Найти точки пересечения гиперболы с прямой заданной уравнением приведенным в таблице

Карта

Услуги токарных работ metallnk.ru. . Детальное описание Лестницы Уфа на нашем сайте.

Аналитическая геометрия

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через и ,

расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а

Теория: 11 Пересечение прямой с гиперболой/параболой (в стадии наполнения)

На рисунке изображены графики функций (displaystyle fleft(xright)=dfrac) и (displaystyle gleft(xright)=dfracx+1) которые пересекаются в точках (displaystyle A) и (displaystyle B) Найдите ординату точки (displaystyle B)

По условию задачи, графики функций (displaystyle fleft(xright)=frac) и (displaystyle gleft(xright)=fracx+1) пересекаются
в точках (displaystyle A) и (displaystyle B)

Точку (displaystyle A) видно на рисунке, а точку (displaystyle B) – нет.

Точки (displaystyle A) и (displaystyle B) – это точки пересечения графиков функций (displaystyle fleft(xright)=frac) и (displaystyle gleft(xright)=fracx+1)

Значит, координаты этих точек удовлетворяют и уравнению гиперболы, и уравнению прямой:

Так как (displaystyle y=frac ) и (displaystyle y=fracx+1 ) то

Решим полученное уравнение.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Решим квадратное уравнение (displaystyle x^2+2x-8=0)

Решим квадратное уравнение (displaystyle x^2+2x-8=0)

Найдем корни уравнения:

Значит, (displaystyle x_1=-4) и (displaystyle x_2=2) – корни квадратного уравнения (displaystyle x^2+2x-8=0)

Оба корня (displaystyle x_1=-4) и (displaystyle x_2=2) удовлетворяют ограничению (displaystyle x,cancel,0 ) Значит, они являются корнями исходного уравнения.

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков функций (displaystyle fleft(xright)=frac) и (displaystyle gleft(xright)=fracx+1) равны

(displaystyle x_1=-4) и (displaystyle x_2=2)

Значения (displaystyle x_1=-4) и (displaystyle x_2=2) соответствуют двум точкам пересечения (displaystyle A ) и (displaystyle B )

Точка (displaystyle B) которой не видно на рисунке, расположена левее точки (displaystyle A)

Значит, абсцисса точки (displaystyle B) меньше, чем абсцисса точки (displaystyle A)

Поэтому точке (displaystyle B) соответствует (displaystyle x_1=-4)

Найдем ординату точки (displaystyle B) подставив найденное значение (displaystyle x=-4) в уравнение (displaystyle fleft(xright)=frac) или (displaystyle gleft(xright)=fracx+1)

Воспользуемся уравнением гиперболы (displaystyle fleft(xright)=dfrac)

Значит, (displaystyle y=-1) – ордината точки (displaystyle B)

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

🎦 Видео