Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.
Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .
Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.
Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .
Видео:Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать
Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:
1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;
2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;
3) определить размерность и базис подпространства
– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,
– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.
Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать
Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.
Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.
Переход от одного способа описания подпространств к другому
Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.
1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.
2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .
Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
3. Из последних строк матрицы составить матрицу .
4. Записать искомую систему уравнений .
Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.
Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .
Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:
2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):
Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу
3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.
4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .
Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.
1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .
2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .
Видео:Линейная зависимость и линейная независимость. ТемаСкачать
Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:
– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;
– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;
– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .
Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.
Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.
Видео:Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравненийСкачать
Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений
Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6
Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .
2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .
💥 Видео
Связь линейных систем и линейных оболочек. ТемаСкачать
ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать
Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать
Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
Линейные оболочки. ТемаСкачать
Базис линейного пространства (01)Скачать
Линал 2.2. Линейная оболочкаСкачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать
Линейная зависимость векторовСкачать
