Найти полный дифференциал функции z определяемой уравнением (7 видео)

Дифференциал функции

Полный дифференциал для функции двух переменных:

Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Пусть f(x) дифференцируема в точке x₀ и f ‘(x₀)≠0 , тогда ∆y=f’(x₀)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x₀)∆x.
, то есть ∆y

f’(x₀)∆x. Следовательно, f’(x₀)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ и обозначают dy(x₀) или df(x₀). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)

Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Пример . Для функции y=x 3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Содержание

Дифференциал функции онлайн
Полное приращение и полный дифференциал
Готовые работы на аналогичную тему
🎬 Видео

Видео:25. Как найти дифференциал второго порядка функции двух переменных (часть 2)Скачать

Дифференциал функции онлайн

Дифференциалом функции называется главная (линейная по ) часть приращения функции. Чтобы понять данное определение, рассмотрим следующий рисунок.

На рисунке изображён график функции и касательной к ней в точке . Дадим аргументу функции некоторое приращение , тогда функция также получит некоторое приращение . Величина называется дифференциалом функции . При этом, из графика следует, что равно приращению ординаты касательной, проведённой в точке к функции . Именно поэтому дифференциалом называют линейную часть приращения функции, т.е. приращение ординаты касательной.

Из рисунка следует, что угол наклона касательной , который она образует с положительным направлением оси и — равны. Кроме того, тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:

Из треугольника следует, что:

Таким образом, дифференциал функции выражается следующей формулой:

Рассмотрим ещё такой момент: из рисунка следует, что , причем . Причем, чем меньше , тем меньший вклад в величину вносит значение . Т.е. при достаточно малых значениях , можно считать, что . Данное соотношение позволяет вычислять приближенное значение функции в точке , если известно её значение в точке .

Дифференциал высшего порядка (например порядка ) определяется как дифференциал от дифференциала -ого порядка:

Например, дифференциал второго порядка вычисляется следующим образом:

Аналогичным образом получаем формулу для вычисления дифференциала -ого порядка:

где — -ая производная функции по переменной .

Пару слов стоит сказать о вычислении дифференциала функции многих переменных, который в этом случае называется полным дифференциалом. Полный дифференциал функции, зависящей от -переменных определяется по формуле:

Выражения для дифференциалов высших порядков функции многих переменных можно получить исходя из общей формулы:

В общем случае, для возведения суммы в -ую степень необходимо воспользоваться формулой бинома Ньютона. Рассмотрим процесс получения формулы полного дифференциала второго порядка функции двух переменных:

Наш онлайн калькулятор способен вычислить дифференциалы разных порядков для любых функций одной или нескольких переменных с описанием подробного решения на русском языке.

Видео:Математический анализ, 30 урок, Полный дифференциалСкачать

Полное приращение и полный дифференциал

Вы будете перенаправлены на Автор24

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Если аргументу $x$ дать приращение $Delta x$, а аргументу $y$ — приращение $Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:

Записать полное приращение заданной функции

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

Вычислить полное приращение заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta z=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)$ — полное приращение функции $z=f(x,y)$.

[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)=1,1cdot 2,1=2,31.]

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Если для каждой совокупности $(x,y,z. t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z. t)$ в данной области.

Готовые работы на аналогичную тему

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:

Записать полное приращение заданной функции

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta w=((x+Delta x)+(y+Delta y))cdot (z+Delta z)$ — полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Вычислить полное приращение заданной функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1;, , Delta z=0,1$.

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta w=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)cdot (z+Delta z)$ — полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)cdot (1+0,1)=1,1cdot 2,1cdot 1,1=2,541.]

С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_ (x+Delta x,y+Delta y)$ (рис. 1).

Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде

[dz=f’_ (x,y)cdot Delta x+f’_ (x,y)cdot Delta y.]

Записать полный дифференциал заданной функции

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=1cdot Delta x+2cdot Delta y=Delta x+2cdot Delta y.]

Вычислить полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=ycdot Delta x+xcdot Delta y.]

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

[dw=f’_ (x,y,z)cdot Delta x+f’_ (x,y,z)cdot Delta y+f’_ (x,y,z)cdot Delta z,] [dw=f’_ (x,y,z. t)cdot Delta x+f’_ (x,y,z. t)cdot Delta y+. +f’_ (x,y,z. t)cdot Delta t.]

Записать полный дифференциал заданной функции

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=zcdot Delta x+zcdot Delta y+(x+y)cdot Delta z.]

Приращения независимых переменных, а именно, $Delta x,, , Delta y,, , Delta z. Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z. t$. Обозначение: $dx,dy,dz. dt$.

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:

Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.

Записать полный дифференциал заданной функции

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=zcdot dx+0cdot dy+xcdot dz=zcdot dx+xcdot dz.]

Записать полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$.

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=ycdot dx+xcdot dy.]

Запишем полный дифференциал в заданной точке:

[dz|_ =2cdot dx+1cdot dy=2dx+dy.]