Ненулевое решение системы канонических уравнений метода перемещений в задаче устойчивости (8 видео)

РАСЧЕТ РАМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• теорию метода перемещений решения задач устойчивости стержневых систем;
• возможные формы потери устойчивости загруженных симметричных рам; уметь
• правильно выбирать основную систему метода перемещений при расчетах рам на устойчивость;
• безошибочно находить минимальный корень уравнения устойчивости; владеть
• методом перемещений для расчета рам на устойчивость;
• методами анализа полученных результатов.

Содержание

Теория метода
Основная система метода перемещений. Канонические уравнения
Помощь в компьютерном наборе текста
📽️ Видео

Видео:С.М. Задача №8.1 расчёт рамы на устойчивость методом перемещенийСкачать

Теория метода

Метод перемещений получил широкое распространение при расчете строительных конструкций. Объясняется этот факт элементарностью выбора основной системы и ее простотой. Особенно существенны эти преимущества при решении задач устойчивости. На первый взгляд кажется, что основная система метода сил проще, так как она является статически определимой. На самом же деле, в силу того что расчет на устойчивость проводится по деформированной схеме, в многоэлементной системе метода сил получить деформированную схему гораздо сложнее, чем в основной системе метода перемещений, состоящей из отдельных прямолинейных стержней.

Основная система метода перемещений при определении критической нагрузки принимается такой же, как при решении задач прочности (рис. 10.1, а). Но реакции в дополнительных связях определяются уже с учетом продольного изгиба по деформированной схеме.

Рис. 10.1. Основная система метода и форма потери устойчивости

Согласно принятым допущениям в раме, нагруженной узловой нагрузкой, вплоть до момента потери устойчивости будут иметь место только продольные усилия. Как известно, при узловой нагрузке все свободные члены системы канонических уравнений метода перемещений для несвободных рам будут равны нулю:

Поэтому канонические уравнения получаются однородными. Примем для реакций те же обозначения, что и при расчете на прочность. Но при этом следует помнить, что реакции определяются по деформированной схеме:

Физический смысл этих уравнений равновесия состоит в том, что они отрицают наличие реакций в любой дополнительной связи при возникновении перемещений. Таким образом, идея эквивалентности основной и заданной систем сохраняется и здесь. Остается справедливой и теорема о взаимности реакций от единичных перемещений, т.е. r_jk = r_kj.

Однородная система уравнений (10.1) имеет не единственное решение. Одно из них, так называемое тривиальное решение, будет иметь место, если все неизвестные Z, = Z₂ = . = Z„ = 0. Равенство нулю перемещений в большинстве случаев свидетельствует о том, что нагрузка еще не достигла критического значения и рама находится в устойчивом состоянии. Поэтому тривиальное решение не представляет интереса. Правда, в определенных случаях может произойти потеря устойчивости стержней и при нулевых значениях перемещений. Это происходит при достижении значения критического параметра больше 2п в отдельных стержнях.

При решении задач методом перемещений будем использовать статический критерий устойчивости, как и в методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. С этой целью зададим раме малые перемещения (рис. 10.1, б — сплошная линия) и будем искать то минимальное значение нагрузки, при котором рама может находиться в равновесии как в недеформированном состоянии, так и в деформированном.

Нетривиальное решение уравнений (10.1), когда перемещения не будут нулевыми, имеет место в том случае, когда определитель из коэффициентов будет равен нулю, т.е.

Раскрывая этот определитель, получим уравнение устойчивости, которое служит для вычисления критической нагрузки. Как правило, коэффициенты r_kJ выражаются нс через F непосредственно, а через критический параметр v (см. формулу (9.7)). Как будет показано ниже, коэффициенты г_к1 являются трансцендентными функциями этого параметра. Поэтому уравнение устойчивости, получаемое в результате раскрытия определителя

(10.2) , будет трансцендентным уравнением, корни которого находятся путем подбора. Этим определитель (10.2) отличается от определителя (2.7). Там рассматривались системы с конечным числом степеней свободы, что приводило к алгебраическому уравнению, а здесь рассматриваются рамы с бесконечным числом степеней свободы. По этой причине уравнение
(10.2) имеет множество корней, из которых, как и в методе непосредственного интегрирования дифференциального уравнения оси стержня, нужно находить только минимальное ненулевое значение v, удовлетворяющее уравнению (10.2).

В общем случае параметр v_k, определяемый выражением (9.7), зависит от длины стержня 1_к, силы F_k и жесткости поэтому для различных стержней он может оказаться различным. 11о на основании четвертого допущения (см. параграф У.2), задающего соотношение между силами F_k, легко выразить все критические параметры v_k через какой-нибудь один из них. Тогда все коэффициенты r_kjопределителя (10.2) будут функциями только одного параметра.

После определения критического параметра критическое значение силы для выбранного стержня находится по формуле (9.8). Затем исходя из полученных соотношений между критическими параметрами находятся остальные параметры а через них и критические силы по той же формуле (9.8). Для дальнейших расчетов определяются расчетные длины стержней из выражения (9.17).

Полученной критической нагрузке соответствует определенная форма потери устойчивости, которую нетрудно представить ориентировочно. Но эту форму можно и уточнить, насколько это возможно, выразив форму деформированного состояния системы с бесконечным числом степеней свободы через несколько перемещений. С этой целью следует использовать прием, изложенный в параграфе 2.2, для определения соотношений между перемещениями. Нужно принять какое-то значение, например Z, = 1, подставить его и значения v_; в уравнение (10.1) и, решая систему из (п — 1)-го уравнения, найти остальные значения Z-. По ним можно уточнить искомую форму потери устойчивости.

Видео:С.М. Метод перемещений. Задача №7.1Скачать

Основная система метода перемещений. Канонические уравнения

Основная система метода перемещений образуется путем введения во все жесткие узлы защемлений (заделок), препятствующих только поворотам узлов и опорных стержней, препятствующих линейным перемещениям узлов.

Основная система метода перемещений является кинематически определимой и состоит из отдельных статически неопределимых стержней. В отличие от основной системы метода сил основная система метода перемещений является единственно возможной.

Во введенных связях основной системы при нагружении появляются реакции, которые в заданной системе отсутствуют. Приравняв нулю эти реакции, можно составить алгебраические уравнения относительно неизвестных метода перемещений. Эти уравнения представляют собой статические уравнения равновесия узлов системы и ее отдельных частей.

Рассмотрим, например, два раза кинематически неопределимую раму (рис. 10.38, а). Основная система образуется путем введения заделки в жесткий узел В и горизонтального опорного стержня в шарнирном узле С (рис. 10.38, б).

Обозначим неизвестные перемещения узлов Z, = ср_д и Z₂ = = Д_с. Приравняем нулю реактивный момент в заделке и горизонтальную опорную реакцию в опорном стержне, которые обозначим и R₂. Используя принцип независимости действия сил, запишем:

Здесь R_n, R_u и R_iP — соответственно реактивные моменты в заделке от ее поворота на угол Z, = cp_fi, от горизонтального смещения узла С на величину Z₂ = Д_с и от действия заданной нагрузки. Величины /?₉₁, /?„ и R_2P представляют собой опорные реакции во введенном горизонтальном стержне от аналогичных воздействий.

Реакции во введенных связях от кинематических воздействий Z, и Z₂ представим в следующем виде:

Величины г_и, г₁₂, г₂₁ и г₂₂ представляют собой реакции во введенных связях от поворота жесткого узла В на единичный угол Zj = 1 и единичного линейного перемещения узла С Z₂ = 1.

Таким образом, уравнения равновесия можно представить в форме канонических уравнений метода перемещений относительно неизвестных Z, и Z₂:

Обобщая рассмотренную форму записи, можно составить п канонических уравнений метода перемещений для п раз кинематически неопределимой стержневой системы:

Каждое из уравнений системы (10.17) характеризует равенство нулю реакций во введенных связях основной системы.

Величины r_jk называются коэффициентами канонических уравнений, a R_iP — свободными или грузовыми членами. Коэффициенты г_п называются главными коэффициентами и в соответствии с физическим смыслом всегда являются положительными. Побочные коэффициенты r_ik (/ ф к), а также свободные члены могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Для побочных коэффициентов на основании теоремы Рэлея о взаимности реакций имеем равенство

Доказательство теоремы Рэлея производится с помощью теоремы Бетти о взаимности работ. Смысл теоремы Рэлея виден из рис. 10.39. Реакция на второй шарнирной опоре в первом единичном состоянии равна реакции на первой шарнирной опоре во втором единичном состоянии.

Реакции во введенных связях считаются положительными, если их направления совпадают с направлениями искомых перемещений Z), принятыми в основной системе.

Видео:Расчет рамы на устойчивость методом перемещений. Строительная механика.Скачать

Помощь в компьютерном наборе текста

Канонические уравнения метода перемещений

В каждой условно введенной связи основной системы возникают реактивные усилия как от действия внешней нагрузки, так и от смещения связей. В заделках возникают реактивные моменты, а в линейных связях — реактивные усилия.

Условия эквивалентности заданной и основной систем в методе перемещений записывают в виде системы канонических уравнений

Канонические уравнения метода перемещений (8.4) описывают реактивные усилия в условных связях и заделках основной системы как от перемещений этих связей и заделок, так и от заданной внешней нагрузки.

Физический смысл коэффициентов при неизвестных перемещениях Zi заключается в том, что rij представляет собой реактивное усилие в i-й условной заделке или связи в основной системе от перемещения j-й условной заделки или связи на единицу.

Физический смысл свободного члена RiF системы канонических уравнений метода перемещений заключается в том, что он представляет собой реактивное усилие в i-й условной связи или заделке от внешней нагрузки.

Равенство нулю каждого из уравнений означает, что в заданной системе нет ни заделок, ни связей, т.к. они являются условными.

Система канонических уравнений метода перемещений в матричной форме имеет следующий вид:

где — матрица реакций; — вектор реакций от внешней нагрузки; — вектор искомых перемещений.

В матрице реакций различают «главные» реакции , , …, , имеющие индексы i = j, и побочные реакции , , …, и т.д., у которых .

«Главные» реакции всегда положительны. Побочные реакции могут иметь любой знак и обладают свойством взаимности, т.е. .

Матрица жёсткости обладает рядом свойств:

определитель этой матрицы всегда положителен;

матрица всегда симметрична относительно главной диагонали;

произведение двух «главных» реакций всегда больше квадрата соответствующего побочного перемещения .

Для определения значений элементов матрицы реакций строят эпюры моментов от перемещений условных заделок и связей. На рис. 8.4 показаны такие эпюры, построенные для основной системы, изображённой на рис. 8.3. Значения ординат эпюр взяты из прил. 2.

В строительной механике имеются два метода определения значений элементов матрицы реакций: 1) кинематический, который основан на правиле П.Верещагина (аналогично определению перемещений) путём перемножения эпюр; 2) статический, использующий уравнения равновесия.

Наиболее рациональным методом определения реактивных усилий является статический метод. В соответствии с этим методом используют два уравнения статики — либо уравнение моментов , либо сумму проекций на ту или иную ось, например у, , сил, действующих на рассматриваемую часть основной системы метода перемещений.

Рассмотрим в качестве примера определение реактивных усилий по эпюрам, показанным на рис. 8.4.

Для определения, например, реактивного усилия , которым является изгибающий момент в условной заделке 1 от поворота этой заделки на единицу, мысленно вырежем на эпюре узел 1 (рис. 8.5, а). Реактивный момент направлен в сторону заданного перемещения Z1. Рассматривая равновесие этого узла, запишем Þ .

Реактивное усилие представляет изгибающий момент, возникающий в условной заделке 1 от поворота условной заделки 2 на единицу.

В соответствии с этим на эпюре мысленно вырежем узел 1 (см. рис. 8.5) и снова составим уравнение равновесия:

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно найти реактивное усилие (см. рис. 8.5, в) . В случае, если реактивным усилием является продольное усилие в условной связи (в данном случае это условная связь 3) уравнение равновесия представляет собой . Для того чтобы составить это уравнение на эпюре (эпюра ), построенной от линейного перемещения условной связи 3, мысленно делают сечение и рассматривают равновесие (рис. 8.5, г) оставшейся части рамы.

В рассматриваемом примере Þ .

Для оценки правильности вычисления коэффициентов строят суммарную единичную эпюру (см. рис. 8.4).

Произведение этой эпюры саму на себя должно давать сумму всех коэффициентов при неизвестных.

В случае невыполнения равенства (8.7) проводят построчную проверку.

Для определения свободных членов системы канонических уравнений (8.4) метода перемещений в основной системе строят так называемую грузовую эпюру , показанную на рис. 8.6.

При построении этой эпюры используют стандартные решения из прил. 3. Значения находят, используя те же методы, которые используются для определения коэффициентов . Так, для определения значения реактивного усилия мысленно вырезают узел 1, а усилия — узел 2. Из уравнений равновесия находят соответственно и . Реактивное усилие , которым в данной задаче является продольное усилие в условной связи 1, определяют, мысленно делая сечение на эпюре по стойкам близко к ригелю. Из суммы проекций на горизонтальную ось можно найти .

Проверка правильности определения значений осуществляется в соответствии с выражением

где — эпюра изгибающих моментов (рис. 8.7) от внешней нагрузки, построенная в любой статически определяемой системе, являющейся основной системой метода сил рассчитываемой заданной системы.

Решение системы канонических уравнений и построение эпюр внутренних усилий

Найденные значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов подставляют в систему (8.4) канонических уравнений метода перемещений и решают любым известным в линейной алгебре способом.

В результате решения системы канонических уравнений метода перемещений находят значения Zi искомых перемещений. Нахождение искомых значений перемещений Zi означает, что заданная к расчёту (заданная система) стержневая конструкция становится кинематически определимой.

Все внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержней от найденных перемещений Zi и от заданной внешней нагрузки, могут быть в соответствии с принципом суперпозиции определены из выражения

Необходимым контролем правильности построения эпюры М является условие равновесия изгибающих моментов в жёстких узлах рассчитываемой конструкции. В основной системе метода перемещений единичные и грузовая эпюры являются неуравновешенными. Но единичные эпюры , будучи каждая умноженная на соответствующее ей перемещение Zi и сложенные друг с другом и грузовой эпюрой , обязательно должны в итоге давать эпюру моментов М с уравновешенными в жёстких узлах моментами. Отмеченное условие правильности построения итоговой эпюры моментов М является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности построения эпюры М является проведение деформационной проверки, суть которой изложена в разделе 6 настоящего курса. При этом не имеет значения, с использованием какого метода – метода сил или метода перемещений – построена итоговая эпюра моментов М. Поэтому для проведения деформационной проверки из заданной рассчитываемой системы выбирают любую основную систему метода сил, в которой строят любую эпюру моментов от действия неизвестной силы . Соблюдение условия свидетельствует о правильности построения эпюры М.

Построение эпюр поперечных Q и продольных N сил осуществляют точно так же, как это делается (см. раздел 6 настоящего курса) при решении статически неопределимых задач методом сил.