Найти уравнение и длину высоты аd

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Найти уравнение и длину высоты аd

Таким образом, уравнение прямой BC —

Найти уравнение и длину высоты аd

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Найти уравнение и длину высоты аd

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Найти уравнение и длину высоты аd

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Найти уравнение и длину высоты аd

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Найти уравнение и длину высоты аd

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Найти уравнение и длину высоты аd

Уравнение прямой AB:

Найти уравнение и длину высоты аd

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Найти уравнение и длину высоты аd

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Найти уравнение и длину высоты аd

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Найти уравнение и длину высоты аd

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Найти уравнение и длину высоты аd

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Найти уравнение и длину высоты аd

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Найти уравнение и длину высоты аd

уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

Найти уравнение и длину высоты аd Y

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Найти уравнение и длину высоты аd .

Найти уравнение и длину высоты аd Найти уравнение и длину высоты аd

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

Найти уравнение и длину высоты аd .

Найти уравнение и длину высоты аd

2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:

Найти уравнение и длину высоты аd .

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

Найти уравнение и длину высоты аd

Найти уравнение и длину высоты аd .

3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Найти уравнение и длину высоты аd .

Найти уравнение и длину высоты аd

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

Найти уравнение и длину высоты аd Точка Е (1 /2,2).

Найти уравнение и длину высоты аd

Найти уравнение и длину высоты аd

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.

Найти уравнение и длину высоты аd

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB : 2 x + 3 y = 7 ,

BC : 2 x — 3 y =- 11 ,

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2 x — 3 y =- 2-6=-8>-11,

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

Найти уравнение и длину высоты аd

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку Найти уравнение и длину высоты аd .

Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид Найти уравнение и длину высоты аd . Так как гипербола проходит через точку А (8; Найти уравнение и длину высоты аd ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. Найти уравнение и длину высоты аd . Так, как Найти уравнение и длину высоты аd = 1,25, то Найти уравнение и длину высоты аd = 1,25, но Найти уравнение и длину высоты аd , тогда Найти уравнение и длину высоты аd = 1,5625 Найти уравнение и длину высоты аd или Найти уравнение и длину высоты аd .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .

Найти уравнение и длину высоты аd

Решая эту систему, находим Найти уравнение и длину высоты аd = 16 и Найти уравнение и длину высоты аd = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид Найти уравнение и длину высоты аd .

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы Найти уравнение и длину высоты аd и центр окружности Найти уравнение и длину высоты аd .

Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

Уравнение параболы: Найти уравнение и длину высоты аd ;

уравнение окружности: Найти уравнение и длину высоты аd .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

Найти уравнение и длину высоты аd .

Получим Найти уравнение и длину высоты аd , или Найти уравнение и длину высоты аd .

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Найти уравнение и длину высоты аdНайти уравнение и длину высоты аdНайти уравнение и длину высоты аd

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Найти уравнение и длину высоты аd

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:найти уравнение высоты треугольникаСкачать

найти уравнение высоты треугольника

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Найти уравнение и длину высоты аd

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Найти уравнение и длину высоты аd.
Найти уравнение и длину высоты аd.(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Найти уравнение и длину высоты аd

Ответ: Найти уравнение и длину высоты аd

Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высоту

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

Найти уравнение и длину высоты аd(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Найти уравнение и длину высоты аd(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Найти уравнение и длину высоты аd.(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Найти уравнение и длину высоты аd

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Найти уравнение и длину высоты аd

Ответ: Найти уравнение и длину высоты аd

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Найти уравнение и длину высоты аd

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Найти уравнение и длину высоты аd(5)
Найти уравнение и длину высоты аd(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

Найти уравнение и длину высоты аd(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

Найти уравнение и длину высоты аd
Найти уравнение и длину высоты аd(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac. )

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найти уравнение и длину высоты аd

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac=frac, )
( small h_a=c cdot sin angle B. )(11)

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

🎦 Видео

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать

найти уравнения биссектрис углов между прямыми

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Задача 6 №27436 ЕГЭ по математике. Урок 50Скачать

Задача 6 №27436 ЕГЭ по математике. Урок 50

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Высота равнобедренной трапеции, проведённая ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота равнобедренной трапеции, проведённая ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задач

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.
Поделиться или сохранить к себе: