Найти псевдорешение системы уравнений онлайн (8 видео)

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

Содержание

Решение систем уравнений онлайн
Псевдорешения системы линейных уравнений
Алгоритм нахождения псевдорешения неоднородной системы
💡 Видео

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение систем уравнений онлайн

Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Перепишем уравнения системы в следующем виде:

Тогда, первое уравнение системы представляет собой эллипс с большой полуосью равной 2 и малой полуосью равной . Второе уравнение системы — это прямая линия с тангесом угла наклона равным и величиной отрезка, отсекаемого на оси Oy равной

Изобразим вышесказанное на схематичном графике:

Точки пересечения прямой с эллипсом M 1 ( x 1, y 1 ) и M 2 ( x 2, y 2 ) являются решениями исходной системы уравнений. Поскольку прямая пересекает эллипс только в двух указанных выше точках, других решений нет.

Только что мы рассмотрели так называемый графический метод решения систем уравнений, который хорошо подходит для решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными. При большем количестве неизвестных, решениями будут точки в многомерном пространстве, что существенно усложняет задачу.

Если для решения исходной системы использовать более универсальный метод подстановки, мы получим следующий результат:

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Псевдорешения системы линейных уравнений

Как показано выше, система линейных алгебраических уравнений с неизвестными

может иметь единственное решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений. Все эти случаи встречаются на практике. В частности, несовместной системе отвечает противоречивая ситуация, сложившаяся при математическом описании реальных объектов или процессов. Разумеется, что несовместная система не имеет решения в привычном понимании. Поэтому возникает необходимость изменить само понятие решения так, чтобы любая система линейных уравнений имела бы единственное в некотором смысле «решение».

Для дальнейших рассуждений нам потребуется количественная характеристика для «измерения» и «сравнения» между собой матриц-столбцов. Для этого каждому столбцу поставим в соответствие неотрицательное действительное число.

Модулем (нормой) столбца называется неотрицательное число

Заметим, что величина характеризует погрешность решения системы. Если величина велика, то столбец — плохое приближенное решение. Если погрешность мала, то столбец — хорошее приближенное решение. Если же является решением системы (в привычном понимании), то .

Псевдорешением системы линейных уравнений (5.27) называется наименьший по модулю столбец среди всех столбцов , минимизирующих величину .

Любая система имеет единственное псевдорешение

где матрица — псевдообратная для матрицы системы.

Понятие псевдорешения позволяет обойти не только факт неединственности, но и факт несуществования решений. Если система несовместна, то псевдорешение обеспечивает наименьшую величину погрешности . Если система совместна, то псевдорешение является ее решением, т.е. , причем наименьшим по модулю.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Алгоритм нахождения псевдорешения неоднородной системы

1. Найти псевдообратную матрицу одним из способов, рассмотренных ранее.

2. Найти псевдорешение .

Пример 5.8. Найти псевдорешение системы уравнений

Решение. 1. Найдем псевдообратную матрицу. При решении примера 5.6 матрица системы была приведена к простейшему виду

По матрицам и находим псевдообратную матрицу. Вычисляем произведения и разбиваем их на блоки

По формуле (4.21) вычисляем псевдообратную матрицу

2. Находим псевдорешение

Покажем, что это решение минимальное по модулю по сравнению со вееми остальными решениями системы. Действительно, в примере 5.5 было найдено общее решение рассматриваемой системы

Модуль этого столбца имеет выражение

Вместо минимизации модуля будем искать минимум его квадрата, чтобы избавиться от квадратного корня. Эти задачи, разумеется, эквивалентны, так как точки минимума неотрицательной функции и ее квадрата совпадают. Итак, будем искать минимум функции

зависящей от двух переменных.

Для нахождения стационарных точек приравниваем частные производные первого порядка нулю (применяем необходимое условие экстремума):

Упрощая уравнения, получаем систему которую решаем, например, по правилу Крамера:

Поскольку угловые миноры матрицы Гессе положительные: 0,» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, то найденная стационарная точка является точкой минимума.

Следовательно, наименьший модуль среди всех решений системы имеет решение

что совпадает с ранее найденным псевдорешением.

Пример 5.9. Найти псевдорешение системы линейный уравнений

Решение. Нетрудно заметить, что эта система несовместна (сложив второе и третье уравнения, получим уравнение , которое противоречит первому уравнению системы). Составим матрицу системы

Псевдообратная матрица для матрицы была найдена в примере

2. По формуле (5.28) получаем псевдорешение

Покажем, что это решение минимизирует погрешность . Для этого найдем минимум квадрата этой функции (см. пример 5.8)

2. Приравнивая к нулю частные производные по переменным , получаем после упрощений систему уравнений

Методом Гаусса находим общее решение этой системы (5.29)

где — свободная переменная. Следовательно, функция имеет бесконечно много стационарных точек, на которых достигается ее наименьшее значение. Заметим, что найденное псевдорешение принадлежит этому множеству. Покажем теперь, что — это наименьший по модулю элемент множества (5.29). Для этого составим функцию, равную квадрату модуля решения

Найдем точку минимума этой функции одной переменной:

Поскольку функция выпуклая, наименьшее по модулю решение (5.29) получается при . Это решение совпадает с найденным ранее псевдорешением .