С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
- Предупреждение
- 1. Угол между прямыми на плоскости
- Прямые заданы каноническими уравнениями
- 1.1. Определение угла между прямыми
- 1.2. Условие параллельности прямых
- 1.3. Условие перпендикулярности прямых
- Прямые заданы общими уравнениями
- 1.4. Определение угла между прямыми
- 1.5. Условие параллельности прямых
- 1.6. Условие перпендикулярности прямых
- 2. Угол между прямыми в пространстве
- 2.1. Определение угла между прямыми
- 2.2. Условие параллельности прямых
- 2.3. Условие перпендикулярности прямых
- Угол между прямыми
- Определение угла между прямыми
- Угол между прямыми на плоскости
- Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
- Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
- Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
- Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
- Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
- Угол между прямыми в пространстве
- Угол между прямыми в пространстве
- Вычисление угла между прямыми.
- 🎬 Видео
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
 , | (1.1) |
 , | (1.2) |
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
 , |
 , | (1.3) |
Из выражения (1.3) получим:
  . | (1.4) |
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
 . | (1.5) |
 . | (1.6) |
 . |
Упростим и решим:
 . |
 |
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
 |
Угол между прямыми равен:
|
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
 . | (1.7) |
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
 , |
 , |
  , |
 , |
 , |
 . | (1.8) |
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
 . | (1.9) |
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
 . | (1.10) |
 . | (1.11) |
 ,  . |
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
 . | (1.12) |
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
 . | (1.13) |
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
 | (1.14) |
 . | (1.15) |
 . | (16) |
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
 | (1.17) |
 . | (1.18) |
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
 . |
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
 . | (1.19) |
Из уравнения (19) получим
  . | (1.20) |
Пример 4. Найти угол между прямыми
| 5x1−2x2+3=0 | (1.21) |
| x1+3x2−1=0. | (1.22) |
 | (23) |
 |
Упростим и решим:
 |
 |
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
 |
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
 . | (1.24) |
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
 . | (1.25) |
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
| 4x+2y+2=0 | (1.26) |
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
| A1A2+B1B2=0. | (1.28) |
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
| 4x−1y+2=0 | (1.29) |
| 2x+8y−14=0. | (1.30) |
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Видео:14. Угол между прямыми в пространствеСкачать
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
 , | (2.1) |
 , | (2.2) |
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
| , | (2.3) |
Из выражения (2.3) получим:
  . | (2.4) |
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
 . | (2.5) |
 | (2.6) |
  . |
 . |
Упростим и решим:
 . |
 |
Угол между прямыми равен:
|
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
| m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2 | (2.7) |
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
 | (2.8) |
Отметим, что любую пропорцию 
нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
 . | (2.9) |
 . | (2.10) |
 ,  ,  . |
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
 . | (2.11) |
 . | (2.12) |
 . | (2.13) |
Выражение (2.13) нужно понимать так:
 ,  ,  . | (2.14) |
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
 . | (2.15) |
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
 . | (2.16) |
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
 | (2.17) |
 . | (2.18) |
  . | (2.19) |
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать
Угол между прямыми
Видео:9. Угол между прямымиСкачать
Определение угла между прямыми
Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать
Угол между прямыми на плоскости
Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
то угол между ними можно найти, используя формулу:
Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.
Соответственно легко найти угол между прямыми
tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2
Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b
то вектор направляющей имеет вид
Если уравнение прямой задано как
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .
Если дано каноническое уравнение прямой
то вектор направляющей имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =
Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано как
то вектор нормали имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то вектор нормали имеет вид
Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
sin φ = | a · b | | a | · | b |
Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор , для второй прямой направляющий вектор
cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8
Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )
x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18
Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Угол между прямыми в пространстве
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если дано каноническое уравнение прямой
то направляющий вектор имеет вид
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b z = n t + c
то направляющий вектор имеет вид
Решение: Так как прямые заданы параметрически, то — направляющий вектор первой прямой, направляющий вектор второй прямой.
cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0
Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор .
Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3
3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3
Получено уравнение второй прямой в канонической форме
x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3
— направляющий вектор второй прямой.
cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205
Видео:§16 Угол между двумя прямыми на плоскостиСкачать
Угол между прямыми в пространстве
Пусть в пространстве заданы прямые l и m. Через некоторую точку А пространства проведем прямые l1 || l и m1 || m (рис. 138).
Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l1 = l и m1 = m).
Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l1 и m1 ( l1 || l , m1 || m). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
Угол между прямыми l и m обозначается ( widehat ). Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0° π /2 .
Найти угол между прямыми АВ и DС1.
Прямые АВ и DС1 скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС1, согласно определению, равен (widehat<C_DC>).
Следовательно, (widehat) = 45°.
Прямые l и m называются перпендикулярными, если ( widehat ) = π /2. Например, в кубе
(см. рис. 139) прямая A1D1перпендикулярна прямым DC, DC1, СС1 .
Видео:найти уравнения биссектрис углов между прямымиСкачать
Вычисление угла между прямыми.
Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости. Обозначим через φ величину угла между прямыми l1 и l2, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.
ψ 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем
Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями
Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы
Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).
Задача 1. Вычислить угол между прямыми
Направляющие векторы прямых имеют координаты:
По формуле (1) находим
Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.
Задача 2. Вычислить угол между прямыми
За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n1 = (3; 0; -12) и n2 = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле ( [a; b]=begin i & j & k \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 end ) получаем
$$ a=[n_1; n_2]=begin i & j & k \ 3 & 0 & -12 \ 1 & 1 & -3 end=12i-3i+3k $$
Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:
$$ b=begin i & j & k \ 4 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 1 end=-2i-4i+4k $$
Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:
Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.
Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);
их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.
Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.
Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому (overrightarrow) = (4; — 6;0), (overrightarrow)= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):
По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.
🎬 Видео
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать
Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать
Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
ЕГЭ. ЦЭ. Угол между прямыми в пространствеСкачать
Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать
Расстояние между скрещивающимися прямыми и уравнение их общего перпендикуляра.Скачать
