Практический курс физики
| Наши группы: |
Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.
§ 18. Зависимость решения от начальных условий и параметров. Приближенное решение дифференциальных уравнений
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Рассматривается система уравнений с параметром ц При каждом /i система имеет решение. Оно зависит не только от ty но и от выбранного значения параметра поэтому обозначается x(t, р). Теорема 1. Пусть при — область в Rn+I, М — интервал в R1) все функции a'(fi) непрерывны. Пусть при всех ft € М на отрезке t2] Э t0 решение x(t,p) задачи (1) существует и проходит в области D. Тогда это решение имеет производные dxjdp, непрерывные по (;t, ц).
Функции V4 = Qxjdp. (i = 1. п) удовлетворяют системе уравнений в вариациях В (2) производные от /• зависят от аргументов J, «j /i). xn(t9fi)9fi9 где — координаты решения /*) при том значении при котором разыскивается дх/др. Если решение x(t, ц) известно хотя бы при одном значении д, то система^!), позволяет найти дх/дц при этом ft. Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по l при этом считаем, что х = x(t, /х), и дх</дц обозначаем и.. I Пример 1.
Найти дх/дц при l — 0 от решения задачи Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям. Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функции / = х2 + 4fit р? и a(fi) = 2/i — 1 непрерывны и имеют непрерывные производные по х и ц. Дифференцируя (3) по ц и обозначая х^ = и, получаем Здесь i = 0, а х — решение задачи (3) при ц = О, то есть задачи dx/dt = ж2, ж(1) = -1. Отсюда а: = -1 ft.
Теперь (4) принимает вид Решая это линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем и = t2 + d
2. Из начального условия находим с = 1. Итак, Доказательство теоремы. Зафиксируем /х € М. Имеем где — решение задачи (1), но с Д вместо ji, то есть Обозначим дробь в (5) через Д). Идея доказательства теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для v(t9 Д) при Д Ф fi.
Его правая часть при Д /х стремится к правой части уравнения (2).
Поэтому и решение v(t9 Д) при Д /х, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/дц9 существует и удовлетворяет уравнению (2). Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на Д — р, получаем Преобразуем первую дробь в (7). Положим Тогда Поэтому из (7) имеем Так как df/dx, df/Зц непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по , а интегралы непрерывно по t. Из (6) по теореме 7 §7 ж непрерывно по (;t, Д) — по совокупности переменных.
Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции от Д), включая значение Д = Обозначая их #(*,Д) и Л(*,Д), получаем Функция v(t9 Ji) была определена при Д Ф ц. Доопределяем ее при Д = /м как решение уравнения (9) с начальным условием и(*0, ц) = a'(/i), полученным из начального условия (7) при . По теореме 7 §7 функция v(t9JT) непрерывна по Д, включая Д = /х.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
При Д = /х имеем х* = х = /*), /1* = ц9 подынтегральные выражения в (8) не зависят от 8. Тогда в (9) матрица Я и вектор h принимают значения Таким образом, для v(t9fi) уравнение (9) и начальное условие v(t0,n) = a'(fi) совпадают с (2), то есть v(t9fi) удовлетворяет (2). В силу непрерывности Д) существует lim v(t9 Д) = То есть в (5) существует производная дх/дц = и координаты tf. вектора v(t9 ц) удовлетво- ряют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть ц меняется на интервале М.
| Тогда правые части системы (2) |
(и производные д/ди от них) непрерывны по (*,/*). По теореме 7 §7 решение системы (2), то есть производные тоже непрерывны по Дифференцнруемость решения по начальным условиям (следствие теоремы 1). Рассмотрим начальную задачу Пусть при (*,s) е D все функции Д и непрерывны, и на отрезке [t<912] Э t0 решение задачи (10) существует и проходит в области D. Тогда при существуют непрерывные производные решения £, по начальным условиям удовлетворяют системе Здесь решение задачи (10). Доказательство. Пусть xk0 = /х, а при t ^ fc ®f0 не зависит от Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1.
Тогда решение x(t, ц) имеет непрерывные по t, ц производные по ц до порядка т включительно. Доказательство производится с помощью индукции по т. Для т = 1 утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть утверждение верно для производных до порядка 771 — 1 ^ 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка т. Так как а функции и. = dxjdpi (i = 1. 7i) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по щ, fi до порядка т — 1 включительно.
1 по /i. Значйт, в (2) сложная функция принадлежит , аналогично dfjd^ также . По предположению индукции, примененному к системе (2), решение ир. ип системы (2) принадлежит по р. Так как ий =, то xt(t9 fi) G .
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать
Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»
Разделы: Математика
Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.
Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.
Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:
- Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
- Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Методы решений задач с параметрами.
1. Аналитический метод.
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,
2. Графический метод.
В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).
Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения 
.
Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций 
и y = a.
График функции 
показан на рис.1.
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a 25/4 – два решения.
3. Метод решения относительно параметра.
При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.
Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение 
= —ax +3a +2 имеет единственное решение.
Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.
1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.
Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.
Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.
Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.
Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение 
не имеет корней?
Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.
Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:
содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.
.
Преобразуем обе части неравенства.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия: 
Рис.4
При a > 6 множество решений неравенства: 
.
Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).
Это 
Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.
Задача № 3. В области определения функции 
взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.
1) Графиком дробно-линейной функции 
является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь 
монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства 
. При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.
3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства 
. Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.
4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на 
, то z(3) .
Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
🎥 Видео
Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
11. Производная неявной функции примерыСкачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать
Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать
Сборка ПК под ваши задачи, оценка ваших сборок, ответы на вопросы. Подбор комплектующих для ПК.Скачать
Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать
4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать
ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать
Вычисление производных. 10 класс.Скачать
Консультация по дифференциальным уравнениям. Письменный экзаменСкачать
Дифференциальные уравнения 1. Зависимость решений от параметров и начальных данныхСкачать
Дифференциал функцииСкачать
Вычислить производную примеры. Самое началоСкачать
Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать
Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения II - Системы, зависящие от параметраСкачать
