5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?
г) Во-первых, что это за проекция?
Проведём очередную физкульт-пятиминутку:
Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. при этом получается такое умное лицо…. Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её ортогональная проекция на пол.
На чертеже выше наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:
Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная задача:
Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:
Таким образом, канонические уравнения проекции:
Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .
Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:
– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);
– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);
– находим основание перпендикуляра (как пересечение прямой и плоскости );
– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .
Видео:Прямая на плоскости. Проекция точки на прямуюСкачать
Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.
Условие
Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0
Решение
Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой. Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости vector=(1;4;-3)
Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости Решаем систему: <(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) <x+4y-3z+7=0
Обозначим отношение (x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒ получим параметрические уравнения прямой x= λ +2 y= 4λ +3 z=-3 λ +1
подставим в уравнение плоскости
Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости.
Обозначим отношение (x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒ получим параметрические уравнения прямой x=5t+2 y=t+3 z=2t+1
подставим в уравнение плоскости
Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки
Видео:Проекция точки на плоскость, проекция прямой на плоскость. Параллельные прямые.Скачать
Ортогональнальная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость
Угол между прямой и плоскостью
Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема
Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
Фигура
Рисунок
Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
Прямая, параллельная плоскости
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.
Прямая, лежащая на плоскости
Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.
Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .
Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.
Видео:23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать
Угол между прямой и плоскостью
Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.
Фигура
Рисунок
Определение
Наклонная к плоскости α
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )
На рисунке это угол φ
Прямая, параллельная плоскости
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Прямая, лежащая на плоскости
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Прямая, перпендикулярная к плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Видео:Как найти проекцию точки на прямую. Линейная алгебраСкачать
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.
На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.
Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.
Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.