Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $varphi (x,y)=0$.
Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=psi(x)$, то подставив $y=psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=fleft(x,psi(x)right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.
Видео:Нахождение условного экстремума функции двух переменных. Метод Лагранжа.Скачать
Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.
Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$ (параметр $lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_^dx^2+2F_^dxdy+F_^dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F 0$, то $d^2F 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.
Примечание относительно формы записи определителя $H$. показатьскрыть
Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком «-«):
В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):
Обозначив множители Лагранжа как $lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_m$, составим функцию Лагранжа:
Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:
Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0.$$
Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_=z(1;3)=10$.
Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:
$$H=8cdotleft| begin 0 & x & y\ x & lambda & 0 \ y & 0 & lambda end right|= 8cdotleft| begin 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \ -3 & 0 & 1/2 end right|=-40$$
Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $lambda$. Можно и довести вычисления до конца:
Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:
Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $left( dx right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $lambda_1=-frac$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_=frac$.
Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:
Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
Так как $ d^2F Bigr|_=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F Bigr|_=-10 dx^2 0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_=u(0)=0$. Так как $u_^(M_2) 0; ; y > 0. end right. $$
Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; ; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $lambda=-frac$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-fraccdot frac=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $frac+frac-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.
Так как $y=1$, то $x=2$, $lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.
В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $lambda=-10$, получив при этом:
Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:
Подставляя $x=2$, $y=1$, $lambda=-10$, получим:
Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_=6$.
В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Видео:Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.Скачать
Функция Лагранжа
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения экстремума функции через множители Лагранжа в онлайн режиме (см. пример и пример решения графическим способом). При этом решаются следующие задачи:
- составляется функция Лагранжа L(X) в виде линейной комбинации функции F(X) и ограничений gi(x);
- находятся частные производные функции Лагранжа, ∂L/∂xi, ∂L/∂λi;
- составляется система из (n + m) уравнений, ∂L/∂xi = 0.
- определяются переменные xi и множители Лагранжа λi.
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Метод множителей Лагранжа применяется как в линейном программировании, так и в нелинейном. В экономике этот метод используется в задаче потребительского выбора.
Видео:Найти условный экстремум функции двух переменных. Одно уравнение связи.Скачать
Правило множителей Лагранжа
Пример 1 . Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
min f(x) = x1 2 + x2 2
h1(x) = 2x1 + x2 -2 = 0
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в следующем виде:
L(x, λ) = x1 2 + x2 2 + λ(2x1 + x2 – 2) → min
Решение:
Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L(x, λ), рассматриваемой как функция от x, 
,
которая оказывается положительно определенной (2*2 – 0*0 = 4 > 0).
Это означает, что L(x, λ) – выпуклая функция. Следовательно, координаты x * = (-λ, λ/2) определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x1 * и x2 * в уравнение ограничений 2x1 + x2 -2 = 0, откуда вычисляем значение λ:
2λ + λ/2 = -2, откуда λ = -0.8
Таким образом, минимум достигается в точке x * с координатами x1 * = 0.8 и x2 * = 0.4. Значение ЦФ:
min f(x) = 0.8
Ответ: x * = [0.8; 0.4] T , f(x * ) = 0.8
Пример 2 . Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)max = x 2 + 8xy+3y 2 при данных уравнениях связи.
9x +10y = 29
Видео:Экстремум функции двух переменныхСкачать
Условные экстремумы и функция Лагранжа
В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных 
при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением 
. В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.
Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.
Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи — нахождение условного экстремума функции двух переменных..
Шаг 1. Вводится функция Лагранжа
,
где первое слагаемое — сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус — левая часть уравнения условия связи, умноженная на 
(лямбда) — множитель Лагранжа.
Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных 
, выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии 
, означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.
Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:
.
Составим функцию Лагранжа:
.
Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):
Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума — стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками.
Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:
Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:
Получили 
и 
. Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку 
.
Шаг 3. Пусть 
является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа
и в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.
Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (
), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (
), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.
Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).
Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:
В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами dx и dy :
Так как полученные значения — противоположные по знаку, то получаем, что в любом случае 
.
Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:
.
Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.
Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных 
при условии 
.
Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:
.
Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:
Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:
Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки 
.
Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
:
Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле
:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа 
:
Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка 
— точка условного максимума:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа 
:
Получили значение, большее нуля, следовательно, точка 
— точка условного минимума:
.
Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.
Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных 
при условии 
.
Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:
.
Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Получаем, что 
, однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства 
равен нулю: 
. Отсюда получаем
Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа 
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что 
. Из третьего уравнения системы получаем:
Получили две стационарные точки:
Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа 
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что 
.
На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:
Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
:
Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле
:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :
Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки — точки условного максимума:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :
Получили значение, большее нуля, следовательно, точки — точки условного минимума:
.
Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.
Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.
🎬 Видео
Найти точки экстремума функцииСкачать
Семинар 3. Условный экстремум.Скачать
Условный экстремум и функция ЛагранжаСкачать
Метод множителей ЛагранжаСкачать
Шишкин А. А. - Математический анализ II - Локальный и условный экстремумы. Метод ЛагранжаСкачать
Условный экстремум - метод множителей Лагранжа (2): пример решения (начало)Скачать
Метод множителей ЛагранжаСкачать
Математический анализ, 34 урок, Экстремум функции двух переменныхСкачать
Экстремум функции двух/трех переменных, задачиСкачать
Многомерный анализ 24. Условные экстремумы функций многих переменныхСкачать
Экстремум функции двух переменныхСкачать
Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функцииСкачать
Метод множителей ЛагранжаСкачать
Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределённых множителей Лагранжа. 26 лекцияСкачать
Семинар 2. Экстремумы функций многих переменных.Скачать
Необходимые и достаточные условия экстремума функции. 10 класс.Скачать
