- Площадь ромба
- Площадь ромба по стороне и высоте
- Площадь ромба по двум диагоналям
- Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали
- Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла
- Площадь ромба по стороне и углу между сторонами
- Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и углу между сторонами
- Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
- Таблица с формулами площади ромба
- Определения
- Theory: 12 Нахождение площади ромба
- Формула площади ромба
- Площадь ромба онлайн
- 1. Площадь ромба через сторону и угол
- 2. Площадь ромба через диагонали
- 3. Площадь ромба через сторону и высоту
- 4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
- 5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
- 6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
- 7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности
- 📽️ Видео
Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать
Площадь ромба
Площадь ромба, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.
Для вычисления площади ромба применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади ромба в режиме онлайн.
Видео:Площадь ромба 📐 А бесплатный файлик в комментарияхСкачать
Площадь ромба по стороне и высоте
Видео:№477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромбаСкачать
Площадь ромба по двум диагоналям
Видео:Найти площадь ромба.Скачать
Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали
Видео:Площадь ромба через диагоналиСкачать
Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла
Видео:№462. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.Скачать
Площадь ромба по стороне и углу между сторонами
Видео:Площадь ромба через 2 стороны и уголСкачать
Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и углу между сторонами
Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°
Видео:№494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.Скачать
Таблица с формулами площади ромба
В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.
| исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) | эскиз | формула |
| 1 | сторона и высота | |
| 2 | диагонали | |
| 3 | диагональ и угол между сторонами | |
| 4 | диагональ и угол между сторонами | |
| 5 | сторона и угол между сторонами | |
| 6 | радиус вписанной окружности и угол между сторонами | |
| 7 | сторона и радиус вписанной окружности | |
Определения
Ромб — это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.
Ромб – это частный случай параллелограмма.
Высота ромба – это отрезок проведенный из вершины ромба к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.
Площадь ромба – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.
Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 17 СТОРОНА РОМБА РАВНА 9 НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ РОМБАСкачать
Theory: 12 Нахождение площади ромба
Найдите сторону ромба, если его площадь равна (displaystyle 2,) а острый угол (displaystyle 30^circ.)
Воспользуемся одной из формул для вычисления площади ромба.
Формула площади ромба
(displaystyle S=a^2 sin alpha ,)
где (displaystyle a) – сторона ромба,
(displaystyle alpha ) – угол между его сторонами.
В данном случае (displaystyle alpha =30^circ ,) (displaystyle <S_> = 2 )
(displaystyle 2=a^2 sin 30^circ )
Поскольку длина отрезка положительна, то (displaystyle a =sqrt= 2 )
Видео:№493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.Скачать
Площадь ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти площадь ромба по известным элементам. Для нахождения площади ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
Видео:найдите площадь ромба если его стороны равны 6 а один из углов равен 150Скачать
1. Площадь ромба через сторону и угол
Пусть задан ромб ABCD (Рис.1). Выведем формулу вычисления площади ромба через сторону и угол.
 |
Проведем диагональ AC. Тогда ромб делится на два треугольника ABC и ADC. Противолежащие углы ромба равны (свойство 1 статя Ромб). Поэтому треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
| (small S=AB cdot BC cdot sin alpha ) |
или, учитывая, что AB=BC=a:
| (small S_=frac a^2 cdot sin alpha .) |
Аналогично, площадь треугольника ADC вычисляется по формуле
| (small S_= frac a^2 cdot sin alpha .) |
Поэтому площадь ромба равна:
| (small S=S_+S_=a^2 cdot sin alpha .) |
| (small S=a^2 cdot sin alpha .) | (1) |
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Площадь ромба | ВидеоурокСкачать
2. Площадь ромба через диагонали
Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба ABCD (Рис.2). Выведем формулу вычисления площади ромба через диагонали.
 |
Поскольку диагонали ромба перепендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (свойства 6 и 5 ромба), то они разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам: ( small frac ) и ( small frac ).
| (small S_=frac cdot frac cdot frac) (small =frac .) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S=4 cdot S_= 4 cdot frac ) |
| (small S= frac .) | (2) |
Видео:Задача 6 №27613 ЕГЭ по математике. Урок 63Скачать
3. Площадь ромба через сторону и высоту
 |
Пусть известны сторона a и высота h ромба (Рис.3). Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба вычисляется по формуле площади параллелограмма:
| (small S= acdot h.) | (3) |
Видео:Площадь ромба - половина произведения его диагоналейСкачать
4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащий диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| (small S_= frac cdot AO cdot OB .) | (3) |
| (small frac = mathrm angle ABO ) (small = mathrm frac ) |
| (small OB= AO cdot mathrm frac .) | (4) |
Подставим (4) в (3):
| (small S_= frac cdot AO cdot AO cdot mathrm frac.) |
или, учитывая что ( small AO=frac,) получим:
| (small S_= frac cdot mathrm frac.) | (5) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= 4 cdot S_=frac cdot mathrm frac.) | (6) |
Видео:№476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. ВычислитеСкачать
5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠BAD ромба и диагональ из данного угла d=AC (Рис.5). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| (small S_= frac cdot AO cdot OB .) | (7) |
| (small frac = mathrm angle BAO ) (small = mathrm frac ) |
| (small OB= AO cdot mathrm frac .) | (8) |
Подставим (8) в (7):
| (small S_= frac cdot AO cdot AO cdot mathrm frac.) |
или, учитывая что ( small AO=frac,) получим:
| (small S_= frac cdot mathrm frac.) | (9) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= 4 cdot S_=frac cdot mathrm frac.) | (10) |
Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать
6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.6). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Как мы отметили выше, диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В частности
| ( small ⊿AOB=⊿ BOC ) | (11) |
Тогда ( small angle BAO=angle BCO=90°-frac ). Треугольники AKO и CLO также прямоугольные. Следовательно
| ( small angle 1=90°- angle BAO ) ( small =90°- (90°-frac) ) ( small =frac, ) | (12) |
| ( small angle 2=90°- angle BCO ) ( small =90°- (90°-frac) ) ( small =frac. ) | (13) |
Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| ( small frac<large sin frac>= frac<large sin left( 90°-frac right) >) ( small =frac<large cos frac > ) |
| ( small OB=frac<large AO cdot cos frac ><large sin frac> ) | (14) |
Для прямоугольного треугольника AKO имеем:
| ( small frac=cos angle 1 ) |
или, учитывая (12) и KO=r:
| ( small AO= frac<large cos frac> ) | (15) |
Подставляя (15) в (14), получим:
| ( small OB=frac<large r cdot cos frac ><large cos frac cdot sin frac> ) |
| ( small OB=frac<large sin frac> ) | (16) |
Найдем площадь треугольника AOB:
| ( small S_=frac cdot AO cdot OB) | (17) |
Подставляя (15) и (16) в (17), получим:
| ( small S_=frac cdot frac<large cos frac> cdot frac<large sin frac>) ( small =frac.) |
Тогда площадь ромба равна:
| ( small S=4 cdot S_=frac.) | (18) |
Видео:Задание 24 ОГЭ вариант 85Скачать
7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны сторона a=AB ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.7). Найдем площадь ромба.
 |
Прямая AB является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OK ⊥ AB ). Прямая CD является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OL ⊥ CD ). Поэтому треугольники BKO и DLO прямоугольные. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (BO=OD, KO=OL). Тогда ( small angle BOK=angle DOL ). Углы BOK и KOD смежные. Следовательно ( small angle KOD=180°-angle BOK. ) ( small angle KOD+angle DOL ) ( small =180°-angle BOK+angle DOL=180°. ) Получили, что отрезки KO и OL находятся на одной прямой. То есть KL=KO+OL=2r. Поскольку ( small KL ⊥ AB, ) то является высотой ромба. Площадь ромба по стороне и высоте вычисляется из формулы (3). Тогда имеем:
📽️ Видео
Задание 17 ОГЭ по математике. Ромб. Найти площадь.Скачать
Задание из ОГЭ. Площадь ромбаСкачать
