С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти площадь ромба по известным элементам. Для нахождения площади ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- 1. Площадь ромба через сторону и угол
- 2. Площадь ромба через диагонали
- 3. Площадь ромба через сторону и высоту
- 4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
- 5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
- 6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
- 7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности
- Как найти площадь ромба
- Нахождение площади ромба: формула и примеры
- Формула вычисления площади
- По длине стороны и высоте
- По длине стороны и углу
- По длинам диагоналей
- Примеры задач
- 💥 Видео
Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать
1. Площадь ромба через сторону и угол
Пусть задан ромб ABCD (Рис.1). Выведем формулу вычисления площади ромба через сторону и угол.
 |
Проведем диагональ AC. Тогда ромб делится на два треугольника ABC и ADC. Противолежащие углы ромба равны (свойство 1 статя Ромб). Поэтому треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Площадь треугольника ABC по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
| (small S=AB cdot BC cdot sin alpha ) |
или, учитывая, что AB=BC=a:
| (small S_=frac a^2 cdot sin alpha .) |
Аналогично, площадь треугольника ADC вычисляется по формуле
| (small S_= frac a^2 cdot sin alpha .) |
Поэтому площадь ромба равна:
| (small S=S_+S_=a^2 cdot sin alpha .) |
| (small S=a^2 cdot sin alpha .) | (1) |
Видео:Найти площадь ромба.Скачать
2. Площадь ромба через диагонали
Пусть известны диагонали d1 и d2 ромба ABCD (Рис.2). Выведем формулу вычисления площади ромба через диагонали.
 |
Поскольку диагонали ромба перепендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (свойства 6 и 5 ромба), то они разделяют ромб на четыре прямоугольных треугольника. Тогда эти прямоугольные треугольники равны по двум катетам: ( small frac ) и ( small frac ).
| (small S_=frac cdot frac cdot frac) (small =frac .) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S=4 cdot S_= 4 cdot frac ) |
| (small S= frac .) | (2) |
Видео:Площадь ромба 📐 А бесплатный файлик в комментарияхСкачать
3. Площадь ромба через сторону и высоту
 |
Пусть известны сторона a и высота h ромба (Рис.3). Так как ромб является параллелограммом, то площадь ромба вычисляется по формуле площади параллелограмма:
| (small S= acdot h.) | (3) |
Видео:№494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.Скачать
4. Площадь ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащий диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| (small S_= frac cdot AO cdot OB .) | (3) |
| (small frac = mathrm angle ABO ) (small = mathrm frac ) |
| (small OB= AO cdot mathrm frac .) | (4) |
Подставим (4) в (3):
| (small S_= frac cdot AO cdot AO cdot mathrm frac.) |
или, учитывая что ( small AO=frac,) получим:
| (small S_= frac cdot mathrm frac.) | (5) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= 4 cdot S_=frac cdot mathrm frac.) | (6) |
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Площадь ромба | ВидеоурокСкачать
5. Площадь ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠BAD ромба и диагональ из данного угла d=AC (Рис.5). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено в параграфе 2, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Найдем площадь одного из них:
| (small S_= frac cdot AO cdot OB .) | (7) |
| (small frac = mathrm angle BAO ) (small = mathrm frac ) |
| (small OB= AO cdot mathrm frac .) | (8) |
Подставим (8) в (7):
| (small S_= frac cdot AO cdot AO cdot mathrm frac.) |
или, учитывая что ( small AO=frac,) получим:
| (small S_= frac cdot mathrm frac.) | (9) |
Тогда площадь ромба равна:
| (small S= 4 cdot S_=frac cdot mathrm frac.) | (10) |
Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
6. Площадь ромба через угол и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.6). Выведем формулу вычисления площади ромба.
 |
Как мы отметили выше, диагонали разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В частности
| ( small ⊿AOB=⊿ BOC ) | (11) |
Тогда ( small angle BAO=angle BCO=90°-frac ). Треугольники AKO и CLO также прямоугольные. Следовательно
| ( small angle 1=90°- angle BAO ) ( small =90°- (90°-frac) ) ( small =frac, ) | (12) |
| ( small angle 2=90°- angle BCO ) ( small =90°- (90°-frac) ) ( small =frac. ) | (13) |
Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| ( small frac<large sin frac>= frac<large sin left( 90°-frac right) >) ( small =frac<large cos frac > ) |
| ( small OB=frac<large AO cdot cos frac ><large sin frac> ) | (14) |
Для прямоугольного треугольника AKO имеем:
| ( small frac=cos angle 1 ) |
или, учитывая (12) и KO=r:
| ( small AO= frac<large cos frac> ) | (15) |
Подставляя (15) в (14), получим:
| ( small OB=frac<large r cdot cos frac ><large cos frac cdot sin frac> ) |
| ( small OB=frac<large sin frac> ) | (16) |
Найдем площадь треугольника AOB:
| ( small S_=frac cdot AO cdot OB) | (17) |
Подставляя (15) и (16) в (17), получим:
| ( small S_=frac cdot frac<large cos frac> cdot frac<large sin frac>) ( small =frac.) |
Тогда площадь ромба равна:
| ( small S=4 cdot S_=frac.) | (18) |
Видео:Площадь ромбаСкачать
7. Площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности
Пусть известны сторона a=AB ромба и радиус r вписанной в ромб окружности (Рис.7). Найдем площадь ромба.
 |
Прямая AB является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OK ⊥ AB ). Прямая CD является касательной к окружности вписанной в ромб. Тогда ( small OL ⊥ CD ). Поэтому треугольники BKO и DLO прямоугольные. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (BO=OD, KO=OL). Тогда ( small angle BOK=angle DOL ). Углы BOK и KOD смежные. Следовательно ( small angle KOD=180°-angle BOK. ) ( small angle KOD+angle DOL ) ( small =180°-angle BOK+angle DOL=180°. ) Получили, что отрезки KO и OL находятся на одной прямой. То есть KL=KO+OL=2r. Поскольку ( small KL ⊥ AB, ) то является высотой ромба. Площадь ромба по стороне и высоте вычисляется из формулы (3). Тогда имеем:
Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Как найти площадь ромба
Площадь ромба можно вычислить разными способами.
Например, через половину произведения двух диагоналей
друг на друга, через синус и сторону в квадрате…
Также, площадь ромба равна площади параллелограмма.
Как следствие, так, как ромб является параллелограммом, с
равными сторонами, поэтому площадь ромба
можно найти через площадь параллелограмма.
Для ромба истинны и верны все свойства параллелограмма.
Формула площади ромба и формула
площади параллелограмма одинаковая.
Ромб — параллелограмм, у которого
все четыре стороны равны.
Формулировка площади ромба через параллелограмм:
Формула площади ромба через параллелограмм:
a — основание; h — высота;
Площадь ромба, можно также найти другим способом. Для
этого мысленно разделим ромба на четыре треугольника,
так чтобы каждая вершина была соединена с противоположной
вершиной. Получившиеся линии называют диагоналями. Если
известны длины двух диагоналей ромба, то можно найти площадь.
Формула площади ромба через две диагонали:
( S = frac2d_1 d_2 )
d1 и d2 — диагонали;
В самых редких случаях, если известен синус и одна из сторон,
используют формулу площади ромба через синус и квадрат стороны.
Формулировка площади ромба через синус и сторону в квадрате:
Формула площади ромба через синус и сторону в квадрате:
a — сторона; sin α — синус угла;
Рис. 1 — площадь ромба через площадь параллелограмма / основание и высоту.
Рис. 2 — площадь ромба через две диагонали
Рис. 3 — площадь ромба через синус и сторону в квадрате
Также, вы можете прочитать про свойства и признаки ромба.
Видео:Ромб 9 класс. Как найти площадь ромба ? | Огэ математика 2021 решение задачи.Скачать
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Ромб – это геометрическая фигура; параллелограмм, имеющие 4 равные стороны.
Видео:Площадь ромба - половина произведения его диагоналейСкачать
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По длине стороны и углу
Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:
S = a 2 ⋅ sin α
По длинам диагоналей
Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.
Видео:№493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.Скачать
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.
Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см 2 .
Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см) 2 ⋅ sin 30° = 36 см 2 ⋅ 1/2 = 18 см 2 .
Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.
Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см 2 .
💥 Видео
№476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. ВычислитеСкачать
№477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромбаСкачать
ЕГЭ 2023 Вариант 3 задача 1Скачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 17 СТОРОНА РОМБА РАВНА 9 НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ РОМБАСкачать
Решение задачи по геометрии. Ромб.Скачать
Задача 6 №27616 ЕГЭ по математике. Урок 66Скачать
Площадь ромбаСкачать
Геометрия. 8 класс. Урок 3. Площадь ромба.Скачать
Геометрия Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей 42 смСкачать
