Найти размерность и базис линейного подпространства заданного системой линейных уравнений онлайн (6 видео)

Примеры решений. Линейные пространства

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.

Содержание

Решения задач: линейные пространства
Решение систем линейных уравнений
Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор
📺 Видео

Видео:Базис линейного пространства (01)Скачать

Решения задач: линейные пространства

Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:

Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.

Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^$

Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $overline$ угол $alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|overline|=1$ .

Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?

Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ begin 2a & a+3b-2c\ b & 5c\ end $$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где &#x2212 некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов &#x2212 является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов &#x2212 является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.