Найти уравнение плоскости пересекающей гиперболоид по паре прямых проходящих через точку (6 видео)

Прямолинейные образующие на поверхности гиперболического параболоида

Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида:

для удобства сделаем замену и Тогда уравнение запишется в виде

Разложим на множители:

Аналогично с предварительными соображениями получаем уравнения двух семей прямолинейных образующих гиперболического параболоида:

Теорема. На поверхности гиперболического параболоида лежат две семьи прямых, которые имеют следующие свойства:

· через любую точку гиперболического параболоида проходит ровно одна прямая с каждой семьи ;

· любые две образующие из разных семей пересекаются;

· любые две прямые с одной семьи является скрещивающимися;

· любые три прямые с одной семьи параллельные некоторой плоскости.

Доказательство можно посмотреть в методичке.

Пример. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости и пересекает гиперболический параболоид по двум прямолинейным образующим. Найдите канонические уравнения этих образующих.

Запишем уравнение параллельной плоскости Найдем ее пересечение с гиперболическим параболоидом.

Эта кривая второго порядка распадается на пару прямых, которые пересекаются, если есть Итак плоскость, которую мы ищем, имеет уравнение Две прямые, лежат в этой плоскости и является пересечением с параболоидом:

или и

Уравнения этих прямых в пространстве:

Найдем канонические уравнения. Для первой прямой:

Содержание

Найти уравнение плоскости пересекающей гиперболоид по паре прямых проходящих через точку
Глава 46. Поверхности второго порядка
Однополостный гиперболоид, его каноническое уравнение; прямолинейные образующие. Однополостный гиперболоид вращения.
📹 Видео

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Найти уравнение плоскости пересекающей гиперболоид по паре прямых проходящих через точку

Видео:17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c — сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть — точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6)

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z ) — произвольная точка сферы

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где и — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Однополостный гиперболоид, его каноническое уравнение; прямолинейные образующие. Однополостный гиперболоид вращения.

однополосный гиперболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; Пересек. координатные осиплоскостями x=0,y=0,z=0 по гиперболам y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 и эллипсоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 соответственно. В сечениях однополосного гиперболоида плоскостями z=h всегда получаются эллипсы x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 с полуосями и .

Каноническое уравнение:

a = b — однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Горловой эллипс:

Асимптотический конус:

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями — либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Прямолинейные образующие

Через произвольную точку проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами и где:

В частности, если точку выбирать на горловом эллипсе то уравнениями прямолинейных образующих будут:

Двуполостный гиперболоид, его каноническое уравнение.

двуполостный гиперболоид x 2 /a 2 — y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h получается эллипс x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 с полуосями b*Корень(h 2 /a 2 -1) и с*Корень(h 2 /a 2 -1). При h=a получим в сечении точки (±а,0,0) – вершины двуполостного. В сечениях координ пл. z=0 и y=0 получим гиперболы x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 и x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 соответсвенно.

Каноническое уравнение:

a = b — двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Асимптотический конус:

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

Эллиптический параболоид, его каноническое уравнение.

эллиптический параболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

Каноническое уравнение:

p = q — параболоид вращения вокруг оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями — либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .

Гиперболический параболоид, его каноническое уравнение. Семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.

гиперболический параболоид x 2 /a 2 — y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

Сечения гиперболического параболоида плоскостями — либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие

Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие:

Найти уравнение плоскости пересекающей гиперболоид по паре прямых проходящих через точку

Поверхности вращения.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.

Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.

Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) — произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
, но т.к. если взять точку M₁ с отрицательной аппликатой, то

Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению

Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.

Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на

Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Цилиндры.

цилиндры второго порядка: эллиптический цилиндр x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; гиперболический цилиндр x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; параболический цилиндр y 2 =2px; пара пересекающихся плоскостей a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 пара параллельных или совпадающих плоскостей x-a=0 a>=0; прямая x 2 +y 2 =0

Конусы.

конус второго порядка x 2 /a 2 — y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0; Пересекая пл. z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. В сечении плоскостями x=0 y=0 имеем пары пересек прямых y 2 /b 2 — z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 — z 2 /c 2 =0 соотв.