Найти уравнения прямой проходящей через точку a параллельно вс

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Даны точки А(1;2), В(6;2), С(3;0).

a) уравнение и длину BC;

Вектор ВС = (3-6; 0 -2) = (-3; -2). Модуль равен √((-3)² + (-2)²) = √13.

Уравнение ВС: (х — 6)/(-3) = (у — 2)/(-2).

или в общем виде 2х — 3у — 6 = 0.

б) уравнение высоты АД;

Высота АД перпендикулярна стороне ВС: 2х — 3у — 6 = 0.

Её уравнение имеет вид 3х + 2у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).

Для определения величины С подставим координаты точки А(1;2).

АД: 3*1 + 2*2 + С = 0, отсюда С = -3 — 4 = -7.

АД: 3х + 2у — 7 = 0.

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС;

Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны ВС.

2х — 3у + С = 0, для определения параметра С подставим координаты точки А(1;2): 2*1 – 3*2 + С = 0, отсюда С = -2 + 6 = 4.

Уравнение 2х — 3у + 4 = 0.

г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.

Это будет средняя линия треугольника, параллельная стороне АС.

Находим координаты точки Д, являющейся серединой стороны АВ.

Д = (А(1;2) + В(6;2))/2 = (3,5; 2).

Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны АС.

Точки А(1;2) и С(3;0).

Вектор АС = (3-1; 0-2) = (2; -2).

Уравнение АС: (х — 1)/2 = (у — 2)/(-2) или в общем виде

Тогда параллельная прямая имеет вид x + y + С = 0.

Для определения параметра С подставим координаты точки Д(3,5; 2):

1*3,5 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -3,5 — 2 = -5,5.

Уравнение х + у – 5,5 = 0 или в целых числах 2x + 2y – 11 = 0.

д) угол А треугольника АВС.

Вектор АВ = (6-1; 2-2) = (4; 0), модуль равен 4.

Вектор АС = (2; -2 ), модуль равен √8 = 2√2.

cos B = (4*2 + 0*(-2)) / (4*2√2) = 8 / (8*√2) = 1/√2 = √2/2.

B = arc cos(√2/2) = 45 градусов.

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, графики, матрицы, пределы, мнк

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Задания 1-10. Даны координаты точек: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3).

Значения координат точек приведены в таблице к этому заданию.

А) длину отрезка АВ;

Б) уравнение прямых АВ и ВС, проведенных через точки А, В и В, С соответственно;

В) угол θ между прямыми АВ и ВС;

Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;

Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

Е) построить чертеж, на котором показать заданные точки, угол θ и прямые.

Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi

Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi — координаты точки Аi; xj, yj — координаты точки Аj

Для вектора AB X = x2 — x1; Y = y2 — y1

X = 11—1 = 12; Y = -5-4 = -9

А) длина отрезка АВ

Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

Б) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой BC

Каноническое уравнение прямой:

В) угол θ между прямыми АВ и ВС;

Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между сторонами BA и BC

γ = arccos(0.45) = 63.440

Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(15;17) и прямой AB (4y + 3x — 13 = 0)

Уравнение высоты через вершину C

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой

Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем точку пересечения с прямой AB:

Имеем систему из двух уравнений:

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем: x = 3, y = 1

Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

Уравнение прямой, проходящей через данную точку С(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, y — y1 = k(x — x1).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку С(x1, y1), которая называется центром пучка. А k — это коэффициент при х уравнения прямой АВ

Тогда получим

Е) построим чертеж

Задания 11-20. Решить систему уравнений двумя способами (по формулам Крамера и методом Гаусса)

№12.

По формулам Крамера.

Запишем систему в виде:

∆ = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-2 • (2 • (-2)-1 • (-3))+4 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = -35 = -35

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-(-7 • (2 • (-2)-1 • (-3)))+0 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = 0

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = 1 • (-7 • (-2)-0 • (-1))-2 • (1 • (-2)-0 • (-3))+4 • (1 • (-1)-(-7 • (-3))) = -70

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = 1 • (-3 • 0-1 • (-7))-2 • (2 • 0-1 • 1)+4 • (2 • (-7)-(-3 • 1)) = -35

Выпишем отдельно найденные переменные: , ,

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

Из 1-ой строки выражаем z:

Из 2-ой строки выражаем у:

Из 3-ой строки выражаем x:

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

Задания 21-30. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

№22. а) ;б) ;в);г);д)

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) ;

Использовали при

Д)

Задания 31-40. Задана функция y=ƒ(x). Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

№32.

Построим график данной функции:

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .

Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,

, . Так как , Следовательно функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.

, . Так как , то в этой точке функция в этой точке непрерывна

Задания 41-50. Найти производные первого порядка y’= функций:

№42. а); б) ; в) ;

Д) ,

А) ;

Б) ;

Дифференцируем обе части равенства по х:

Разрешаем равенство относительно :

, тогда

Окончательно:

В) ;

Прологарифмируем данную функцию:

Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.

Отсюда:

Д) ,

Находим и

Отсюда

Задания 51-60. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции ее дифференциалом.

№52.

Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:

, ,

Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:

№Задания 61-70. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. На основании результатов исследований построить график функции.

№62. ;

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Полученное решение отметим на рисунке.

Точки пересечения с осью : нет

, , — нет решений.

Точки пересечения с осью у:

Пусть х=0:

Вертикальные асимптоты: х=3

Горизонтальные асимптоты: нет.

Наклонные асимптоты: у=2х.

Предел разности исходной функции и функции 2х на бесконечности равен нулю.

Первая производная:

Критические точки: х=1, х=5

Случай.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

, , х-3=2, х=5

Случай .

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

, , , х=1

Вторая производная:

Возможные точки перегиба: нет

Точки разрыва: х=3

Симметрия относительно оси ординат: нет

Симметрия относительно начала координат: нет

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительный минимум . Относительный максимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет

Задания 71-80. Найти интегралы.

№72. а) ; б) ; в) ; г) ;

А) ;

Б) ;

В) ;

Г)

Задания 81-90. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость

№82. ;

Задания 91-100. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать рисунок.

№92. и ;

Данные линии ограничивают две одинаковые по площади фигуры.

Тогда будем искать площадь одной части. Имеем

По формуле . В нашем случае

Тогда

Ответ: кв. ед.

Функции нескольких переменных

Задания 101-110. Исследовать на экстремум функцию.

№102. ;

Необходимое условие существования єкстремума

, — критические точки, подозрительные на экстремум.

Используем достаточные условия экстремума

Найдем

Для точки , — экстремум есть, а так как то в т. — минимум

Для точки , — экстремума нет.

Задания 111-120. Экспериментально получены значения функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Предполагая, что между и имеется линейная зависимость, методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу (вычислить параметры и )