Найти площадь круга ограниченного окружностью заданной уравнением

В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями y = f ( x ) , x = g ( y ) в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Краткий обзор статьи

• Начнем с определения понятия криволинейного сектора, получим формулу для вычисления его площади. Для этого мы используем понятие определенного интеграла Дарбу.
• Подробно разберем решения задач с использованием таких кривых как кардиоида, архимедова спираль и лемниската Бернулли.
• В отдельную подтему мы выделили нахождение площади фигуры, которая представлена как разность двух криволинейных секторов.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Полярная система координат и криволинейный сектор

Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ 0 и полярный радиус r 0 ≥ 0 . Полярный угол φ 0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r 0 — это расстояние от заданной точки до начала координат.

На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ 0 = 3 π 4 и расстоянием до полюса r 0 = 4 .

Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью.

Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r = x 2 + y 2 φ = a r c t g y x , x ≠ 0 и обратно x = r · cos φ y = r · sin φ .

Координаты красной точки на чертеже 2 3 ; 2 . Положение этой точки задается углом φ 0 = a r c t g 2 2 3 = π 6 и расстоянием r 0 = 2 3 2 + 2 2 = 4 .

В полярной системе координат равенство φ = α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ = 0 . Равенство r = C > 0 задает окружность с центром в начале координат, где — это радиус.

Функция r = p ( φ ) , φ ∈ α ; β определяет некоторую линию в полярных координатах.

Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r = p ( φ ) , φ ∈ α ; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ = φ 0 ∈ α ; β . Однако мы будем встречать и отрицательные значения r = p ( φ ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

Дадим определение криволинейному сектору.

Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ = α , φ = β и некоторой линией r = p ( φ ) ≥ 0 , непрерывной на участке α ; β .

На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ = — π 6 , φ = π 6 , которые не являются ее границами.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Площадь криволинейного сектора — вывод формулы

Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: S к р у г о в о г о с е к т о р а = γ · R 2 2 . Задаем внутренний угол γ в радианах.

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами

φ = φ 1 , φ = φ 2 , . . . , φ = φ n — 1 , что α = φ 0 φ 1 φ 2 . . . φ n — 1 β и λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n φ i — φ i — 1 → 0 при n → + ∞ .

Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S ( G ) как сумму площадей секторов S ( G i ) на каждом из участков разбиения:

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i )

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r = p ( φ ) на i -ом отрезке φ i — 1 ; φ i , i = 1 , 2 , . . . , n как R m i n i и R m a x i . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора P i и Q i с максимальным и минимальным радиусами R m i n i и R m a x i соответственно.

Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Q i , i = 1 , 2 , . . . , n ; P i , i = 1 , 2 , . . . , n , обозначим как P и Q соответственно.

Их площади будут равны S ( P ) = ∑ i = 1 n S ( P i ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( R m i n i ) 2 · φ i — φ i — 1 и S ( Q ) = ∑ i = 1 n S ( Q i ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( R m a x i ) 2 · φ i — φ i — 1 , причем S ( P ) ≤ S ( G ) ≤ S ( Q ) .

Так как функция r = p φ непрерывна на отрезке α ; β , то функция 1 2 p 2 φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S ( P ) и S ( Q ) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

lim λ → 0 S ( P ) = lim λ → 0 S ( Q ) = S ( G ) ⇒ S ( G ) = lim λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 ( R m i n i ) 2 · φ i — φ i — 1 = = lim λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 ( R m a x i ) · φ i — φ i — 1 = 1 2 ∫ β α p 2 φ d φ

Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид:

S ( G ) = 1 2 ∫ β α p 2 φ d φ

Видео:№963. На окружности, заданной уравнением х2+у2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4Скачать

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r = 2 sin 2 φ и лучами φ = π 6 , φ = π 3 .

Решение

Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r = 2 sin ( 2 φ ) положительна и непрерывна на отрезке φ ∈ π 6 , π 3 .

Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.

S ( G ) = 1 2 ∫ π 6 π 3 ( 2 sin ( 2 φ ) 2 d φ = ∫ π 6 π 3 2 ( sin ( 2 φ ) 2 d φ = ∫ π 6 π 3 2 · 1 — cos 4 φ 2 d φ = ∫ π 6 π 3 ( 1 — cos ( 4 φ ) ) d φ = φ — 1 4 sin ( 4 φ ) π 6 π 3 = = π 3 — 1 4 sin 4 π 3 — π 6 — 1 4 sin 4 π 6 = π 6 + 3 4

Ответ: S ( G ) = π 6 + 3 4

Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ = φ 1 , φ = φ 2 , ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r = p ( φ ) . В этих случаях применить формулу S ( G ) = 1 2 ∫ α β p 2 ( φ ) d φ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p ( φ ) ≥ 0 для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r = p φ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться только на область определения и период функции.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r = — 3 · cos 3 φ .

Решение

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство — 3 · cos 3 φ ≥ 0 :

— 3 · cos 3 φ ≥ 0 ⇔ cos 3 φ ≤ 0 ⇔ cos φ ≤ 0 ⇔ ⇔ π 2 + 2 πk ≤ φ ≤ 3 π 2 + 2 πk , k ∈ Z

Построим функцию в полярных координатах на отрезке φ ∈ π 2 ; 3 π 2 (при k = 0 ). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π 2 + 2 πk и 3 π 2 + 2 πk соответственно для любого целого значения k .

S ( G ) = 1 2 ∫ π 2 3 π 2 ( — 3 · cos 3 φ ) d φ = 9 2 ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ

Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида K n ( x ) = sin x · cos n — 1 ( x ) n + n — 1 n K n — 2 ( x ) , где K n ( x ) = ∫ cos n ( x ) d x .

∫ cos 6 φ d φ = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 6 ∫ cos 4 φ d φ = = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 6 sin φ · cos 3 φ 4 + 3 4 cos 2 φ d φ = = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 sin φ · cos 3 φ 24 + 15 24 sin φ · cos φ 2 + 1 2 ∫ cos 0 φ d φ = = ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 sin φ · cos 3 φ 24 + 15 sin φ · cos φ 48 + 15 φ 48 π 2 3 π 2 = = 15 48 · 3 π 2 — 15 48 · π 2 = 5 π 16

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S ( G ) = 9 2 ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ = 9 2 · 5 π 16 = 45 π 32 .

Ответ: S ( G ) = 45 π 32

В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r = 3 · cos ( 3 φ ) .

Решение

Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.

cos ( 3 φ ) ≥ 0 ⇔ — π 2 + 2 πk ≤ 3 φ ≤ π 2 + 2 πk , k ∈ Z — π 6 + 2 π 3 k ≤ φ ≤ π 6 + 2 π 3 k , k ∈ Z

Таким образом, период функции r = 3 · cos 3 φ равен 2 π 3 . Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.

Построим фигуру на графике.

Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φ ∈ π 2 ; 5 π 6 (при k = 1 ):

1 2 ∫ π 2 5 π 6 9 cos ( 3 φ ) d φ = 1 2 · 3 sin ( 3 φ ) π 2 5 π 6 = 3 2 sin 3 · 5 π 6 — sin 3 · π 2 = 3 2 ( 1 — ( — 1 ) = 3

Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.

Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли задается уравнением r = α · cos 2 φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при — π 4 + π · k ≤ φ ≤ π 4 + π · k , k ∈ Z .

Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

Для вычисления площади используем нужную формулу:

S ( G ) = 2 · 1 2 ∫ — π 4 π 4 a 2 cos ( 2 φ ) 2 φ = a 2 2 ( sin ( 2 φ ) ) — π 4 π 4 = = a 2 2 sin 2 · π 4 — sin 2 · — π 4 = a 2

Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a .

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r = 2 a ( 1 + cos φ ) . В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2 π . Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число, а верхним, то, которое на 2 π больше нижнего.

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 2 a ( 1 + cos φ ) , для φ ∈ 0 ; 2 π :

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( 2 a ( 1 + cos φ ) ) 2 d φ = 2 a 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos φ + cos 2 φ ) d φ = = 2 a 2 ∫ 0 2 π 1 + 2 cos φ + 1 + cos 2 φ 2 d φ = = 2 a 2 ∫ 0 2 π 3 2 + 2 cos φ + cos ( 2 φ ) 2 d φ = = 2 a 2 3 2 φ + 2 sin φ + 1 4 sin 2 φ 0 2 π = 6 π · a 2

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r = b + 2 a · cos φ . В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при b = 2 a .

Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда функцию r неотрицательная.

При b — 2 a функция r = b + 2 a · cos φ будет отрицательной для любого значения угла φ .

При b = — 2 a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

При — 2 a b 0 функция r = b + 2 a · cos φ неотрицательна для φ ∈ — a r c cos — b 2 a + 2 πk ; arccos — b 2 a + 2 πk , k ∈ Z .

При 0 b 2 a функция r = b + 2 a · cos φ неотрицательна для φ ∈ — a r c cos — b 2 a + 2 πk ; arccos — b 2 a + 2 πk , k ∈ Z . Она ограничивает фигуру, которая по конфигурации напоминает кардиоиду.

При b > 2 a функция r = b + 2 a · cos φ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b .

Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r = — 3 + 6 cos φ и r = 5 + 4 cos φ в полярной системе координат.

Решение

Формула r = — 3 + 6 cos φ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..

Функция r = — 3 + 6 cos φ определена для всех значений угла φ . Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:

— 3 + 6 cos φ ≥ 0 ⇔ cos φ ≥ 1 2 ⇔ — π 3 + 2 π k ≤ φ ≤ π 3 + 2 πk , k ∈ Z

Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля:

S ( G ) = 1 2 ∫ — π 3 π 3 ( — 3 + 6 cos φ ) 2 d φ = 9 2 ∫ — π 3 π 3 ( 1 — 4 cos φ + 4 cos 2 φ ) d φ = = 9 2 ∫ — π 3 π 3 1 — 4 cos φ + 4 · 1 + cos 2 φ 2 d φ = = 9 2 ∫ — π 3 π 3 ( 3 — 4 cos φ + 2 cos ( 2 φ ) ) d φ = 9 2 · 3 φ — 4 sin φ + sin ( 2 φ — π 3 π 3 = = 9 2 · 3 · π 3 — 4 sin π 3 + sin 2 π 3 — 3 · — π 3 — 4 sin — π 3 + sin — 2 π 3 = = 9 2 · 2 π — 3 3

Улитка Паскаля, определяемая формулой r = 5 + 4 cos φ , соответствует пятому пункту. Функция r = 5 + 4 cos φ определена и положительна для всех действительных значений φ . Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( 5 + 4 cos φ ) 2 d φ = 1 2 ∫ 0 2 π ( 25 + 40 cos φ + 16 cos 2 φ ) d φ = = 1 2 ∫ 0 2 π 25 + 40 cos φ + 16 · 1 + cos ( 2 φ ) 2 d φ = = 1 2 ∫ 0 2 π ( 33 + 40 cos φ + 8 cos ( 2 φ ) ) d φ = 1 2 · 33 φ + 40 sin φ + 4 sin ( 2 φ 0 2 π = = 1 2 · 33 · 2 π + 40 sin ( 2 π + 4 sin ( 4 π ) — 33 · 0 + 40 sin 0 + 4 sin 0 = 33 π

Ответ: S ( G ) = 33 π

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r = α φ , α > 0 , а вторая первым витком логарифмической спирали r = α φ , α > 1 .

Решение

Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( α φ ) 2 d ϕ = α 2 2 ∫ 0 2 π φ 2 d φ = α 2 2 · φ 3 3 0 2 π = 4 α 3 π 3 3

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( α ϕ ) 2 d ϕ = 1 2 ∫ 0 2 π a 2 φ d φ = 1 4 ln a · a 2 φ 0 2 π = = 1 4 ln a · a 4 π — 1

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ = α , φ = β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ ∈ α ; β функциями r = p 1 ( φ ) и r = p 2 ( φ ) , причем p 1 ( φ ) ≤ p 2 ( φ ) для любого угла φ = φ 0 ∈ α ; β .

Находим площадь фигуры по формуле S ( G ) = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) — p 1 2 ( φ ) d φ .

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G 2 и G 1 .

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) d φ — 1 2 ∫ α β p 1 2 ( φ ) d φ = = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) — p 1 2 ( φ ) d φ

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ = 0 , φ = π 3 , r = 3 2 , r = 1 2 φ в полярной системе координат.

Решение

Построим заданную фигуру на графике.

Очевидно, что r = 3 2 больше r = 1 2 φ для любого φ ∈ 0 ; π 3 . Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 π 3 3 2 2 — 1 2 φ 2 d φ = 1 2 ∫ 0 π 3 9 4 — 2 — 2 φ d φ = = 1 2 · 9 4 φ + 1 2 · 2 — 2 φ ln 2 0 π 3 = 1 2 · 9 4 φ + 1 ln 2 · 1 2 2 φ + 1 0 π 3 = = 1 2 · 9 4 · π 3 + 1 ln 2 · 1 2 2 · π 3 + 1 — 9 4 · 0 + 1 ln 2 · 1 2 2 · 0 + 1 = = 1 2 · 3 π 4 + 2 — 2 π 3 — 1 2 · ln 2

Ответ: S ( G ) = 1 2 · 3 π 4 + 2 — 2 π 3 — 1 2 · ln 2

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y = 1 3 x , x = 3 x , окружностями ( x — 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 13 , ( x — 4 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 25 .

Решение

В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

x = r · cos φ y = r · sin φ ⇒ y = 1 3 x ⇔ r · sin φ = r · cos φ 3 ⇔ t g φ = 1 3 ⇔ φ = π 6 + πk y = 3 x ⇔ r · sinφ = 3 · r · cosφ ⇔ tgφ = 3 ⇔ φ = π 3 + πk ( x — 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 13 ⇔ x 2 + y 2 = 4 x + 6 y ⇔ r = 4 cosφ + 6 sinφ ( x — 4 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 8 x + 6 y ⇔ r = 8 cosφ + 6 sinφ

Функция r = 8 cos φ + 6 sin φ больше r = 4 cos φ + 6 sin φ для любого φ ∈ π 6 ; π 3 . Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

S ( G ) = 1 2 ∫ π 6 π 3 8 cos φ + 6 sin φ 2 — 4 cos φ + 6 sin φ 2 d φ = = 1 2 ∫ π 6 π 3 ( 48 cos 2 φ + 48 cos φ · sin φ ) d φ = = 24 ∫ π 6 π 3 cos 2 φ d φ + 24 ∫ π 6 π 3 cos φ · sin φ d φ = = 12 ∫ π 6 π 3 ( 1 + cos 2 φ ) d φ + 24 ∫ π 6 π 3 sin φ d ( sin φ ) = = 12 · φ + 1 2 sin ( 2 φ ) π 6 π 3 + 12 · sin 2 φ π 6 π 3 = = 12 · π 3 + 1 2 sin 2 π 3 — π 6 + 1 2 sin 2 π 6 + 12 · sin 2 π 3 — sin 2 π 6 = = 12 · π 6 + 12 · 3 2 2 — 1 2 2 = 2 π + 6

Видео:Площадь круга. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением х ^ 2 + у ^ 2 − 4х + 6у + 3 = 0?

Геометрия | 5 — 9 классы

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением х ^ 2 + у ^ 2 − 4х + 6у + 3 = 0.

X² + y² — 4x + 6y + 3 = 0 приведём к каноническому виду уравнение окружности :

(x² — 4x + 4)) + (y² + 6y + 9) — 16 = 0

(x — 2)² + (y + 3)² = 4² R = 4

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12?

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12.

Найдите площадь круга ограниченного окружностью, описанной около этого треугольника.

Видео:№959. Начертите окружность, заданную уравнением: а) х2+у2= 9Скачать

Если длина окружности увеличится в 14 раз, то во сколько раз увеличится площадь ограниченного ею круга?

Если длина окружности увеличится в 14 раз, то во сколько раз увеличится площадь ограниченного ею круга?

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Длина окружности равна 100, 48 см?

Длина окружности равна 100, 48 см.

Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности равна С?

Длина окружности равна С.

Найдите площадь ограниченного ею круга.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Длина окружности равна 18см ?

Длина окружности равна 18см .

Вычислите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Окружность задана уравнением (х + 5) ^ 2 + (y — 1) ^ 2 = 16Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек A( — 2 ; 4), В( — 5 ; — 3), С( — 7 ; — 2), D(1 ; 5) лежат : А)внутри круга, ограниченного данн?

Окружность задана уравнением (х + 5) ^ 2 + (y — 1) ^ 2 = 16

Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек A( — 2 ; 4), В( — 5 ; — 3), С( — 7 ; — 2), D(1 ; 5) лежат : А)внутри круга, ограниченного данной окружностью

В)вне круга, ограниченного данной окружностью.

Видео:№961. Окружность задана уравнением (x + 5)2 + (y-1)2= 16. Не пользуясь чертежомСкачать

Длинна окружности равна 10 пи ?

Длинна окружности равна 10 пи .

Вычислите площадь круга ограниченного данной окружности.

Видео:Площадь кругаСкачать

Длина окружности равна 6π ?

Длина окружности равна 6π .

Найдите площадь круга ограниченного этой окружностью.

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Длина окружности 16 √пи?

Длина окружности 16 √пи.

Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, длина которой равна 32пи?

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, длина которой равна 32пи.

Вопрос Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением х ^ 2 + у ^ 2 − 4х + 6у + 3 = 0?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

БОльшая высота проведена к меньшей стороне. Пусть искомая высота h. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. Р = ½(9 + 10 + 11) = 15 S = ✓(15•(15 — 9)•(15 — 10)•(15 — 11)) S = ✓(15•6•5•4) S = ✓(5•3•3•2•5•4) = 5•3•2✓2 S = 30✓2 С другой сторон..

Если что — то не понятно пиши.

TgA = 3 / 4 посчитано по клеточкам, учитывая, что тангенсом называют отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Выделим в данном треугольнике другой, прямоугольный треугольник (см. Прикрепленный рисунок). Из него находимtgA = 3 / 4 = 0, 75 Ответ : tgA = 0, 75.

Окружность равна 360°. Делим ее на 1 + 3 + 5 = 9 частей. Одна часть окружности равна 40°. То есть дуги равны 40°, 120°, 200°. Вписанные углы А, В и С опираются на дуги ВС, АС и АВ соответственно и равны половинам их градусных мер. Ответ .

Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, заданной уравнением x²+y²-4x+6y+8=0

Ответ:

Объяснение:

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты:

x² + y² — 4x + 6y + 8 = 0 ⇒ x² — 4x + 4 — 4 + y² + 6y + 9 — 9 + 8 = 0 ⇒

⇒ (x-2)² — 4 + (y+3)² — 9 + 8 = 0 ⇒ (x-2)² + (y+3)² = 5.

Получили каноническое уравнение окружности вида:

(x-x0)² + (y-y0)² = R², где x0, y0 — координаты центра окружности, а R — радиус.