Найти решение уравнения методом деления отрезка пополам (8 видео)

Метод бисекции

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Калькулятор, который находит приближенное решение уравнения методом бисекции или методом деления отрезка пополам. Небольшая теория под калькулятором.

Содержание

Метод бисекции
Метод бисекции
Найти решение уравнения методом деления отрезка пополам
1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений
Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)
🎥 Видео

Метод бисекции

Существует довольно очевидная теорема: «Если непрерывная функция на концах некоторого интервала имеет значения разных знаков, то внутри этого интервала у нее есть корень (как минимум, один, но может быть и несколько)». На базе этой теоремы построено несколько методов численного нахождения приближенного значения корня функции. Обобщенно все эти методы называются методами дихотомии, т. е. методами деления отрезка на две части (необязательно равные).

Здесь уже были рассмотрены Метод хорд и Метод секущих, теперь дошла очередь и до самого простого метода дихотомии, называемого методом бисекции, или методом деления отрезка пополам. Как следует из названия, именно в этом методе отрезок делится каждый раз на две равные части. Середина отрезка считается следующим приближением значения корня. Вычисляется значение функции в этой точке, и, если критерий останова не достигнут, выбирается новый интервал. Интервал выбирается таким образом, чтобы на его концах значения функции по прежнему имели разный знак, то есть чтобы он по прежнему содержал корень. Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции — и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое — метод никогда не сойдется быстрее, т. е. сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае.

Итерационная формула проста:

Метод бисекции является двухшаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.
Метод требует, чтобы начальные точки были выбраны по разные стороны от корня (то есть корень содержался в выбранном интервале).

В качестве критерия останова берут один из следующих:

— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε. Поскольку интервал на каждом шаге уменьшается в два раза, вместо проверки x можно рассчитать количество требуемых итераций.

Видео:Методы деления отрезка пополам и золотого сеченияСкачать

Найти решение уравнения методом деления отрезка пополам

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений состоит в следующем. Допустим, что нам удалось найти отрезок [а, b], на котором расположено искомое значение корня (далее мы предполагаем, что х = с – единственный корень на отрезке [а, b], а если корней на [а, b] несколько, то в результате применения метода деления отрезка пополам и метода хорд (см. разд. 1.1.3) будет найдено приближенное значение одного из корней) х = с, т.е. .

В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого отрезка: с0=(а+b)/2. Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, с0] и [с0, b], т.е. в точках а, с0, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторую половину отрезка [а, b], на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка c1 = (a1+b1)/2 и т.д. Таким образом, k-е приближение вычисляем как

(1.2)

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после kитераций он сокращается в 2kраз:

(1.3)

Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа ε > 0:

(1.4)

Взяв в качестве приближенного решения k-еприближение корня: , запишем (1.4) с учетом обозначения — сk в виде:

(1.5)

Из (1.2) следует, что (1.5) выполнено, если

(1.6)

Таким образом, итерационный процесс нужно продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие (1.6).

Метод деления отрезка пополам проиллюстрирован на рис. 1.1. Пусть для определенности F(a) 0. В качестве начального приближения корня примем с0 = (а + b)/2. Поскольку в рассматриваемом случае F(c0) 0 и F(b) > 0. Таким образом, с[с0, c1],а2=с0, b2 = с1. Аналогично находим другие приближения: с2=(с0+c1)/2и т.д. до выполнения условия (1.6).

Рис. 1.1. Метод деления отрезка пополам

В отличие от большинства других итерационных методов метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность (разумеется, в рамках разрядности компьютера). При применении этого метода нет необходимости приближенно определять момент достижения требуемой точности, пользуясь, например, условиями близости двух последовательных приближений (2.22) или (2.23) (записанными для скалярного случая). Вместо них применяется соотношение (1.6), гарантирующее выполнение (1.4).

Однако метод деления отрезка пополам довольно медленный. Вычислим число итераций N, требуемое для достижения точности ε. Для этого выясним, пользуясь (1.3), для каких kвыполнено условие (1.6), и возьмем в качестве N наименьшее из таких k. Окончательно получим

(1.7)

где Е(х) – целая часть числа х. Обычно для метода деления отрезка пополам N больше, чем для некоторых других методов, что не является препятствием к применению этого метода, если каждое вычисление значения функции F(x) несложно.

Итерационный процесс можно завершать и тогда, когда значение функции F(x) после k-й итерации станет меньшим по модулю ε, т.е.

(1.8)

Такое условие окончания итераций аналогично условию (2.24). Действительно, для уравнения (1.1) величина F(ck)есть невязка(см. разд. 2.2.2),полученная на k—йитерации.

На рис. 1.2 представлен алгоритм итерационного процесса нахождения корня уравнения (1.1) методом деления отрезка пополам. Здесь сужение отрезка осуществляется заменой границ а или bна текущее значение корня с. При этом значение F(a) вычисляют лишь один раз, поскольку нам нужен только знак функции F(x) на левой границе, а он в процессе итераций не меняется.