Найти системы линейных уравнений задающие линейные подпространства натянутые на системы векторов

Пусть дано N-Мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что Система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга R с n Переменными задаёт в любом N-Мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (N–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном N-Мерном пространстве Ln Зафиксирован базис, то любое его К-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с N Неизвестными ранга (N – к).

Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть Lк – линейное К-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк Любой базис А = (А1, а2,… , ак). Пусть В матричной форме А = Е × А, где А = .

Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

После исключения параметров получится система (N – к) линейных однородных уравнений. Векторы А1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (А1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (N – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = , если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (А1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т. е. векторы А1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

D Î L3 Û D = с1А1 + С2А2 + С3А3 . Отсюда D Î L3 Û Х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить С1, с2 и С3 И подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Линейные подпространства

Подмножество L линейного пространства X над полем Р называют линейным подпространством этого пространства, если оно само является линейным пространством относительно введенных в X операций сложения векторов и умножения векторов на числа из поля Р.

Для того чтобы подмножество L линейного пространства X было его линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения векторов на числа из поля Р, т.е. чтобы выполнялись следующие условия:

• 1) для любых векторов а и Ъ из L их сумма а + b также принадлежит L;
• 2) для любого вектора а из L и любого числа а 6 Р вектор а а принадлежит L.

Действительно, эти условия означают, что операции в линейном пространстве X можно рассматривать и как операции на множестве L. При этом будут верны все аксиомы, кроме третьей и четвертой. Выполнение третьей аксиомы равносильно утверждению, что при выполнении условий 1 и 2 нулевой вектор принадлежит L, а выполнение четвертой означает, что для любого вектора ж € L противоположный вектор —х принадлежит L. Первое из этих утверждений следует из равенства 0 = 0 • ж, где в качестве х можно взять любой вектор в множестве L. Второе утверждение — следствие равенства — х = ( — 1) • х.

Условия 1 и 2 можно объединить в одно условие: для любых векторов множества L их линейная комбинация с произвольными коэффициентами принадлежит L.

Приведем примеры линейных подпространств.

• 1. Множество векторов на прямой или на плоскости является подпространством в обычном трехмерном пространстве.
• 2. Множество многочленов степени нс выше второй является подпространством в линейном пространстве многочленов степени не выше третьей.
• 3. Множество решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными является подпространством в линейном п-мерном арифметическом пространстве К_п.

Пусть в линейном пространстве X над полем Р дана система векторов di, о,2, . a_k. Множество всевозможных линейных комбинаций ац ai+a2 a₂ + . +a_k dk этой системы называют линейной оболочкой системы векторов а, а2, . а*,.

Линейная оболочка L системы векторов а, а₂, . а_к является подпространством в X. Действительно, если векторы а и b принадлежат L. т.е. имеют представления

то и векторы a + b и Л а имеют вид

Следовательно, они принадлежат L.

Линейную оболочку L системы векторов а, Действительно, размерность конечномерного линейного пространства L может быть определена как максимальное количество линейно независимых векторов в этом пространстве. Очевидно, что максимальное количество линейно независимых векторов в любом подмножестве L в X не превышает максимального количества линейно независимых векторов в X. Отсюда и следует утверждение теоремы. ?

Любое конечномерное линейное пространство порождается конечной системой векторов, например любым своим базисом. Согласно доказанной теореме это верно и для всякого линейного подпространства линейного пространства.

Теорема 4-^1. Пусть L — подпространство п-мерного линейного пространства X. Любой базис а, 0,2, . а/с в L можно дополнить до базиса а, 02, «ь а к+ъ •••> а п всего линейного пространства X, причем линейному подпространству L принадлежат те и только те векторы, которые в указанном базисе имеют столбцы координат вида

> Действительно, любой базис в L, как и вообще любую линейно независимую систему векторов в X, можно дополнить до базиса линейного пространства X. Если вектор х имеет столбец координат (4.3С), то он имеет представление

и, следовательно, принадлежит L как линейная комбинация векторов из L. Если вектор х принадлежит L, то он может быть разложен по базису 0,1, о₂, . а_к:

Это разложение в то же время является разложением вектора х в базисе oi, 02, . а_п линейного пространства X, дающим столбец координат вида (4.3С). ?

Теорема 4-22. Пусть X — конечномерное линейное пространство и в нем задан базис е. Тогда для любого линейного подпространства L в X можно указать такую однородную систему линейных уравнений Ах = 0, что множество координатных столбцов всех векторов из L в базисе е будет совпадать с множеством всех решений системы Ах = 0.

О Пусть е = (ei, ег. е_п) — заданный базис в X. Выберем в L некоторый базис а, 02, . а_к и дополним его векторами а_к+1, а_к—2,

. а_п до базиса в X. Пусть в этом базисе произвольный вектор х из L имеет координаты х, х’₂, . х’_к, х’_к+1, . х’_п. Из теоремы 4.21 вытекает, что подпространство L в базисе а = (ai,a2. а_п) описывается однородной системой уравнений х‘_к+1 = 0, х‘_к+2 = 0, . х’_п = 0.

Применяя формулу х’_а = Т

1 х_е преобразования координат (см. формулу (4.24) в п. 4.6), которая в подробной записи имеет вид

описывающую линейное подпространство L в базисе е. ?

Заметим, что если подпространство L имеет размерность к, то ранг полученной системы равен п—к, поскольку строками ее матрицы служат п — к строк матрицы Т -1 , в которой любая подсистема строк линейно независима.

Однородную систему линейных уравнений, описывающую данное линейное подпространство L, называют общими уравнениями этого подпространства. Общие уравнения подпространства определяются неоднозначно: достаточно систему линейных уравнений, описывающую подпространство, заменить любой эквивалентной системой, чтобы получить другие общие уравнения того же подпространства. Вид общих уравнений подпространства, получаемых с помощью процедуры, указанной в доказательстве теоремы 4.22, зависит от выбора базиса в L и выбора векторов, дополняющих этот базис до базиса в пространстве X.

При мер 4.18. Составить общие уравнения линейного подпространства L = (ai,a2) в четырехмерном линейном пространстве X, если векторы а и а2 заданы своими координатами в некотором базисе е: [а]_е = (1,1,2,0) т , [а_2е = (1,-1,0,2) т .

Решение. Нетрудно убедиться в том, что система векторов а и а₂ линейно независима, и потому составляет базис в линейном подпространстве L. Дополним эту систему векторов до базиса в линейном пространстве X векторами [аз]_е = (0, 0,1,0) т и [ац]_е = (0,0,0,1) т . Пусть в этом базисе произвольный вектор ж из L имеет координаты х‘₂, Ж3, х₄. В базисе а, а₂, cl-j, 0,4 линейное пространство L описывается системой уравнений х‘₃ = 0, х₄ = 0. Матрицей перехода от базиса е к новому базису а = (сч,а₂ ,аз,а₄) является матрица

обратной к которой является матрица

В силу теоремы 4.21, линейное подпространство в базисе а описывается однородной системой уравнений

Применив формулу преобразования координат х’_а = Т 1 х_е, которая в данном случае в подробной записи имеет вид

систему х‘₃ = 0, х‘₄ = 0 преобразуем в систему описывающую линейное подпространство L в базисе е.

Если бы в качестве векторов аз и бц взяли векторы [аз]_е = (0,0, — 1, —1) т , [ai]e = (0,0, —1,1) т , то повторив все вычисления, получили бы систему линейных уравнений

определяющую линейное подпространство L в базисе е. ?

Если подпространство задано общими уравнениями, то для построения базиса этого подпространства следует построить фундаментальную систему решений для общих уравнений подпространства.

При мер 4.19. Найти какой-либо базис подпространства L, заданного системой уравнений

Решение. Выбрав в качестве главных неизвестные х, Х2, а свободных — хз, Х4, решим систему. В результате получим общее решение

Фундаментальную систему решений рассматриваемой однородной системы линейных уравнений составляют столбцы (—1,0,1,0) т , (0,-1, 0,1) т , а базис линейного пространства решений — векторы, которые в заданном базисе имеют указанные столбцы координат. ?

Если ai, с*2, . dfc — базис линейного подпространства L в линейном пространстве X, то L можно задать уравнением

которое называют параметрическим уравнением подпространства L в векторной форме.

Пусть векторы oi, При мер 4.20. Подпространство L = (ai, т , т , задать параметрическими уравнениями (4.37) и (4.38) и общими уравнениями.

Решение. Векторное уравнение (4.37) в данном случае имеет

Переходя к координатам, получаем координатную форму параметрических уравнений

Исключив параметры ?1 и ?2, получим общие уравнения подпространства L:

Пусть в линейном пространстве X даны подпространства L и L2. Множество Ь П L2 векторов, принадлежащих как Ь, так и L2, является подпространством в X. Его называют пересечением подпространств Li И 1/2-

Множество всех векторов х вида х = а + 6, где а € L, Ъ ? 1>2 называют суммой подпространств Ь и L2 и обозначают через

L1+L2. Если при этом пересечение ЬГЬ2 — нулевое подпространство, то сумму L + L2 называют прямой суммой и обозначают через L ® Z/2-

Сумма подпространств является подпространством. Действительно, пусть х = а + 6, у = с + d, где а, с € Li, b,d е L2. Тогда х + у = — (а -|- с) -Ь (6 с?) ? L -Н J

Аналогично для любого числа а имеем: ах = аа + ab € L + L2, так как аа € Li и аб € L2.

Понятия пересечения и суммы подпространств распространяются на любое число подпространств.

Если сумма L +L2 подпространств L и L2 в X является прямой, то представление любого вектора х в виде х = а+Ь, где a ? L, 6 € L2, единственно. В частном случае, когда X = Ь ф L2, также каждый вектор х ? X имеет единственное представление х = а + Ь, где а ? Li, 6 ? Дг. В этом случае подпространства Ь и L2 называют прямыми дополнениями друг друга, а слагаемое а ? Ь — проекцией вектора х на подпространство Ь параллельно подпространству

Пример 4.21. В пространстве X = К4 построить какое-либо прямое дополнение Дг к подпространству L = (ai,a2), где а = (1, 1,1,0) т , аг = (1,0,1,0) т и найти проекцию вектора х = (2,1,5,5) т на Li параллельно L2.

Решение. Векторы ai и аг линейно независимы и поэтому составляют базис в подпространстве Ь. Дополним систему векторов а, т и 62 = (0,0,0,1) т и положим L2 = (61,62)- Очевидно, что L/2 является искомым подпространством. Далее запишем векторное равенство

перейдем от него к покоординатным уравнениям (см. разд. 4.2) и, решив систему этих уравнений, найдем: оц = «2 = 1, fi = 3, Р2 = 5. Поэтому

где (2,1,2,0) т € Ь, (0,0,3,5) т € L₂. Следовательно, проекцией вектора х = (2,1,5,5) т на подпространство L параллельно подпространству L/2 является вектор х = (2,1,2,0) т . ?

Пусть Ь = («1, а₂, •••, о-к), 1^2 = (bi, 6₂,6*) — подпространства в линейном пространстве X. Чтобы найти какой-либо базис в подпространстве L + L2, следует выделить какую-либо максимальную линейно независимую подсистему системы векторов а, а₂, . a*,, 6i, 6₂, 6^. Для этого достаточно составить матрицу из координатных

столбцов этих векторов и в этой матрице выделить какой-либо базисный минор. Векторы, на координатных столбцах которых находится базисный минор, образуют базис в подпространстве L1+L2. Отметим, что базисный минор можно выбирать не в исходной, а в преобразованной матрице (после выполнения последовательности элементарных преобразований строк).

При мер 4.22. Найти базис суммы L + L2 подпространств Li = (01,02,03) и ?2 = <bi,h,h),если т , и₂ = (1,1, -1,

Решение. Составим матрицу

Проводя элементарные преобразования строк матрицы, приведем ее к ступенчатому виду:

Видим, что ранг матрицы равен четырем, а один из ее базисных миноров располагается на векторах ai, a₂, аз, 6i. Следовательно, эти векторы составляют базис суммы L + L₂. ?

Если пространства L и L₂ заданы однородными системами уравнений, то пересечение Ь П L₂ будет определяться системой, получаемой объединением всех уравнений двух систем. Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений дает базис пересечения L Г)Ь₂.

Пример 4.23. Найти базис пересечения подпространства Ь, заданного системой уравнений

и подпространства L2, заданного системой уравнений

Решение. Составим объединенную систему уравнений

и найдем ее общее решение

Здесь три свободных неизвестных: Х4 , Xq, Xq. Поэтому каждая фундаментальная система решений этой системы состоит из трех решений. Одну из фундаментальных систем решений составляют столбцы

Они и представляют собой один из базисов подпространства Ь П L2.

Если подпространства L и L2 заданы как линейные оболочки систем векторов

то при построении базиса пересечения L П L2 этих подпространств достаточно перейти к описанию этих подпространств общими уравнениями, а затем действовать, как в последнем примере: объединяя две однородные системы в одну, искать фундаментальную систему решений объединенной системы.

Существуют и другие способы построения базиса пересечения. Например (см. [21], решение задачи 1319), можно составить векторное уравнение

с неизвестными ai, од, . од, Pi, P2, • ••, Pi и от него перейти к системе покоординатных уравнений. Это линейная однородная система. Построив фундаментальную систему решений этой системы, для каждого решения из ФСР вычислим, например, левую часть векторного уравнения (4.39). Получим систему векторов, порождающую линейное пространство L П L2. Теперь базис в L П L2 можно построить, выделив в этой системе векторов максимальную линейно независимую подсистему. Отметим, что если система векторов 01, Пример 4.24. Найти базис пересечения подпространств Ь =

Решение. Сначала используем первый способ, переходя к общим уравнениям подпространств. Подпространство L описывается параметрическим уравнением х = t а + t2 0,2 + Сз «з, которое в координатной форме имеет вид:

Исключив параметры t, 12, ?3, придем к общему уравнению х — —Х2 — х₃ + х₄ = 0 подпространства L. Аналогично получаем общее уравнение Х — Х2 — х₃ — х₄ = 0 подпространства />2- Общие уравнения подпространства L П L2 имеют вид:

Фундаментальную систему решений этой системы составляют, например, векторы Х = (1,0,1, 0) т , Х2 = (0,1, 0,1) т . Эти векторы образуют базис в подпространстве Ь П L2.

Теперь применим второй способ решения примера. Составим векторное уравнение

в подробной записи имеющее вид:

Переходя к покоординатным уравнениям, получим однородную систему

с шестью неизвестными. Ее общее решение таково:

Свободных неизвестных два, и фундаментальная система решений состоит из двух столбцов

В этих двух столбцах выбираем первые три компоненты и принимаем их в качестве значений 04, o₂, ад в выражении ац а + а₂ + од «3. Получаем два вектора

составляющих базис подпространства L П L₂. ?

Теорема 4-23. В конечномерном линейном пространстве X размерность суммы L + L₂ подпространств Li w L₂ равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения, т.е.

> В подпространстве LCL,2 выберем какой-либо базис е = (ei, 62, . еД. Эта система векторов линейно независима и одновременно принадлежит и L1, и L2. Дополним ее до базиса в Ь системой векторов / = (Л, /2, •••,//) и до базиса в L₂ системой векторов д = (д_г, д₂ ,д_т)- Из трех систем векторов составим объединенную систему

и докажем, что она является базисом в L + L2.

Через систему векторов (е,/, д) линейно выражается любой вектор 2 ? L +1/2- Действительно, для вектора 2 имеет место представление z = х + у, где х Е Z/i, у ? Ь₂. Вектор х линейно выражается через систему (е,/), а вектор у — через систему (е,д). Поэтому их сумма z линейно выражается через объединенную систему (e,f,g).

Система векторов (е, f,g) линейно независима. Чтобы доказать это, запишем равенство

и покажем, что оно возможно только при нулевых значениях всех коэффициентов. В равенстве (4.41) объединим слагаемые, относящиеся к векторам систем ей/:

Вектор а принадлежит подпространству L. Но из равенства (4.41) следует, что

и вектор а принадлежит подпространству L2. Значит, а 6 L (IL2. Но из этого условия вытекает, что вектор а линейно выражается через систему векторов е, т.е. имеет место представление а = ц е +. + ць е*,. Это представление можно рассматривать как разложение вектора a Е Е L по базису (е, /). В силу единственности разложения по базису заключаем, что оба разложения совпадают, т.е. = оц, . /2/с = аь, /?1 = . = Pi = 0. С учетом полученных соотношений равенство (4.41) принимает вид

Поскольку система векторов (е,д) линейно независима (как базис в Z/2), это равенство возможно лишь при нулевых значениях всех коэффициентов:

Таким образом, доказано, что равенство (4.41) выполняется лишь при нулевых значениях всех коэффициентов, а система (е, /, д) линейно независима и является базисом в подпространстве Ь + L2. Число векторов в этом базисе, а потому и размерность пространства L + L2, равна к + I + т. Поскольку cliniLi — к + I, dim L2 = к + т, dim(Li П L2) = к, то

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .

🎬 Видео

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

4.1 Сумма и пересечение подпространств.Скачать

Базис линейного пространства (01)Скачать

Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Базисы суммы и пересечения линейных подпространствСкачать

Линейная зависимость и линейная независимость. ТемаСкачать

Неоднородные системы линейных уравненийСкачать

§43 Линейные пространстваСкачать

Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравненийСкачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать

Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Высшая математика. Линейные пространства 2 — практикаСкачать