- 5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?
- Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.
- Условие
- Решение
- Ортогональнальная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
- Проекция прямой на плоскость
- Угол между прямой и плоскостью
- Теорема о трех перпендикулярах
- 📽️ Видео
Видео:Прямая на плоскости. Проекция точки на прямуюСкачать
5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?
г) Во-первых, что это за проекция?
Проведём очередную физкульт-пятиминутку:
Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. при этом получается такое умное лицо…. Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её ортогональная проекция на пол.
На чертеже выше наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:
Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная задача:
Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:
Таким образом, канонические уравнения проекции:
Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .
Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:
– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);
– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);
– находим основание перпендикуляра (как пересечение прямой и плоскости );
– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .
Видео:Проекция точки на плоскость, проекция прямой на плоскость. Параллельные прямые.Скачать
Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.
Условие
Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0
Решение
Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector=(1;4;-3)
Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости
Решаем систему:
<(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)
<x+4y-3z+7=0
Обозначим отношение
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1
подставим в уравнение плоскости
Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости.
Обозначим отношение
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1
подставим в уравнение плоскости
Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки
Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Ортогональнальная проекция прямой на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью.
Теорема о трех перпендикулярах
Проекция точки на плоскость. Проекция прямой на плоскость |
Угол между прямой и плоскостью |
Теорема о трех перпендикулярах. Обратная теорема |
Видео:Как найти проекцию точки на прямую. Линейная алгебраСкачать
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
Фигура | Рисунок | Свойство проекции | ||||||||||
Наклонная к плоскости α | ||||||||||||
Прямая, параллельная плоскости | ||||||||||||
Прямая, лежащая на плоскости | ||||||||||||
Прямая, перпендикулярная к плоскости |
Фигура | Рисунок | Определение |
Наклонная к плоскости α | ||
Прямая, параллельная плоскости | ||
Прямая, лежащая на плоскости | ||
Прямая, перпендикулярная к плоскости |