Найти площадь многоугольника координаты вершин которого являются решениями системы уравнений

Калькулятор позволяет высчитывать по заданным координатам вершин площадь многоугольника (треугольника, трапеции, параллелограмма , пятиугольника и т.д) а также любых других непересекающихся многоугольников.

Используется метод трапеций, суть которого заключается в том, что многоугольник представляет собой сумму трапеций, две вершины из которого это две соседние вершины многоугольника, а две другие вершины трапеции, есть абсциссы координат двух вершин многоугольника.

Такой метод позволяет рассчитывать не только выпусклые многоугольники, но и любые другие, главное, что бы линии этого многоугольника не пересекались.

Кроме этого стоит обратить внимание на такие материалы как: Касательная к кривой второго порядка

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Координаты вершин задаются в общей строке вида x1:y1 x2:y2 x3:y3 . xn:yn

Координаты вершин являются действительные числа.

Координата каждой точки (абсцисса и ордината) записывается через двоеточие(без пробелов!)

Координаты вершин вводятся ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО по часовой или(!) против часовой стрелки.

Каждая координата вида x:y должен быть отделена пробелами от другой.

Нет никаких ограничений на количество координат вершин.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Примеры

mnog 5:7 9:7 10:2 2:2

Площадь многоугольника заданный координатами 5:7 9:7 10:2 2:2

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Алгоритм вычисления площади многоугольника

Расчёт площади многоугольника — это одна из наиболее распространенных задач вычислительной геометрии. Варианты решения этой задачи зависят от способа условий задачи. Так, если многоугольник задан в виде упорядоченного набора координат его вершин, то задача о нахождении площади многоугольника формулируется следующим образом: площадь многоугольника — замкнутой ломаной без самопересечений, заданной своими вершинами в порядке обхода, вычисляется по формуле:

где X₀,Y₀ = X_n+1,Y_n+1 (координаты последней точки совпадают с первой). Таким образом, реализация алгоритма вычисления площади многоугольника в C# может базироваться как на использовании «простых» типов данных, например, с использованием массивов, так и на использовании списков (List, LinkedList). Сегодня рассмотрим вариант реализации алгоритма определения площади многоугольника с использованием двусвязного списка.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Задача и условия

Многоугольник задан в виде замкнутой ломаной линии без самопересечений. Координаты вершин (X, Y) многоугольника заданы в порядке в порядке их обхода (по часовой или против часовой стрелки). Необходимо определить площадь многоугольника.

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

Алгоритм вычисления площади многоугольника

Используя навыки работы с двусвязными списками, алгоритм расчёта площади многоугольника можно представить следующим образом:

1. N-угольник задается списком из N+1 вершин где N+1 вершина совпадает с первой ;
2. Используя формулу, представленную выше, в цикле рассчитываем площадь многоугольника;
3. Выводим результат расчёта

Видео:№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

Реализация алгоритма вычисления площади многоугольника в C#

Вершину многоугольника можно описать в виде такого класса:

или использовать готовый класс PointF из пространства имен System.Drawing .

Все вершины будем хранить в списке:

Цикл в котором рассчитывается площадь:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Программа вычисления площади многоугольника в C#

Ниже представлен код программы, реализующей расчёт площади многоугольника в C#:

Помимо непосредственно расчёта площади, в программе также реализована проверка ввода пользователем координат — любой многоугольник должен состоять минимум из трех вершин. Последняя (замыкающая вершина с индексом N+1 ) добавляется программой автоматически после набора пользователем команды «Calc»:

Видео:Решение системы неравенств с двумя переменными. 9 класс.Скачать

Результаты работы программы

Ниже представлен скриншот работы программы по расчёту площади многоугольника в C#

Видео:ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Контрольная № 3 Геометрия 9 класс.Скачать

Итого

Сегодня мы рассмотрели пример реализации алгоритма расчёта площади многоугольника заданного в виде упорядоченного набора координат его вершин. Для реализации алгоритма в C# использован двусвязный список.

Видео:№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

Задача 5398 Найдите площадь выпуклого многоугольника.

Условие

Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты (x;y) которых являются целочисленными решениями уравнения 17y+45=17x+5xy.

Решение

Запишем уравнение в виде 5xy−17x+17y=45 и домножим обе части на 5. Получится (5x)(5y)−17(5x)+17(5y)=225, что равносильно (5x+17)(5y−17)=225−289=−64.

Анализируя все целочисленные делители числа 64, оставим из них только те, которые имеют вид 5k±2 при целом значении k. Это даст ±2,±8,±32. Произведение при этом может иметь один из видов 2⋅(−32), (−8)⋅8, 32⋅(−2), чему соответствуют три пары значений (x,y). Это A(−3;−3), B(−5;5), C(3;3).

Получается равнобедренный треугольник ABC, в котором BO — медиана и высота (O — начало координат). Ясно, что BO=52√ и AC=62√, откуда площадь треугольника равна BO⋅AC/2=30.

Видео:Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать

Урок 34. Площадь многоугольника

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника. На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника, заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х₁, y₁), (x₂, у₂), …, (х_N,у_N) —координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S,вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Входные данные:
5
0.6 2.1 1.8 3.6 2.2 2.3 3.6 2.4 3.1 0.5

Выходные данные:
S= 3.91

Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин. Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии. Буду Вам очень признательна за сотрудничество.

🔥 Видео

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Быстрый способ ➜ Найдите площадь многоугольника на рисункеСкачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 26Скачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

6 класс Математика. 3.11. Площадь многоугольникаСкачать