Найти уравнение силовых линий электрического поля точечного диполя в полярной системе координат

Силовые линии точечного магнитного диполя.

Найдем уравнение силовой линии для точечного магнитного диполя (см. Рис), который расположен в начале координат и вектор которого направлен на юг (противоположно оси Z). Координаты в данной задаче будем использовать сферические.

Воспользуемся дифференциальным уравнением для силовой линии векторного поля общего вида:

Учитывая, что и , можно записать, что

Для магнитного диполя компоненты вектора поля равны:

Подставляя их в уравнение, находим, что

Где использовано начальное условие, что на экваторе (где магнитная широта равна нулю) расстояние до силовой линии равно r₀. Подставляя явный вид компонент магнитного поля диполя, получаем уравнение

которое после простых преобразований приводится к виду

Интегрируем его, используя начальное условие.

Экспоненцируя обе части выражения, получаем

Введем параметр L, который характеризует расстояние до силовой линии на экваторе, выразив его в радиусах Земли (параметр Мак-Илвайна).

Тогда уравнение для силовой линии точечного магнитного диполя принимает вид

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

ЛЕКЦИЯ №8

Видео:Полярная система координатСкачать

1. Понятие о диполе.

Простейшей системой точечных зарядов является диполь (от лат. «двойной полюс»).

def: Диполем называются два равных по величине, но противоположных по знаку точечных заряда, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние (см. рис.8.1).

def: Электрическим дипольным моментом называется величина, определяемая как (8.1)

Следует отметить, что дипольный момент не зависит от положения диполя в пространстве, так как вектор остается неизменным при любом выборе тела отсчета. Поэтому без ограничения общности в дальнейшем начало координат будем выбирать в центре диполя, если другое не оговорено особо.

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

2. Поле диполя в дальней зоне.

Очевидно, что напряженность в произвольной точке пространства М (см. рис.8.2) по принципу суперпозиции равна

(8.2)

где , а . После подстановки имеем

(8.3)

Подробнее рассмотрим знаменатели, считая что l>>r и a — угол между и . При разложении в ряд пренебрегаем последним членом.

Аналогично поступаем со вторым знаменателем. При приведении к общему знаменателю в (8.3) ряд слагаемых в числителе взаимно уничтожаются, а в знаменателе пренебрегаем квадратичным членом. В итоге получаем

(8.5)

Окончательно, учитывая, что , имеем

(8.6)

Это напряженность электрического поля диполя в дальней зоне, т.е. в точках пространства, где r>>l.

Видео:Полярные координаты. Полярное уравнение эллипса.Скачать

3. Частные случаи.

Легко понять, что при выборе осей так, как показано на рис.8.3, проекции напряженности и ее модуль равны соответственно

Видно, что напряженность убывает по закону кубов (а не квадратов).

точка	угол	напряженность
A, C	a =0; a=p
B, D	a=p/2

В характерных точках, указанных на рисунке 5.3 выражения для напряженности даны в таблице.

Легко определить угол между напряженностью и радиус вектором (см. рис.8.4)

Используя тригонометрическую формулу , получаем

(8.14)

причем смысл имеет верхний знак.

Видео:Полярная система координатСкачать

4. Диполь во внешнем однородном поле.

На диполь действует пара сил, сумма которых равна 0, то есть центр диполя остается на месте или движется равномерно и прямолинейно (вспомните механику!). Однако момент этой пары сил (рис.8.5) отличен от нуля

(8.15)

и стремится развернуть диполь по полю, причем после поворота диполь окажется в положении устойчивого равновесия. Диполь может быть приведен в равновесие и поворотом против часовой стрелки (см. рис.8.5), но в этом случае равновесие будет неустойчивым.

Видео:Полярная система координат.Скачать

5. Векторное произведение (математическое отступление).

Опыт показывает, что студентам время от времени нужно напоминать, что такое векторное произведение двух векторов.

def:Векторным произведением двух векторов и называется вектор, модуль которого равен absin a , где a — угол между векторами, а направление определяется правилом правого винта (буравчика).

Правило правого винта заключается в следующем: винт с правой (обычной) резьбой нужно вращать от первого вектора ко второму. Тогда поступательное движение винта покажет направление векторного произведения. Полезно запомнить, что векторное произведение всегда перпендикулярно плоскости, образованной векторами – сомножителями. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Направление векторного произведения зависит от порядка сомножителей.

Видео:Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

6. Диполь во внешнем неоднородном поле.

Пусть теперь поле неоднородно в пространстве.

Если считать, что в области диполя поле меняется очень слабо, то формула для момента остается прежней (см.8.15), и диполь также стремится развернуться по полю (рис.8.6).

Не строго получим выражение для силы, действующей на диполь.

(8.17)

Опять будем считать, что диполь очень маленький (точечный), то есть заряды смещены друг относительно друга на бесконечно малый вектор . Это означает, что значения напряженности поля в точках нахождения зарядов бесконечно мало отличаются друг от друга, поэтому , где можно записать как полный дифференциал

где — уже упоминавшийся ранее (см. лек.№7 п.16) набла-оператор (оператор Гамильтона). Обратите внимание на расстановку знаков. На вектор напряженности действует весь оператор, стоящий в скобках , а не только оператор , хотя бы потому, что никто не знает, что такое градиент векторного поля (математики такой операции еще не определили).

Таким образом, (8.17) принимает вид

(8.19)

Еще немного поиграем с формулами векторного анализа. Нам известно (а вам?!), что

(8.20)

Второе и четвертое слагаемые равны нулю, т.к. дипольный момент не зависит от координат, как это отмечалось в пункте 1. Третье слагаемое в электростатике также обращается в нуль по теореме о циркуляции (6.15). Тогда силу, действующую на диполь можно записать в виде

(8.21)

Вспомним, что в механике между силой и потенциальной энергией W_p есть связь . Тогда очевидно, что в электростатическом поле диполь обладает потенциальной энергией

(8.20)

Очевидно, что потенциальная энергия минимальна, если дипольный момент и поле сонаправлены, то есть, диполь развернут по полю.

Из (8.19) или (8.21) ясно, что диполь втягивается в область более сильного поля. Проиллюстрируем данный вывод на следующих примерах.

Пусть диполь уже развернулся вдоль поля (см. рис.8.7), то есть . Тогда

,

F_x

Другой пример: диполь симметрично расположен относительно поля (рис.8.8), . Поле тоже считаем симметричным относительно оси OY. Тогда

и

из симметрии поля,

а так как .

· Диполь разворачивается вдоль поля;

· Диполь втягивается в область более сильного поля;

· Электрическое поле может растянуть диполь. (Мы рассматривали только жесткий диполь).

Видео:Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать

7. Общий вид поля диполя.

Легко показать, что в полярных координатах уравнение силовой линии имеет вид (рис.8.9)

Здесь первую полярную координату r обозначим r, чтобы не путать с плотностью заряда, а вторую полярную координату обозначим a , чтобы не путать с потенциалом.

В самом деле, если речь идет о декартовых координатах, то уравнение линии напряженности строится из следующих соображений

Аналогично поступаем и в полярных координатах

Используя формулу (8.14), получаем

.

После чего переменные легко разделяются

.

Данное дифференциальное уравнение интегрируется достаточно просто

Из него и следует формула (8.26).

Вид поля диполя в дальней зоне представлен на рис.8.10.

Видео:Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

8. Потенциал поля диполя.

Поступим аналогично пункту 2.

после разложения знаменателей в ряд и приведения подобных слагаемых получаем

(8.34)

Очевидно, уравнение эквипотенциальной поверхности в полярных координатах имеет вид

Картина эквипотенциальных линий приведена на рис.8.11. Полезно сравнить с силовыми линиями диполя (рис.8.10). Легко написать

откуда вновь можно получить (8.26).

Видео:НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

9. Дипольный момент системы точечных зарядов.

Квазинейтральная система точечных зарядов занимающая небольшой объем ведет себя как точечный диполь. Действительно, можно разделить все заряды системы попарно, т.е. получить систему диполей, а затем все дипольные моменты перенести в одну точку и сложить. Необходимо только, чтобы размеры системы были достаточно малы. Без аккуратного доказательства примем, что дипольный момент системы зарядов

Очевидно, что дипольный момент заряженного тела вычисляется по формуле

Простой пример: два заряда (рис.8.12)

,

то есть получили результат, известный ранее (8.1).

Система состоящая из двух зарядов — диполь — мультиполь первого порядка, из четырех — квадруполь — мультиполь второго порядка, из восьми — октуполь — третьего порядка и т.д. Тогда поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить в виде разложения по мультиполям.

Видео:40. Электрический дипольСкачать

10. Почему так подробно о диполе.

Столь большое внимание, которое было уделено понятию и свойствам электрического диполя, связано с тем, диполь является простейшей моделью полярных молекул, которые мы будем рассматривать при изучении поля в веществе. Необходимо отметить, что дипольный электрический момент является основной характеристикой электрически нейтральных систем зарядов, и поэтому играет большую роль в различных вопросах теории молекул. Если же в системе столь симметричное расположение зарядов, что и дипольный момент равен нулю, то в дело вступает квадрупольный момент и так далее.

Кроме того, электрический диполь – это одно из важных понятий в теории излучения электромагнитных волн. Переменный во времени электрический диполь является наиболее простой (и исторически первой) моделью излучающей системы, с которой подробнее познакомимся в лекции №35.

Видео:Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Найти уравнение силовых линий электрического поля точечного диполя в полярной системе координат

§3 Электростатическое поле.

Напряженность электростатического поля

Электрические заряды создай вокруг себя электрическое поле. Поле — одна из форм существования материи. Поле можно исследовать, описать его силовые, энергетические и др. свойства. Поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, называется ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ. Для исследования электростатического поля используют пробный точечный положительный заряд — такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределение зарядов).

Если в поле, создаваемое зарядом q , поместить пробный заряд q ₁ на него будет действовать сила F ₁ , причем величина этой силы зависит от величины заряда помещаемого в данную точку поля. Если в туже точку поместить заряд q ₂ , то сила Кулона F ₂

Однако, отношение силы Кулона к величине пробного заряда, есть величина постоянная для данной точки пространства

и характеризует электрическое поле в той точке, где находится пробный заряд. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.

НАПРЯЖЕННОСТЬ поля есть векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля

Направление вектора напряженности совпадает с направлением действия силы.

Определим напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на некотором расстоянии r от него в вакууме

§4 Принцип суперпозиции полей.

Силовые линии вектора Е

Определим значение и направление вектора поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q ₁ , q ₂ , … q_n . Результирующая сила , действующая со стороны поля на пробный заряд q, равна векторной сумме сил , приложении к нему со стороны каждого из зарядов q_i

Разделив на q, получим

ПРИНЦИП СУПЕРП0ЗИЦИИ ( наложения) полей:

Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической (векторной) сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Электростатическое поле очень наглядно можно изображать с помощью линий напряженности или силовых линий вектора .

СИЛОВОЙ ЛИНИЕЙ вектора напряженности называется кривая, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора .

Принцип построения силовых линий :

1. Силовые линии вектора начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных ( т.е. направлены от «+» к «-”).
2. Силовые линии вектора подходят к поверхности зарядов под прямым углом.

3. Для количественного описания вектора Е силовые линии проводят с определенной густотой. Число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .

ОДНОРОДНЫМ называется поле, у которого вектор в любой точке пространства постоянен по величине и направлению, т.е. силовые линии вектора параллельны и густота их постоянна во всех точках.

💡 Видео

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Силовые линии электрического поляСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

3. Поле диполя Электростатика и магнитостатикаСкачать

Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь пересечения эллипсов и двойной интеграл в полярной системе координатСкачать

1703 Вычисление длины линии в полярной системе координатСкачать