Найти производные по параметру или начальным условиям от решений данных уравнений и систем задачи

Практический курс физики

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

§ 18. Зависимость решения от начальных условий и параметров. Приближенное решение дифференциальных уравнений

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассматривается система уравнений с параметром ц При каждом /i система имеет решение. Оно зависит не только от ty но и от выбранного значения параметра поэтому обозначается x(t, р). Теорема 1. Пусть при — область в Rn+I, М — интервал в R1) все функции a'(fi) непрерывны. Пусть при всех ft € М на отрезке t2] Э t0 решение x(t,p) задачи (1) существует и проходит в области D. Тогда это решение имеет производные dxjdp, непрерывные по (;t, ц).

Функции V4 = Qxjdp. (i = 1. п) удовлетворяют системе уравнений в вариациях В (2) производные от /• зависят от аргументов J, «j /i). xn(t9fi)9fi9 где — координаты решения /*) при том значении при котором разыскивается дх/др. Если решение x(t, ц) известно хотя бы при одном значении д, то система^!), позволяет найти дх/дц при этом ft. Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по l при этом считаем, что х = x(t, /х), и дх</дц обозначаем и.. I Пример 1.

Найти дх/дц при l — 0 от решения задачи Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям. Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функции / = х2 + 4fit р? и a(fi) = 2/i — 1 непрерывны и имеют непрерывные производные по х и ц. Дифференцируя (3) по ц и обозначая х^ = и, получаем Здесь i = 0, а х — решение задачи (3) при ц = О, то есть задачи dx/dt = ж2, ж(1) = -1. Отсюда а: = -1 ft.

Теперь (4) принимает вид Решая это линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем и = t2 + d

2. Из начального условия находим с = 1. Итак, Доказательство теоремы. Зафиксируем /х € М. Имеем где — решение задачи (1), но с Д вместо ji, то есть Обозначим дробь в (5) через Д). Идея доказательства теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для v(t9 Д) при Д Ф fi.

Его правая часть при Д /х стремится к правой части уравнения (2).

Поэтому и решение v(t9 Д) при Д /х, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/дц9 существует и удовлетворяет уравнению (2). Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на Д — р, получаем Преобразуем первую дробь в (7). Положим Тогда Поэтому из (7) имеем Так как df/dx, df/Зц непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по , а интегралы непрерывно по t. Из (6) по теореме 7 §7 ж непрерывно по (;t, Д) — по совокупности переменных.

Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции от Д), включая значение Д = Обозначая их #(*,Д) и Л(*,Д), получаем Функция v(t9 Ji) была определена при Д Ф ц. Доопределяем ее при Д = /м как решение уравнения (9) с начальным условием и(*0, ц) = a'(/i), полученным из начального условия (7) при . По теореме 7 §7 функция v(t9JT) непрерывна по Д, включая Д = /х.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При Д = /х имеем х* = х = /*), /1* = ц9 подынтегральные выражения в (8) не зависят от 8. Тогда в (9) матрица Я и вектор h принимают значения Таким образом, для v(t9fi) уравнение (9) и начальное условие v(t0,n) = a'(fi) совпадают с (2), то есть v(t9fi) удовлетворяет (2). В силу непрерывности Д) существует lim v(t9 Д) = То есть в (5) существует производная дх/дц = и координаты tf. вектора v(t9 ц) удовлетво- ряют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть ц меняется на интервале М.

(и производные д/ди от них) непрерывны по (*,/*). По теореме 7 §7 решение системы (2), то есть производные тоже непрерывны по Дифференцнруемость решения по начальным условиям (следствие теоремы 1). Рассмотрим начальную задачу Пусть при (*,s) е D все функции Д и непрерывны, и на отрезке [t<912] Э t0 решение задачи (10) существует и проходит в области D. Тогда при существуют непрерывные производные решения £, по начальным условиям удовлетворяют системе Здесь решение задачи (10). Доказательство. Пусть xk0 = /х, а при t ^ fc ®f0 не зависит от Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1.

Тогда решение x(t, ц) имеет непрерывные по t, ц производные по ц до порядка т включительно. Доказательство производится с помощью индукции по т. Для т = 1 утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть утверждение верно для производных до порядка 771 — 1 ^ 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка т. Так как а функции и. = dxjdpi (i = 1. 7i) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по щ, fi до порядка т — 1 включительно.

1 по /i. Значйт, в (2) сложная функция принадлежит , аналогично dfjd^ также . По предположению индукции, примененному к системе (2), решение ир. ип системы (2) принадлежит по р. Так как ий =, то xt(t9 fi) G .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.