Найти точку пересечения трех плоскостей заданных уравнениями

Видео:Найти точку пересечения 3х плоскостейСкачать

Точка пересечения трех плоскостей

Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, необходимо решить эти уравнения относительно х, у и z, при этом координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.

Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:

Если определитель этой системы не равен нулю,

то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.

1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.

Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

x+y+z=1, x-2y-3z=5, 2x-y-2z=6

Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую.

Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки x=-1; y=1; z=2.

Таким образом плоскости имеют одну общую точку (-1; 1; 2), так как система уравнений имеет единственное решение.

Пример 3
Плоскости

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны.

Система уравнений несовместима (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).

Видео:23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать

Взаимное расположение плоскостей: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке

Видео:Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями и .

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между векторами нормалей к ним

и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

Условие параллельности плоскостей и эквивалентно условию коллинеарности векторов и и заключается в пропорциональности координат этих векторов:

.

Условие перпендикулярности плоскостей и может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :

.

Пример 1. Установить, параллельны ли две плоскости, одна из которых задана уравнением , а другая — уравнением .

Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:

Так как , то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.

Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями и .

Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы и нормалей к ним перпендикулярны и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как , то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.

Видео:Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения

Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:

Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).

Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.

Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:

Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.

Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:

Найдём определители при неизвестных:

Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:

Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости

Пусть даны точка и плоскость . Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости, имеет вид

.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3, -5, 1) , и параллельной плоскости .

Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:

Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Точка пересечения трех плоскостей

Определяем точку пересечения трех плоскостей, как решение системы из трех уравнений

Уравнения плоскостей заданы в виде

Решая эту систему уравнений, мы получаем однозначный результат

Введя данные мы получим

То есть точка пересечения имеет координаты x=2,y=3, z=11

🎥 Видео

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

Построение точки пересечения прямой с плоскостью, заданной следамиСкачать