + c).
5. y′′ = f(y + ax 2 + bx + c).
6. y′′ = x −1 f(yx −1 ). Однородное уравнение.
7. y′′ = x −3 f(yx −1 ).
8. y′′ = x −3/2 f(yx −1/2 ).
9. y′′ = xk−2 f(x −k y). Обобщенно-однородное уравнение.
10. y′′ = yx −2 f(x n y m ). Обобщенно-однородное уравнение.
11. y′′ = y −3 f(y(ax 2 + bx + c) −1/2 ).
12. y′′ = e −ax f(e ax y).
13. y′′ = yf(e ax y m ).
14. y′′ = x −2 f(x n e ay ).
15. y′′ = (ψ′′/ψ)y + ψ −3 f(y/ψ), ψ = ψ(x).

3.2. Дифференциальные уравнения вида f(x, y)y′′ = g(x, y, y′)

1. y′′ − y′ = f(y). Автономное уравнение.
2. y′′ + f(y)y′ + g(y) = 0. Уравнение Льенарда.
3. y′′ + [ay + f(x)]y′ + f′(x)y = 0.
4. y′′ + [2ay + f(x)]y′ + af(x)y 2 = g(x).
5. y′′ = ay′ + e 2axf(y).
6. y′′ = f(y)y′.
7. y′′ = [e αxf(y) + α]y′.
8. xy′′ = ny′ + x 2n + 1 f(y).
9. xy′′ = f(y)y′.
10. xy′′ = [x k f(y) + k − 1]y′.
11. x 2 y′′ + xy′ = f(y).
12. (ax 2 + b)y′′ + axy′ + f(y) = 0.
13. y′′ = f(y)y′ + g(x).
14. xy′′ + (n + 1)y′ = xn − 1 f(yx n ).
15. g(x)y′′ + 1/2 g′(x)y′ = f(y).
16. y′′ = −ay′ + e ax f(ye ax ).
17. xy′′ = f(x n e ay )y′.
18. x 2 y′′ + xy′ = f(x n e ay ).
19. yy′′ + (y′) 2 + f(x)yy′ + g(x) = 0.
20. yy′′ − (y′) 2 + f(x)yy′ + g(x)y 2 = 0.
21. yy′′ − n(y′) 2 + f(x)y 2 + ay 4n − 2 = 0.
22. yy′′ − n(y′) 2 + f(x)y 2 + g(x)yn + 1 = 0.
23. yy′′ + a(y′) 2 + f(x)yy′ + g(x)y 2 = 0.
24. yy′′ = f(x)(y′) 2 .
25. y′′ − a(y′) 2 + f(x)e ay + g(x) = 0.
26. y′′ − a(y′) 2 + be 4ay + f(x) = 0.
27. y′′ + a(y′) 2 − 1/2 y′ = e x f(y).
28. y′′ + α(y′) 2 = [e βxf(y) + β]y′.
29. y′′ + f(y)(y′) 2 + g(y) = 0.
30. y′′ + f(y)(y′) 2 − 1/2 y′ = e x g(y).
31. y′′ = xf(y)(y′) 3 .
32. y′′ = f(y)(y′) 2 + g(x)y′.
33. y′′ = f(x)g(xy′ − y).
34. y′′ = yx −2 f(xy′/y).
35. gy′′ + 1/2 g′y′ = f(y)h(y′g 1/2 ), g = g(x).
36. y′′ = f((y′) 2 + ay).

Веб-сайт EqWorld содержит обширную информацию о решениях различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений, функциональных уравнений и других математических уравнений.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p · y ‘ + q · y = f ( x ) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f ( х ) непрерывная на интервале интегрирования x .

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Теорема общего решения ЛДНУ

Общим решением, находящимся на интервале х , неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функцией f ( x ) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y

, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y

. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f ( x ) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f ( x ) считается за многочлен n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y

= Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y

является частным решением y

= f ( x ) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n ( x ) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y

Вычислить по теореме Коши y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y

, то есть y = y 0 + y

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 — 2 k = 0 k ( k — 2 ) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y

= Q 2 ( x ) · x γ = ( A x 2 + B x + C ) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А , В , С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y

Тогда получим, что:

‘ = x 2 + 1 ( A x 3 + B x 2 + C x ) » — 2 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ‘ = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C ‘ — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 — 6 A x 2 + x ( 6 A — 4 B ) + 2 B — 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений — 6 A = 1 6 A — 4 B = 0 2 B — 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = — 1 6 , B = — 1 4 , C = — 3 4 и y

= A x 3 + B x 2 + C x = — 1 6 x 3 — 1 4 x 2 — 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

y ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y ‘ ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ‘ x = 0 = = 2 C 2 e 2 x — 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 — 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 — 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f ( x ) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y

. Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y » — 2 y ‘ = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

= e a x · Q n ( x ) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А , В , С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y

‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y

‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

‘ = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C — — 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · — A x 2 — B x + 2 A — C = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = x 2 + 1 ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А , В , С :

— A = 1 — B = 0 2 A — C = 1 ⇔ A = — 1 B = 0 C = — 3

Ответ: видно, что y

= e x · ( A x 2 + B x + C ) = e x · — x 2 + 0 · x — 3 = — e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x — e x · x 2 + 3 — общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y

= A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » + 4 y = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = — 4 k 1 = 2 i , k 2 = — 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f ( x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) . Отсюда видно, что поиск y

будет производиться из y

= ( A cos ( β x ) + B sin ( β x ) · x γ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

‘ = ( ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x ) ‘ = = ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) y

» = ( ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) ‘ = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) — — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x )

Тогда видно, что

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) + + 4 ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x )

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

— 4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = — 3 4 B = 1 4

= ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x = — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

= = C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) + — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x

Когда f ( x ) = e a x · P n ( x ) sin ( β x ) + Q k ( x ) cos ( β x ) , тогда y

= e a x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , т , m , где m = m a x ( n , k ) . Нахождение коэффициентов L m ( x ) и N m ( x ) производится, исходя из равенства y

Найти общее решение y » + 3 y ‘ + 2 y = — e 3 x · ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n ( x ) = — 38 x — 45 , Q k ( x ) = — 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x ( n , k ) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 — 3 k + 2 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y

= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Известно, что А , В , С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

= — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) ⇔ ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) » — — 3 ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) = — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

— e 3 x · ( ( 15 A + 23 C ) · x · sin ( 5 x ) + + ( 10 A + 15 B — 3 C + 23 D ) · sin ( 5 x ) + + ( 23 A — 15 C ) · x · cos ( 5 x ) + ( — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D ) · cos ( 5 x ) ) = = — e 3 x · ( 38 · x · sin ( 5 x ) + 45 · sin ( 5 x ) + + 8 · x · cos ( 5 x ) — 5 · cos ( 5 x ) )

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B — 3 C + 23 D = 45 23 A — 15 C = 8 — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D = — 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Видео:18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. часть 3Скачать

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

• нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
• принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 ;
• определение производных функции через систему вида C 1 ‘ ( x ) + y 1 ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ( x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) + y 1 ‘ ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ ( x ) = f ( x ) , а нахождение функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) посредствам интегрирования.

Найти общее решение для y » + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y » + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = — 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos ( 6 x ) + C 2 sin ( 6 x ) ⇒ y 1 ( x ) = cos ( 6 x ) , y 2 ( x ) = sin ( 6 x )

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ( x ) · sin ( 6 x ) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) по системе с уравнениями:

C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) · ( cos ( 6 x ) ) ‘ + C 2 ‘ ( x ) · ( sin ( 6 x ) ) ‘ = 0 ⇔ C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) ( — 6 sin ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) ( 6 cos ( 6 x ) ) = = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 ‘ ( x ) = — 4 sin 2 ( 6 x ) + 2 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 6 e 6 x sin ( 6 x ) C 2 ‘ ( x ) = 4 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 cos 2 ( 6 x ) + 6 e 6 x cos ( 6 x )

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 ( x ) = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 C 2 ( x ) = — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 · cos ( 6 x ) + + — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x ) = = — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Ответ: y = y 0 + y

= — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка — справочник студента

Подставим эту функцию в уравнение: k 2 ekx + pk ekx + q ekx = 0. Сократим обе части равенства на ekx, получим k 2 + p k + q = 0. Это уравнение называется характеристическим уравнением. k является корнем этого уравнения. Вид решение зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение. 11

Доказательство: Достаточно убедиться в том, что каждое из слагаемых в правых частях является решением диф. ур-я, а затем по определителю Вронского удостовериться в том, что каждая пара функций в этих равенствах линейно независима. 13

Пример 1. y« — 5 y` + 4 y = 0. Характеристическое уравнение данного диф. уравнения имеет вид k 2 — 5 k + 4 = 0. Его корни вещественны и различны: k 1 = 1 и k 2 = 4. Общее решение данного диф. уравнения y = C 1 ex + C 2 e 4 x. 14

Пример 2. y« — 6 y` + 9 y = 0. Составим характеристическое уравнение k 2 — 6 k + 9 = 0, (k — 3)2 = 0. Оно имеет кратный корень k = 3. Общее решение имеет вид y = e 3 x(C 1 + C 2 x). 15

Пример 3. y«- 2 y` + 2 = 0. Характеристическое уравнение k 2 -2 k+2=0 не имеет вещественных корней. a = -1, b = 1. Общее решение диф. уравнения y = e-x (C 1 sinx + C 2 cosx). 16

Пример 4. Решить неоднородное уравнение y« — 3 y` + 2 y = ex. Вначале решим соответствующее однородное уравнение y« — 3 y` + 2 y = 0. Характеристическое уравнение k 2 — 3 k + 2 = 0, корни этого уравнения k 1 = 1 и k 2 = 2. Общее решение однородного уравнения y = C 1 y 1(x) + C 2 y 1(x) = C 1 ex + C 2 e 2 x. Полагаем теперь, что С 1 и С 2 — функции переменной х: 17

y = C 1(x) ex + C 2(x) e 2 x (1) — в таком виде будем искать решение данного диф. уравнения. С 1(х) и С 2(х) найдем методом вариации произвольных постоянных. Найдем первые производные этих функций, решая систему: 18

Полученные диф. уравнения — с разделяющимися переменными. 19

Подставим найденные С 1(х) и С 2(х) в формулу (1), получим общее решение исходного неоднородного диф. уравнения: y = (-x + C 1) ex + (-e-x + C 2) e 2 x = = C 1 ex + C 2 e 2 x + (-x — 1) ex.

Обратите внимание на структуру полученного решения: Здесь Y(x) = C 1 ex + C 2 e 2 x — общее решение однородного уравнения, y*(x) = (-x — 1) ex — частное решение неоднородного диф. уравнения.

Видео:14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения, примеры, решения

Эта статья создана, чтобы ответить на вопрос «как решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами». Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач.

Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Qn(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как — частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

Решите задачу Коши , .

• Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .
• Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .
• Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.

Корни действительные и различные, поэтому, .

Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно, и .

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C1 и C2 в равенстве , чтобы выполнялись условия .

С другой стороны .

Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда .

Следовательно, решением задачи Коши является функция

К началу страницы

Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Qn(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Qn(x) определяются из равенства .

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение имеет вид .

Нашему уравнению соответствует ЛОДУ . В предыдущем примере мы выяснили, что корнями его характеристического уравнения являются k1 = 0 и k2 = 2 и .

Так как правая часть исходного уравнения представляет собой произведение , то частное решение ЛНДУ ищем в виде , причем Qn(x) – многочлен второй степени, и r=0, так как характеристическое уравнение не имеет корней равных единице. Поэтому , где А, В и С – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства .

1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А, В и С.
2. Следовательно, — частное решение исходного ЛНДУ и — общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

К началу страницы

Если функция f(x) имеет вид , где А1 и В1 – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:

Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому, .

Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то будем искать в виде , где А и В – неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства .

• Имеем
• Поэтому
• Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах:
• Следовательно, и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

К началу страницы

Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , Pn(x), Qk(x), Lm(x) и Nm(x) — многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства .

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

В нашем случае . Следовательно, m=max(n,k)=1.

1. Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его:
2. Корни действительные и различные, поэтому, .
3. Теперь ищем общее решение исходного неоднородного уравнения в виде где А, В, С и D – неизвестные коэффициенты, а r=0 так как нет ни одной пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения равных .
4. Коэффициенты А, В, С и D найдем из равенства .
5. После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем
6. Приравниваем соответствующие коэффициенты (в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам) и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом:

Таким образом, и

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

К началу страницы

Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

• находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 — линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные;
• варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2;
• производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

• Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его:
• Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде .
• Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений:
• Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Ее решениями являются
• Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем
• Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

• Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

1. Некогда разбираться?
2. Закажите решение
3. К началу страницы

Видео:Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.Скачать

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Рассмотрены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Лагранжа (вариации постоянных).

Пример 1 ⇓ Шаг 1. Решение однородного уравнения ⇓ Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями ⇓ Решение системы уравнений ⇓Пример 2 ⇓ Шаг 1. Решение однородного уравнения ⇓ Шаг 2.

Вариация постоянных – замена постоянных функциями ⇓ Решение системы уравнений ⇓

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>>.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа: (1)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение: (2) Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение: Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение: . Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид: (3) . Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (4) постоянные и на функции: . Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:

Находим производную: . Свяжем функции и уравнением: (6) . Тогда

• .
• Находим вторую производную: . Подставляем в исходное уравнение (1):
• (1) ;

. Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид: (7) . Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и : (6) : (7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и : . Находим их производные: ; .

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы: . По формулам Крамера находим:

Итак, мы нашли производные функций: ; . Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку ; ; ; .

1. Общее решение исходного уравнения: ; .
2. Ответ
3. .

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа: (8)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

• Решаем однородное дифференциальное уравнение:
• (9) Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение: Это уравнение имеет комплексные корни:
• .
• (10) .
• (11) .

Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид: Общее решение однородного уравнения (9):

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (11) постоянные на функции: . Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и : (13) : (14) . Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и : . Из таблицы производных находим: ; .

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы: . По формулам Крамера находим:

Итак, мы нашли производные функций: ; . Интегрируем (см. Методы интегрирования тригонометрических функций).

Второй интеграл табличный (см. Таблица неопределенных интегралов). .

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку : . Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на : . Тогда

1. .
2. Общее решение исходного уравнения: .
3. Ответ
4. .

Видео:19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

Лекция по высшей математике»Дифференциальные уравнения второго порядка»(для 26 гр.)

• 1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
• Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х), независимую переменную х, первую и вторую производные у’, у» или дифференциалы
• Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
• или
• Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
• или

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением.

Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С1 и С2, называется частным решением. Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х )=у и у'(х=х )=у ‘, где х0, у0, у ‘– конкретные числа.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши. Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С1 и С2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.

1. 2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
2. ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
3. Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.

2.1. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит у и у’. Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):

Интегрируя еще раз, получим общее решение:

Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х=)=1 и у'(х=)=1.

• Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
• (2.1)
• Интегрируя еще раз, получим общее решение:
• (2.2)

Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С1 и С2. Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С1=1 и С2=1. Следовательно, частное решение имеет вид:

2.2. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит искомой функции у. Уравнение решается с помощью подстановки:

где z – функция от х. Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .

1. Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
2. или
3. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
4. Пример 2. Найти общее решение уравнения
5. Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
6. или
7. Разделяем переменные: Интегрируем:
8. Получаем промежуточное общее решение: или
9. Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
10. Разделяем переменные:
11. Интегрируя, получим общее решение:
12. Пример 3. Найти общее решение уравнения
13. Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:

Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:

Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

• Сокращаем на х и разделяем переменные:
• Интегрируем:
• (2.5)
• Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
• После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
• ; ;;
• Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
• Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
• Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
• Тогда
• После интегрирования (2.6) получим общее решение:
• Пример 4. Найти общее решение уравнения
• Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
• или (2.7)
• Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
• (2.8)

Подставляя (2.8) в (2.7), получим:

1. (2.9)
2. Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
3. Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
4. Функцию подставляем в соотношение (2.9):
5. Сокращаем на х, разделяем переменные и интегрируем:
6. Находим z:
7. Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
8. Разделяем переменные и интегрируем:
9. (2.10)
10. Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
11. Тогда
12. После интегрирования (2.10) получим общее решение:

2.3. Дифференциальное уравнение вида

Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х. Уравнение решается с помощью подстановки: или

где z – функция от у, т.е. z= z[y(x)] – сложная функция от х . Тогда:

• Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
• где z– искомая функция, у – независимая переменная.
• Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
• или
• Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
• Пример 5. Найти общее решение уравнения
• Решение. Сделаем подстановку:
• Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
• Сокращаем на z (z≠0) и разделяем переменные:
• Интегрируем:
• Получаем промежуточное общее решение: или
• Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
• или
• Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
• 3)Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)

т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .

Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)

и называется линейным однородным. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным. Рассмотрим комплексную функцию , (3)

где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.

1. Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
2. Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
3. Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
4. Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
5. Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
6. . (4)
7. Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .

Пример 1. Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .

Пример 2. Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .

Построение общего решения линейного однородного уравнения.

Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать

в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):

Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.

Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.

Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .

Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,

Пример 4. Решить квадратное уравнение .

Решение. Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные, т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .

Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство

может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,

где и — произвольные постоянные.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .

В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.

Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)

т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m. Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m, т.е. .

Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.

Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является

. Его характеристическое уравнение имеет корни и .

Общее решение однородного уравнения имеет вид .

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :

или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k (k=1 или k=2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .

Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,

• + , .
• Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
• Отсюда , .
• Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
• .

📺 Видео

ЛНДУ II п. со спец. правой ч. (sin, cos)Скачать



Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать



Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать



17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Ч2Скачать



Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать



Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядкаСкачать



Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать



Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами МЕТОДОМ ЛАПЛАСАСкачать



ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать



15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать



Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать