Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
Предположим, что коэффициенты и представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням , так что уравнение (1) можно переписать в виде
Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда
Подставляя это выражение и его производных в (2), получаем
Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях в левой части (4), получаем ряд уравнений:
Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает , второе дает , третье — , и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить , зная .
Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения и , причем для выберем и , а для выберем и , что равносильно следующим начальными условиям:
Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений и .
Если начальные условия имеют вид , то очевидно,
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если ряды и сходятся при , то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях и явится решением уравнения (1).
В частности, если и — многочлены от , то ряд (3) будет сходиться при любом значении .
Пример 1. Найти решения уравнения в виде степенного ряда.
Решение. Ищем в виде ряда , тогда
Подставляя и в (6), получаем
Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях , получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты
Положим для определенности, что . Тогда легко находим, что
Видео:301 Нахождение решения дифференци ального уравнения в виде степенного рядаСкачать
Способ последовательного дифференцирования
Способ последовательного дифференцирования
Решение уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора:
при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения ,
,
, находим третий коэффициент:
. Значения
находим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по
и вычисления производных при
. Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение уравнения (65.2) для тех значений
, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2).
Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если и
рассматривать как произвольные постоянные.
Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.
Пример №65.4.
Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения .
Решение:
Будем искать решение уравнения в виде
Здесь . Находим
, подставив
в исходное уравнение:
. Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное! уравнение:
При имеем:
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
Пример решения контрольной работы №2
Задание 1.
Для уравнения найти пять первых, отличных от нуля слагаемых приближённого решения.
В данном случае
, тогда
(2)
тогда
;
.
Подставим найденные значения производных в формулу (2):
Сравним найденное решение с решением в квадратурах. Запишем уравнение в виде: . Его вид соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка, решаем его методом Бернулли:
. Подставим в уравнение:
. Функции
и
найдём как решение системы:
Решаем первое уравнение:
.
Подставим найденное решение во второе уравнение системы:
.
При нахождении неопределённого интеграла была использована формула интегрирования по частям. Тогда . Произвольную постоянную С найдём из начального условия:
;
.
Для сравнения составим таблицу значений приближённого и точного решений на промежутке изменения х от — 1 до 1 с шагом 0,2.
х | — 1 | — 0,8 | — 0,6 | — 0,4 | — 0,2 | |
| 0,184 | 0,425 | 0,674 | 0,935 | 1,209 | 1,5 |
| 0,1875 | 0,426 | 0,6747 | 0,948 | 1,213 | 1,5 |
х | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | |
| 1,811 | 2,146 | 2,511 | 2,913 | 3,359 |
| 1,8107 | 2,146 | 2,5107 | 2,9112 | 3,3542 |
Задание 2.Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Решение ищем в виде ряда:
.
Согласно условию
тогда
Подставляя найденное значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения:
Задание 3
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию
, заданную на отрезке
.
Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она раскладывается в ряд Фурье.
Ряд Фурье для функции на отрезке
имеет вид:
где коэффициенты находятся по формуле:
Замечание:
Находим коэффициенты ряда:
Следовательно,
Следовательно,
Следовательно,
Ряд Фурье для данной функции имеет вид:
Контрольная работа № 2
Дисциплина «Дополнительные главы математики»
Направления 23.03.03.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке
.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке
.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора ,
найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию
заданную на отрезке .
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке
.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора ,
найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке
.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке
.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке
.
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-
данную на отрезке .
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-
данную на отрезке .
Задание 1.
Решить дифференциальное уравнение ;
а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;
Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.
Задание 2.
Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения ,
(записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).
Задание 3.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-
данную на отрезке.
Оглавление
1.Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравне — ний. 3
1.1. Основные определения и понятия………………………………………………………..3
1.2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переме —
1.3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка……………….5
1.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бе —
1.5. Задачи на составление дифференциальных уравнений………………………………. 10
1.5.1. Задачи с геометрическим. содержанием на составление дифференциальных. уравне-
1.5.2. Задачи различного характера на составление дифференциальных уравнений……..14
1.6. Дифференциальные уравнения вида ……………………………….…. 17
1.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици —
ентами и специальной правой частью………………………………..…………….…..19
1.8. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных..21
1.9. Пример решения контрольной работы №1…………………………………. ………….23
2. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. Ряд Фурье…….….……33
2.1. Нахождение приближённого решения дифференциальных уравнений………. ……..33
2.2. Тригонометрические ряд. Ряд Фурье…………………………………………….……..33
2.3 Пример решения контрольной работы №2………………………………………………..35
💥 Видео
Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов -3Скачать
Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.Скачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Дифференциальное уравнение ведет к разложению в ряд Тейлора и сумме ряда?Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
11.1 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (часть1)Скачать
Математика без Ху!ни. Ряды. Часть 1. Сумма ряда. Сходимость. Геометрическая прогрессия.Скачать
Метод разложения по малому параметру для решения дифференциального уравненияСкачать
Математический анализ, 39 урок, Формулы и ряды Тейлора и МаклоренаСкачать
Приближенное вычисление интеграла с помощью ряда Тейлора. 2-ой пример.Скачать
Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать
Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать