Найти уравнение оси симметрии графика

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Найти уравнение оси симметрии графикаКак найти ось симметрии квадратичной функции — Разница Между

Видео:Вариант 72, № 5. Уравнение оси симметрии параболы. Пример 2Скачать

Вариант 72, № 5. Уравнение оси симметрии параболы. Пример 2

Содержание:

Видео:КАК СТРОИТЬ ПАРАБОЛУ. ОСЬ СИММЕТРИИ (Финальная часть саги о функциях)Скачать

КАК СТРОИТЬ ПАРАБОЛУ. ОСЬ СИММЕТРИИ (Финальная часть саги о функциях)

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax 2 + bx + c — квадратичная функция, где a, b и c — действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Найти уравнение оси симметрии графика

Видео:Вершина параболы и ось симметрии. ПримерСкачать

Вершина параболы и ось симметрии. Пример

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах 2 + bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Найти уравнение оси симметрии графика

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Найти уравнение оси симметрии графика

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

Найти уравнение оси симметрии графика

Найти уравнение оси симметрии графика

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a — уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax 2 + BX + C

Видео:Вариант 71, № 5. Уравнение оси симметрии параболы. Пример 1Скачать

Вариант 71, № 5. Уравнение оси симметрии параболы. Пример 1

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

  • Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x 2 + Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = — 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

  • Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x 2 -5x-4x + 10 = 2x 2 -9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ

Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x).Найти уравнение оси симметрии графика

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.

Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?

Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $xin D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.

Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.

Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?

Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b

Видео:Ось симметрииСкачать

Ось симметрии

Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций

Параллельный перенос графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x+a) $$

где $a gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2=y_1 при x_2=x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3 $

График смещается влево на 3 по оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x-a) $$

где $a gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

$y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x+a), quad a gt 0 $$

график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(x-a), a gt 0 $$

график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Параллельный перенос графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)+a$$

где $a gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

$ y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1 $

График смещается вверх на 1 по оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

$y_2 = f(x)+1 = sqrt+1$

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)-a $$

где $a gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

$ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

$y_2 = f(x)-2 = sqrt-2$

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)+a, quad a gt 0 $$

график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(x)-a, quad a gt 0 $$

график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Симметрия относительно оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = -f(x)$$

$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$

График симметричен относительно оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$

График симметричен относительно оси OX

Найти уравнение оси симметрии графика

Графики функций $y_1 = f(x), quad y_2 = -f(x)$ симметричны относительно оси OX.

Это справедливо для любой функции f(x).

Симметрия относительно оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(-x)$$

$y_2=y_1 при x_2 = -x_1$

График симметричен относительно оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

$y_2 = y_1 при x_2 = -x_1$

График симметричен относительно оси OY

Найти уравнение оси симметрии графика

Графики функций $y_1 = f(x), quad y_2 = f(-x)$ симметричны относительно оси OY.

Это справедливо для любой функции f(x).

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = x^2, quad y = (x-3)^2, quad y = (x-3)^2+2, quad y = -x^2 $$

Найти уравнение оси симметрии графика

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2$:

  • график функции $y = f(x-3) = (x-3)^2$ сдвинут вправо на 3 по OX(→)
  • график функции $y = f(x-3)+2 = (x-3)^2+2 $ сдвинут вправо на 3 по OX и вверх на 2 по OY(↑)
  • график функции $y = -f(x) = -x^2$ симметричен относительно оси OX.

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = sqrt, quad y = sqrt, quad y = — sqrt, quad y = — sqrt-3 $$

Найти уравнение оси симметрии графика

По сравнению с графиком $y = f(x) = sqrt$:

  • график функции $y = f(-x) = sqrt$ симметричен относительно оси OY
  • график функции $y = -f(x) = — sqrt$ симметричен относительно оси OX
  • график функции $y = -f(x)-3 = -x^2$ симметричен относительно оси OX и сдвинут вниз на 3 по оси OY(↓).

📺 Видео

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.

Как вывести формулу вершины параболы и ее оси симметрии? 3 способаСкачать

Как вывести формулу вершины параболы и ее оси симметрии? 3 способа

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

10 класс, 16 урок, Функции y=sinx, y=cosx, их свойства и графикиСкачать

10 класс, 16 урок, Функции y=sinx, y=cosx, их свойства и графики

Уравнение прямой по графику. ПримерыСкачать

Уравнение прямой по графику. Примеры

Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать

Прямоугольник. Ось симметрии. 5 класс

§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

§24 Каноническое уравнение параболы

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Технология 2 класс (Урок№3 - Что такое симметрия?)Скачать

Технология 2 класс (Урок№3 - Что такое симметрия?)

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.
Поделиться или сохранить к себе: