Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Прямолинейные образующие на поверхности гиперболического параболоида

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

для удобства сделаем замену Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхТогда уравнение запишется в виде

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Разложим на множители:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Аналогично с предварительными соображениями получаем уравнения двух семей прямолинейных образующих гиперболического параболоида:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Теорема. На поверхности гиперболического параболоида лежат две семьи прямых, которые имеют следующие свойства:

· через любую точку гиперболического параболоида проходит ровно одна прямая с каждой семьи ;

· любые две образующие из разных семей пересекаются;

· любые две прямые с одной семьи является скрещивающимися;

· любые три прямые с одной семьи параллельные некоторой плоскости.

Доказательство можно посмотреть в методичке.

Пример. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи пересекает гиперболический параболоид Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхпо двум прямолинейным образующим. Найдите канонические уравнения этих образующих.

Запишем уравнение параллельной плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхНайдем ее пересечение с гиперболическим параболоидом.

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Эта кривая второго порядка распадается на пару прямых, которые пересекаются, если Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхесть Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхИтак плоскость, которую мы ищем, имеет уравнение Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхДве прямые, лежат в этой плоскости и является пересечением с параболоидом:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

или Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Уравнения этих прямых в пространстве:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найдем канонические уравнения. Для первой прямой:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

124. Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, (19)

Называется Гиперболическим параболоидом P > 0, Q > 0. Числа P, Q называются Параметрами Гиперболического параболоида.

Исследуем поверхность гиперболического параболоида по уравнению (19). Так как переменные X И Y входят в уравнение (19) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y, Z) гиперболическому параболоиду принадлежат четыре точки (±X, ±Y, Z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гиперболический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей OXz, OYz. Он пересекает координатные оси в начале координат. Эта точка называется Вершиной Гиперболического параболоида.

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Видео:Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки

Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c — сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, (2)

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, (4)

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, (5)

где p и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых. Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых— основание перпендикуляра, опущенного на плоскость Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхиз точки М. Переместим точку М по прямой Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхв новое положение Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхтак, чтобы имело место равенство

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых; точки, которые расположены на плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхизменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых; число q носит название коэффициента сжатия.

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

может быть получен из сферы

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи пусть Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых— точка, в которую переходит при этом точка Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых. Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, то Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых.

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых(6)

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых(7)

Предположим, что M(x; y; z ) — произвольная точка сферы

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых,

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых.

Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых;

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых,

где Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямыхи Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых— некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых;

Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых, Найти уравнение плоскости проходящей через точки и пересекающей параболоид по паре прямых.

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

🌟 Видео

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскости

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположены

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямой

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Уравнение плоскости. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости. 11 класс.

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.
Поделиться или сохранить к себе: