Найти решение задачи оптимального уравнения (6 видео)

Содержание

Ищем оптимальное решение задачи с неизвестными параметрами в Excel
Основные параметры поиска решений
Пример использования поиска решений
Подписаться на карьерную рассылку
Решение оптимизационных задач методом поиска решения
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Задача 1. Планирование производства
Создание математической модели задачи
Создание формы
Заполнение окна Поиск решения
Параметры поиска
Задача 2. Задача об оптимальной диете
Создание математической модели задачи
Создание формы
Заполнение окна Поиск решения
Параметры
ЗАДАНИЕ
Поиск решения EXCEL. Знакомство
Установка Поиска решения
О моделях
Подготовка оптимизационной модели в MS EXCEL
Простой пример использования Поиска решения
Резюме
Поиску решения не удалось найти решения (Solver could not find a feasible solution)
Некоторые настройки Поиска решения
📺 Видео

Видео:Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Ищем оптимальное решение задачи с неизвестными параметрами в Excel

«Поиск решений» — функция Excel, которую используют для оптимизации параметров: прибыли, плана продаж, схемы доставки грузов, маркетингового бюджета или рентабельности. Она помогает составить расписание сотрудников, распределить расходы в бизнес-плане или инвестиционные вложения. Знание этой функции экономит много времени и сил. Рассказываем, как освоить функцию поиска решений.

Видео:Cимплексный метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Основные параметры поиска решений

Найти решение задачи можно тремя способами. Во-первых, вручную перебирать параметры, пока не найдется оптимальное соотношение. Во-вторых, составить уравнение с большим количеством неизвестных. В-третьих, вбить данные в Excel и использовать «Поиск решений». Последний способ самый быстрый и покажет максимально точное решение, если знать, как использовать функцию.

Итак, мы решаем задачу с помощью поиска решений в Excel и начинаем с математической модели. В ней четыре типа данных: константы, изменяемые ячейки, целевая функция и ограничения. К поиску решения вернемся чуть позже, а сейчас разберемся, что входит в каждый из этих типов:

Константы — исходная информация. К ней относится удельная маржинальная прибыль, стоимость каждой перевозки, нормы расхода товарно-материальных ценностей. В нашем случае — производительность работников, их оплата и норма в 1000 изделий. Также константа отражает ограничения и условия математической модели: например, только неотрицательные или целые значения. Мы вносим константы в таблицу цифрами или с помощью элементарных формул (СУММ, СРЗНАЧ).

Изменяемые ячейки — переменные, которые в итоге нужно найти. В задаче это распределение 1000 изделий между работниками с минимальными затратами. В разных случаях бывает одна изменяемая ячейка или диапазон. При заполнении функции «Поиск решений» важно оставить ячейки пустыми — программа сама найдет значения.

Целевая функция — результирующий показатель, для которого Excel подбирает наилучшие показатели. Чтобы программа понимала, какие данные наилучшие, мы задаем функцию в виде формулы. Эту формулу мы отображаем в отдельной ячейке. Результирующий показатель может принимать максимальное или минимальное значения, а также быть конкретным числом.

Ограничения — условия, которые необходимо учесть при оптимизации функции, называющейся целевой. К ним относятся размеры инвестирования, срок реализации проекта или объем покупательского спроса. В нашем случае — количество дней и число работников.

Видео:Задача оптимального управления + пример решенияСкачать

Пример использования поиска решений

Теперь перейдем к самой функции.

1) Чтобы включить «Поиск решений», выполните следующие шаги:

нажмите «Параметры Excel», а затем выберите категорию «Надстройки»;
в поле «Управление» выберите значение «Надстройки Excel» и нажмите кнопку «Перейти»;
в поле «Доступные надстройки» установите флажок рядом с пунктом «Поиск решения» и нажмите кнопку ОК.

2) Теперь упорядочим данные в виде таблицы, отражающей связи между ячейками. Советуем использовать цветовые обозначения: на примере красным выделена целевая функция, бежевым — ограничения, а желтым — изменяемые ячейки.

Не забудьте ввести формулы. Стоимость заказа рассчитывается как «Оплата труда за 1 изделие» умножить на «Число заготовок, передаваемых в работу». Для того, чтобы узнать «Время на выполнение заказа», нужно «Число заготовок, передаваемых в работу» разделить на «Производительность».

3) Выделите целевую ячейку, которая должна показать максимум, минимум или определенное значение при заданных условиях. Для этого на панели нажмите «Данные» и выберете функцию «Поиск решений» (обычно она в верхнем правом углу).

4) Заполните параметры «Поиска решений» и нажмите «Найти решение».

Совокупная стоимость 1000 изделий рассчитывается как сумма стоимостей количества изделий от каждого работника. Данная ячейка (Е13) — это целевая функция. D9:D12 — изменяемые ячейки. «Поиск решений» определяет их оптимальные значения, чтобы целевая функция достигла минимума при заданных ограничениях.

В нашем примере следующие ограничения:

общее количество изделий 1000 штук ($D$13 = $D$3);
число заготовок, передаваемых в работу — целое и больше нуля либо равно нулю ($D$9:$D$12 = целое, $D$9:$D$12 > = 0);
количество дней меньше либо равно 30 ($F$9:$F$12 > окажут вам помощь. Это отличный шанс вместе экспертом проработать проблемные вопросы и составить карьерный план.

Видео:Урок 1.Поиск решения, оптимизация, оптимальный план производстваСкачать

Подписаться на карьерную рассылку

Подписывайтесь на рассылку и получайте карьерные советы — от выбора индустрии и компании до лайфхаков по самоорганизации и развитию коммуникативных навыков.

Видео:Семинар 6. Ужегов. Принцип максимума ПонтрягинаСкачать

Решение оптимизационных задач методом поиска решения

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К классу задач линейного программирования (ЛП) относятся такие задачи однокритериальной оптимизации, в которых переменные являются непрерывными и неотрицательными, целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а ограничения могут быть представлены в форме линейных неравенств и равенств.

Задача линейного программирования в общем случае формулируется следующим образом:

Определить максимум (минимум) целевой функции F_max(min) при заданной системе ограничений (2) и граничных условий (3):

Надстройка Поиск решения является инструментом оптимизации. С помощью этой надстройки можно найти оптимальное или заданное значение некоторой ячейки путем подбора значений нескольких ячеек, удовлетворив нескольким граничным условиям.

Целевая ячейка – это ячейка, для которой нужно найти максимальное, минимальное или заданное значения.

Изменяемые ячейки – это ячейки, от которых зависит значение целевой ячейки. Целевая ячейка должна содержать формулу, прямо или косвенно зависящую от изменяемых ячеек. Поиск решения подбирает значения изменяемых ячеек до тех пор, пока не будет найдено решение.

Ограничение – это условие, накладываемое на некоторую ячейку. Ограничения могут быть наложены на любые ячейки таблицы, включая целевую ячейку и изменяемые ячейки.

Чтобы запустить процедуру поиска решения, надо:

В меню Данные выбрать команду Поиск решения. Откроется диалоговое окно Поиск решения (рис. 12. рис. 12.11).

В поле Установить целевую ячейку ввести ссылку на ячейку, в которой нужно получить максимальное, минимальное или заданное значения.
В поле Изменяя ячейки ввести ссылки на изменяемые ячейки. (Если щелкнуть по кнопке Предположить, то Поиск решения самостоятельно определит изменяемые ячейки).
Для задания ограничений щелкнуть по кнопке Добавить.
В открывшемся диалоговом окне следует: (рис. 12.2 рис. 12.2)

в поле Ссылка на ячейку ввести ссылку на ячейку, содержащую формулу, которая определяет ограничение; формула должна прямо или косвенно зависеть от одной или нескольких изменяемых ячеек;

во втором поле выбрать оператор ограничения (>, Поиск решения).

Найденные решения (значения изменяемых ячеек) можно сохранить в качестве сценария. Для этого нужно:

В диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить сценарий.
В поле Название сценария ввести имя сценария. Просмотреть сценарии можно с помощью команды Данные > Работа с данными > Анализ что-если > Диспетчер сценариев > Сценарии.

С помощью программы Поиск решения можно создать три типа отчетов по результатам, полученным при успешном завершении процедуры решения.

Каждый отчет создается на отдельном листе текущей рабочей книги.

Для создания отчета надо в диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать нужный тип отчета в поле Тип отчета. Можно выбрать сразу несколько типов (при выделении нескольких строк используется клавиша ).

Результаты – отчет содержит целевую ячейку, список изменяемых ячеек, их исходные и конечные значения, ограничения и сведения о них.
Устойчивость – отчет содержит сведения о степени зависимости модели от изменений величин, входящих в формулы, применяемые в задаче (формулы модели и формулы ограничений).
Пределы – выводится целевая ячейка и ее значение, а также список изменяемых ячеек, их значений, нижних и верхних пределов и целевых результатов.

Рассмотрим применение процессора Excel для решения ЗЛП на примерах.

Задача 1. Планирование производства

Модель линейного программирования дает возможность определить наиболее выгодную производственную программу выпуска нескольких видов продукции при заданных ограничениях на ресурсы.

МП выпускает товары х₁,х₂,х₃,х₄, получая от реализации каждого прибыль в 60,70,120,130 руб. соответственно. Затраты на производство приведены в таблице.

Затраты	х₁	х₂	x₃	х₄	Всего
Трудовые	1	1	1	1	16
Сырьевые	6	5	4	1	110
Финансы	4	6	10	13	100

Максимум прибыли в зависимости от оптимального распределения затрат.
Минимум ресурсов, необходимых для получения максимальной прибыли.

Решение задачи средствами Excel состоит из 4 этапов:

Создание математической модели задачи ЛП.
Создание формы для ввода условий задачи, ввод в неё исходных данных и зависимостей из математической модели.
Ввод данных из формы в окно Excel Поиск решения из меню Данные.
Задание параметров поиска и решение задачи.

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

— целевая функция прибыли.

— граничные условия модели, так как количество производимых товаров не может быть отрицательной величиной.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее первого рабочего листа на Задача о производстве.

Создание формы

Составление формы в виде:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	х₇	х₂	x₃	х₄	Формула	Знак	Св.член
2	Значение
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В3:Е3)	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В4:Е4)		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В5:Е5)		110
6	Финансы	4	6	10	13	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В6:Е6)		100

Запись в ячейки В3:Е3 коэффициентов целевой функции F (1), в В4:Е6 коэффициентов из системы ограничений (2) и в ячейки Н4:Н6 – свободных членов из системы (2).
Ввод формул с помощью f_x – Мастера функций.

Для ввода формулы в целевую ячейку (целевой функции): щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке F3 , затем по значку Мастера функций f_x на панели инструментов, в появившемся окне «Мастер функций, Шаг 1» выбрать категорию «Математические», далее выбрать функцию СУММПРОИЗВ, нажать клавишу ОК, в окне «Мастер функций Шаг 2» в поле Массив 1 ввести с клавиатуры В2:Е2 (ячейки, в которых будут варьироваться х₁..х₄), в поле Массив 2 ввести В3:Е3 (коэффициенты целевой функции ЦФ).

Примечание. Можно вводить В2:Е2 не с клавиатуры, а поставить курсор в окно Массив 1, а затем протащить курсор при нажатой левой клавише мыши по ячейкам В2:Е2, имена ячеек сами запишутся в окно. Аналогично поступить с полем Массив 2.

Нажать клавишу ОК, в ячейку F3 запишется формула 60х₁+70х₂+120х₃+ 130х₄ в виде СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В3:Е3).

Чтобы не вводить формулы в другие ячейки, необходимо изменить тип адресации для ячеек В2:Е2 с относительной на абсолютную $B$2:$E$2 , установив курсор перед нужным адресом B2 и нажав функциональную клавишу F4 , затем повторить эти действия для адреса E2 . Формула примет следующий вид:

После внесенных изменений необходимо скопировать формулу в ячейки F4:F6 c помощью маркера заполнения. Для этого необходимо выделить ячейку F3 , содержащую нужную формулу, установить указатель мыши на черный квадратик в правом нижнем углу ячейки (он примет форму черного крестика) и протащить с помощью левой кнопки мыши на весь требуемый диапазон.

В результате копирования мы увидим следующие формулы:

в ячейке F4 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В4:Е4),
в ячейке F5 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В5:Е5),
в ячейке F6 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В6:Е6).

Заполнение окна Поиск решения

Выбрать в пункте меню Данные команду Поиск решения, поставить курсор в поле целевой функции, выделить ячейку F3 в форме (или ввести F3 с клавиатуры), поставить переключатель в положение «Максимальному значению» (см. рис. 12.1 рис. 12.1). В поле «Изменяя ячейки» ввести $В$2:$Е$2(с клавиатуры или протащив мышью).

Нажать клавишу «Добавить», в окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» ввести F4 , выбрать через «стрелка вниз» знак ««, в поле справа ввести Н4 (рис. 12. рис. 12.2).

Аналогично через «Добавить» ввести , для системы ограничений (2), а также , , и .

Также необходимо добавить ограничения для получения целочисленных величин по количеству товаров: B2=цел, C2=цел, D2=цел и Е2=цел.

После ввода последнего граничного условия вместо «Добавить» нажать клавишу ОК, появится окно «Поиск решения».

Для изменения или удаления ограничений и граничных условий используются клавиши Изменить, Удалить.

Параметры поиска

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать по умолчанию Максимальное время – 100 с, число итераций – 100 (для большинства задач это количество просчётов подходит с большим запасом), установить флажок в строке «Линейная модель», нажать ОК, в появившемся окне Поиск Решения нажать Выполнить (рис. 12. рис. 12.3).

Результаты поиска решения с таблицей результатов:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	X1	X₂	X₃	X₄	Формула	Знак	Св.член
2	Значение	10	0	6	0
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	1320	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	16		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	84		110
6	Финансы	4	6	10	13	100		100

Таким образом оптимальный план Х(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)=(10,0,6,0) при минимальном использовании ресурсов

Трудовые – 16 (У₁)
Сырьевые – 84 (У₂)
Финансы – 100 (У₃)

даёт максимум прибыли F в 1320 руб.

_Вывод: Максимальная прибыль F в 1320 руб. получается при выпуске только товаров Х₁ и Х₃ в количестве 10 и 6 штук соответственно, товары Х₃ и Х₄ выпускать не нужно (это приведёт к снижению прибыли). Трудовые (У₁) и финансовые (У₃) ресурсы используются полностью, по сырьевым ресурсам (У₂) есть запас в 110-84=26 ед.

Кроме того, это означает, что изменение трудовых ( y₁ ) и финансовых ( y₃ ) ресурсов приведёт к изменению прибыли F , а изменение сырьевых ресурсов ( y₂ ) – нет.

Разности между плановыми ресурсами и использованными являются двойственными переменными y₁, y₂ и y₃ сопряжённой задачи линейного программирования. В данном случае y₁=y₃=0 , а y₂=26 ед. Таким образом, ресурс y₂ можно уменьшить на 26 ед., тогда план по сырью тоже будет оптимальным.

Задача 2. Задача об оптимальной диете

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х – весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы.

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Продукты/питательные вещества	Хлеб ржаной	Мясо баранина	Сыр «Российский»	Банан	Огурцы	Помидоры	Виноград
Белки	61	220	230	15	8	11	6
Жиры	12	172	290	1	1	2	2
Углеводы	420	0	0	212	26	38	155

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

– целевая функция (суммарная калорийность продуктов).

– граничные условия

Создание формы

Для решения поставленной задачи выполним следующие подготовительные действия:

Внесем необходимые надписи в ячейки A1:I1, A2:A7, B4, I4, J4 .
В ячейки ВЗ:НЗ введем значения коэффициентов целевой функции: с₁ = 2060, с₂ = 2430, с₃ = 3600, с₄ = 890, с₅ = 140, с₆ = 230, с₇ = 650.
В ячейку I2 введем формулу: =СУММПРОИЗВ( b ₂:Н2;B3:H3), которая представляет целевую функцию (4).
В ячейки В5:Н7 введем значения коэффициентов ограничений, взятых из таблицы.

В ячейки J5 :J7 введем значения правых частей ограничений, соответствующих минимальной суточной потребности в питательных веществах: в белках b ₁=100 , жирах b ₂= 70 и углеводах b3 = 400.
В ячейку I5 введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$2:$H$2;В5:Н5), которая представляет левую часть первого ограничения (5).
Скопируем формулу, введенную в ячейку I5 , в ячейки I6 и I7 .
Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи об оптимальном рационе питания имеет следующий вид (pиc. 12.4).

Для отображения формул в ячейках рабочего листа необходимо выполнить команду меню: Формулы и на панели инструментов в группе Зависимости формул выбрать Показать формулы.

Заполнение окна Поиск решения

Для дальнейшего решения задачи следует вызвать мастер поиска решения, для чего необходимо выполнить операцию: Данные > Поиск решения.

После появления диалогового окна Поиск решения следует выполнить следующие действия:

В поле с именем Установить целевую ячейку: ввести абсолютный адрес ячейки $I$2 .
Для группы Равной: выбрать вариант поиска решения – минимальному значению.
В поле с именем Изменяя ячейки: ввести абсолютный адрес ячеек $B$2:$H$2 .
Добавить 3 ограничения, представляющие минимальные суточные потребности в питательных веществах. С этой целью выполнить следующие действия:
- для задания первого ограничения в исходном диалоговом окне Поиск решения нажать кнопку с надписью Добавить (рис. 12.5 рис. 12.5, а);
- в появившемся дополнительном окне выбрать ячейку $I$5 , которая должна отобразиться в поле с именем Ссылка на ячейку;
- в качестве знака ограничения из выпадающего списка выбрать нестрогое неравенство » «;
- в качестве значения правой части ограничения выбрать ячейку $J$5 ;
- для добавления первого ограничения в дополнительном окне нажать кнопку с надписью Добавить;
- аналогичным образом задать оставшиеся два ограничения (рис. 12.5 рис. 12.5, б).

Параметры

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать «Поиск решения Линейных задач симплекс-методом», нажать ОК, затем нажать Найти Решение (рис. 12.6 рис. 12.6, б).

После задания ограничений и целевой функции можно приступить к поиску численного решения, для чего следует нажать кнопку Выполнить. После выполнения расчетов программой MS Excel будет получено количественное решение, которое имеет вид, представленный на рис. 12. рис. 12.7.

Результатом решения задачи об оптимальной диете являются найденные оптимальные значения переменных: х₁ = 0, х₂ = 0,211, 3 = 0,109, х₄= 1,887, х₅ = 0, х₆ = 0, х₇ = 0, которым соответствует значение целевой функции: f_опт= 2587,140. При выполнении расчетов для ячеек В2:I2 был выбран числовой формат с 3 знаками после запятой.

Анализ найденного решения показывает, что для удовлетворения суточной потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) следует использовать 211 г мяса баранины, 109 г сыра и 1887 г бананов, совсем отказавшись от хлеба, огурцов, помидоров и винограда. При этом общая калорийность найденной оптимальной диеты будет приближенно равна 2590 ккал, что вполне соответствует малоактивному образу жизни без серьезных физических нагрузок. Напомним, что согласно медицинским данным, энергетические затраты работников интеллектуального труда (юристы, бухгалтера, врачи, педагоги) лежат в пределах 3000 ккал.

ЗАДАНИЕ

Составить математическую модель задачи линейного программирования.
Решить задачу линейного программирования в Excel с помощью Поиска решения.
Сохранить в виде модели установочные параметры.

Предприятие легкой промышленности выпускает две модели машин, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 80 изделий, второй линии – 85 изделий. На машину первой модели расходуются 12 однотипных элементов электронных схем, на машину второй модели – 6 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одной машины первой и второй моделей равна $30 и $40 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех приборах. Время использования этих приборов для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукции, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Фирма производит два вида продукции – А и B . Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 70% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 120 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 3 кг, а на единицу продукции В – 5 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $60 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Фирма выпускает женские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $6, а фасона 2 – $7. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль.

Завод выпускает изделия трех моделей ( I, II III ) Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 5000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Трудоемкость изготовления модели I вдвое больше, чем изделия модели II , и втрое больше, чем изделие модели III . Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий I . Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I,II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I,II и III должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей I,II и III составляет $30, $20 и $50 соответственно. Определить выпуск изделий, максимизирующий прибыль.

Требуется распределить имеющиеся денежные средства по четырем альтернативным вариантам. Игра имеет три исхода. Ниже приведены размеры выигрыша (или проигрыша) на каждый доллар, вложенный в соответствующий альтернативный вариант, для любого из трех исходов. У игрока имеется $500, причем, использовать в игре их можно только один раз. Точный исход игры заранее неизвестен, и, учитывая эту неопределенность, игрок решил распределить деньги так, чтобы максимизировать максимальную отдачу от этой суммы.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 80000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Ниже приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
не менее 22% белка;
не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида . Известна минимальная суточная потребность b _j человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность сi одной весовой единицы i-го продукта ( i принадлежит ). Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи. Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3). Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме следующей таблицы (см. табл.).

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Продукты/питательные вещества	Хлеб ржаной	Мясо баранина	Сыр «Российский»	Банан	Огурцы	Помидоры	Виноград
Белки	66	225	235	20	13	16	11
Жиры	17	177	295	1	1	7	7
Углеводы	425	0	0	217	31	43	200

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 105, в жирах b ₂ = 75, в углеводах b ₃ = 405.

Определить суточную потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) и общую калорийность оптимальной диеты.

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуются 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна $30 и $20 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Фирма производит два вида продукции – A и B . Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $40 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Фирма выпускает ковбойские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $8, а фасона 2 – $5. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства максимизирующий чистую прибыль.

Завод выпускает изделия трех моделей ( I, II III ). Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 4000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Некоторое производственное предприятие выпускает три вида клея. Для производства клея используется 4 типа химических веществ: крахмал, желатин, квасцы и мел. Расход этих веществ в кг для получения 1 кг каждого вида клея и их запас на складе предприятия представлены в таблице.

Таблица 1. Расход химических веществ на изготовления клея, их запас на складе

Вид клея /Химические вещества	Клей № 1	Клей № 2	Клей № 3	Запас на складе
Крахмал	0,4	0,3	0,2	20
Желатин	0,2	0,3	0,4	35
Квасцы	0,05	0,07	0,1	7
Мел	0,01	0,05	0,15	10

Стоимость каждого вида клея для оптовых покупателей следующая:с₁ = 380 руб/кг,с₂ =430 руб/кг,с₃ = 460 руб/кг. Требуется определить оптимальный объем выпуска клея каждого вида, обеспечивающий максимум общей стоимости готовой продукции.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Смесь должна содержать:

не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
не менее 22% белка;
не более 5% клетчатки.

Имеется конечное число видов продуктов питания: ананас, арбуз, грейпфрут, язык говяжий, сардельки говяжьи, хлеб «Бородинский», картофель ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3). Калорийность 1 кг каждого из продуктов следующая:с₁ = 470,с₂= 380,с₃ = 350,с₄ = 1460,с₅ = 2150,с₆ = 2070, с₇ = 800. Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂ = 70, в углеводах b3 = 400. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы (табл.).

Требуется определить такой рацион питания, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Видео:МО, 16.12, Оптимальное управление 1Скачать

Поиск решения EXCEL. Знакомство

history 23 марта 2015 г.

Надстройка «Поиск решения»

Поиск решения — это надстройка Microsoft Excel, с помощью которой можно найти оптимальное решение задачи с учетом заданных пользователем ограничений.

Поиск решения будем рассматривать в MS EXCEL 2010 (эта надстройка претерпела некоторые изменения по сравнению с предыдущей версией в MS EXCEL 2007) . В этой статье рассмотрим:

создание оптимизационной модели на листе MS EXCEL
настройку Поиска решения;
простой пример (линейная модель).

Видео:Видео Лекция 9-1 МОР МПУР Динамическое Программирование Задача оптимального распределения инвестицийСкачать

Установка Поиска решения

Команда Поиск решения находится в группе Анализ на вкладке Данные .

Если команда Поиск решения в группе Анализ недоступна, то необходимо включить одноименную надстройку. Для этого:

На вкладке Файл выберите команду Параметры , а затем — категорию Надстройки ;
В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти;
В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК.

Примечание . Окно Надстройки также доступно на вкладке Разработчик . Как включить эту вкладку читайте здесь .

После нажатия кнопки Поиск решения в группе Анализ, откроется его диалоговое окно .

При частом использовании Поиска решения его удобнее запускать с Панели быстрого доступа, а не из вкладки Данные. Чтобы поместить кнопку на Панель, кликните на ней правой клавишей мыши и выберите пункт Добавить на панель быстрого доступа .

Видео:Семинар 7. Ужегов. Портфельная задача и особые задачи оптимального управления.Скачать

О моделях

Этот раздел для тех, кто только знакомится с понятием Оптимизационная модель.

Совет . Перед использованием Поиска решения настоятельно рекомендуем изучить литературу по решению оптимизационных задач и построению моделей.

Ниже приведен небольшой ликбез по этой теме.

Надстройка Поиск решения помогает определить лучший способ сделать что-то :

«Что-то» может включать в себя выделение денег на инвестиции, загрузку склада, доставку товара или любую другую предметную деятельность, где требуется найти оптимальное решение.
«Лучший способ» или оптимальное решение в этом случае означает: максимизацию прибыли, минимизацию затрат, достижение наилучшего качества и пр.

Вот некоторые типичные примеры оптимизационных задач:

Определить план производства , при котором доход от реализации произведенной продукции максимальный;
Определить схему перевозок , при которой общие затраты на перевозку были бы минимальными;
Найти распределение нескольких станков по разным видам работ , чтобы общие затраты на производство продукции были бы минимальными;
Определить минимальный срок исполнения всех работ проекта (критический путь).

Для формализации поставленной задачи требуется создать модель, которая бы отражала существенные характеристики предметной области (и не включала бы незначительные детали). Следует учесть, что модель оптимизируется Поиском решения только по одному показателю (этот оптимизируемый показатель называется целевой функцией ). В MS EXCEL модель представляет собой совокупность связанных между собой формул, которые в качестве аргументов используют переменные. Как правило, эти переменные могут принимать только допустимые значения с учетом заданных пользователем ограничений. Поиск решения подбирает такие значения этих переменных (с учетом заданных ограничений), чтобы целевая функция была максимальной (минимальной) или была равна заданному числовому значению.

Примечание . В простейшем случае модель может быть описана с помощью одной формулы. Некоторые из таких моделей могут быть оптимизированы с помощью инструмента Подбор параметра . Перед первым знакомством с Поиском решения имеет смысл сначала детально разобраться с родственным ему инструментом Подбор параметра . Основные отличия Подбора параметра от Поиска решения :

Подбор параметра работает только с моделями с одной переменной;
в нем невозможно задать ограничения для переменных;
определяется не максимум или минимум целевой функции, а ее равенство некому значению;
эффективно работает только в случае линейных моделей, в нелинейном случае находит локальный оптимум (ближайший к первоначальному значению переменной).

Видео:Принцип оптимальности БеллманаСкачать

Подготовка оптимизационной модели в MS EXCEL

Поиск решения оптимизирует значение целевой функции. Под целевой функцией подразумевается формула, возвращающая единственное значение в ячейку. Результат формулы должен зависеть от переменных модели (не обязательно напрямую, можно через результат вычисления других формул). Ограничения модели могут быть наложены как на диапазон варьирования самих переменных, так и на результаты вычисления других формул модели, зависящих от этих переменных. Все ячейки, содержащие переменные и ограничения модели должны быть расположены только на одном листе книги. Ввод параметров в диалоговом окне Поиска решения возможен только с этого листа. Целевая функция (ячейка) также должна быть расположена на этом листе. Но, промежуточные вычисления (формулы) могут быть размещены на других листах.

Совет . Организуйте данные модели так, чтобы на одном листе MS EXCEL располагалась только одна модель. В противном случае, для выполнения расчетов придется постоянно сохранять и загружать настройки Поиска решения (см. ниже).

Приведем алгоритм работы с Поиском решения , который советуют сами разработчики ( ]]> www.solver.com ]]> ):

Определите ячейки с переменными модели (decision variables);
Создайте формулу в ячейке, которая будет рассчитывать целевую функцию вашей модели (objective function);
Создайте формулы в ячейках, которые будут вычислять значения, сравниваемые с ограничениями (левая сторона выражения);
С помощью диалогового окна Поиск решения введите ссылки на ячейки содержащие переменные, на целевую функцию, на формулы для ограничений и сами значения ограничений;
Запустите Поиск решения для нахождения оптимального решения.

Проделаем все эти шаги на простом примере.

Видео:Информатика ЕГЭ. Поиск оптимального маршрута по таблицеСкачать

Простой пример использования Поиска решения

Необходимо загрузить контейнер товарами, чтобы вес контейнера был максимальным. Контейнер имеет объем 32 куб.м. Товары содержатся в коробках и ящиках. Каждая коробка с товаром весит 20кг, ее объем составляет 0,15м3. Ящик — 80кг и 0,5м3 соответственно. Необходимо, чтобы общее количество тары было не меньше 110 штук.

Данные модели организуем следующим образом (см. файл примера ).

Переменные модели (количество каждого вида тары) выделены зеленым. Целевая функция (общий вес всех коробок и ящиков) – красным. Ограничения модели: по минимальному количеству тары (>=110) и по общему объему ( =СУММПРОИЗВ(B8:C8;B6:C6) – это общий вес всех коробок и ящиков, загруженных в контейнер. Аналогично рассчитываем общий объем — =СУММПРОИЗВ(B7:C7;B8:C8) . Эта формула нужна, чтобы задать ограничение на общий объем коробок и ящиков ( =СУММ(B8:C8) . Теперь с помощью диалогового окна Поиск решения введем ссылки на ячейки содержащие переменные, целевую функцию, формулы для ограничений и сами значения ограничений (или ссылки на соответствующие ячейки). Понятно, что количество коробок и ящиков должно быть целым числом – это еще одно ограничение модели.

После нажатия кнопки Найти решение будут найдены такие количества коробок и ящиков, при котором общий их вес (целевая функция) максимален, и при этом выполнены все заданные ограничения.

Совет : в статье » Поиск решения MS EXCEL. Экстремум функции с несколькими переменными. Граничные условия заданы уравнениями » показано решение задачи, в которой функция и граничные условия заданы в явном виде, т.е. математическими выражениями типа F(x1, x2, x3)=x1+2*x2+6*x3, что существенно облегчает построение модели, т.к. не требуется особо осмыслять задачу: можно просто подставить переменные x в поле переменные, а ограничения ввести в соответствующее поле окна Поиска решения.

Видео:Решение задачи линейного программирования при помощи надстройки Поиск решенияСкачать

Резюме

На самом деле, основной проблемой при решении оптимизационных задач с помощью Поиска решения является отнюдь не тонкости настройки этого инструмента анализа, а правильность построения модели, адекватной поставленной задаче. Поэтому в других статьях сконцентрируемся именно на построении моделей, ведь «кривая» модель часто является причиной невозможности найти решение с помощью Поиска решения . Зачастую проще просмотреть несколько типовых задач, найти среди них похожую, а затем адаптировать эту модель под свою задачу. Решение классических оптимизационных задач с помощью Поиска решения рассмотрено в этом разделе .

Видео:Семинар 7. Зехов. Задачи оптимального управления.Скачать

Поиску решения не удалось найти решения (Solver could not find a feasible solution)

Это сообщение появляется, когда Поиск решения не смог найти сочетаний значений переменных, которые одновременно удовлетворяют всем ограничениям. Если вы используете Симплекс метод решения линейных задач , то можно быть уверенным, что решения действительно не существует. Если вы используете метод решения нелинейных задач, который всегда начинается с начальных значений переменных, то это может также означать, что допустимое решение далеко от этих начальных значений. Если вы запустите Поиск решения с другими начальными значениями переменных, то, возможно, решение будет найдено. Представим, что при решении задачи нелинейным методом, ячейки с переменными были оставлены не заполненными (т.е. начальные значения равны 0), и Поиск решения не нашел решения. Это не означает, что решения действительно не существует (хотя это может быть и так). Теперь, основываясь на результатах некой экспертной оценки, в ячейки с переменными введем другой набор значений, который, по Вашему мнению, близок к оптимальному (искомому). В этом случае, Поиск решения может найти решение (если оно действительно существует).

Примечание . О влиянии нелинейности модели на результаты расчетов можно прочитать в последнем разделе статьи Поиск решения MS EXCEL (4.3). Выбор места открытия нового представительства .

В любом случае (линейном или нелинейном), Вы должны сначала проанализировать модель на непротиворечивость ограничений, то есть условий, которые не могут быть удовлетворены одновременно. Чаще всего это связано с неправильным выбором соотношения (например, =) или граничного значения. Если, например, в рассмотренном выше примере, значение максимального объема установить 16 м3 вместо 32 м3, то это ограничение станет противоречить ограничению по минимальному количеству мест (110), т.к. минимальному количеству мест соответствует объем равный 16,5 м3 (110*0,15, где 0,15 – объем коробки, т.е. самой маленькой тары). Установив в качестве ограничения максимального объема 16 м3, Поиск решения не найдет решения.

При ограничении 17 м3 Поиск решения найдет решение.

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Некоторые настройки Поиска решения

Метод решения Рассмотренная выше модель является линейной, т.е. целевая функция (M – общий вес, который может быть максимален) выражена следующим уравнением M=a1*x1+a2*x2, где x1 и x2 – это переменные модели (количество коробок и ящиков), а1 и а2 – их веса. В линейной модели ограничения также должны быть линейными функциями от переменных. В нашем случае ограничение по объему V=b1*x1+b2*x2 также выражается линейной зависимостью. Очевидно, что другое ограничение — Максимальное количество тары (n) – также линейно x1+x2

📺 Видео

Лекция №2 Управляемые системы и принцип максимума ПонтрягинаСкачать

Транспортная задача (закрытая, с циклом). Метод потенциалов - подробно и понятноСкачать

ДОЭФ 2020. Семинар 9. Васильев С.Б. Решение задачи оптимального управления. PythonСкачать

Рютин К.C. -Вариационное исчисление и оптимальное управление - 11. Задача оптимального управленияСкачать

Минимаксная задача оптимального проектирования (лекция)Скачать