Найти первые пять членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения

Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

Предположим, что коэффициенты и представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням , так что уравнение (1) можно переписать в виде

Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда

Подставляя это выражение и его производных в (2), получаем

Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях в левой части (4), получаем ряд уравнений:

Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает , второе дает , третье — , и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить , зная .

Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения и , причем для выберем и , а для выберем и , что равносильно следующим начальными условиям:

Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений и .

Если начальные условия имеют вид , то очевидно,

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если ряды и сходятся при , то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях и явится решением уравнения (1).

В частности, если и — многочлены от , то ряд (3) будет сходиться при любом значении .

Пример 1. Найти решения уравнения в виде степенного ряда.

Решение. Ищем в виде ряда , тогда

Подставляя и в (6), получаем

Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях , получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты

Положим для определенности, что . Тогда легко находим, что

Видео:301 Нахождение решения дифференци ального уравнения в виде степенного рядаСкачать

Способ последовательного дифференцирования

Способ последовательного дифференцирования

Решение уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора:

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения , , , находим третий коэффициент: . Значения находим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по и вычисления производных при . Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение уравнения (65.2) для тех значений , при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2).

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если и рассматривать как произвольные постоянные.

Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример №65.4.

Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения .

Решение:

Будем искать решение уравнения в виде

Здесь . Находим , подставив в исходное уравнение: . Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное! уравнение:

При имеем:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Пример решения контрольной работы №2

Задание 1.

Для уравнения найти пять первых, отличных от нуля слагаемых приближённого решения.

В данном случае

, тогда

(2)

тогда

;

.

Подставим найденные значения производных в формулу (2):

Сравним найденное решение с решением в квадратурах. Запишем уравнение в виде: . Его вид соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка, решаем его методом Бернулли: . Подставим в уравнение: . Функции и найдём как решение системы:

Решаем первое уравнение:

.

Подставим найденное решение во второе уравнение системы:

.

При нахождении неопределённого интеграла была использована формула интегрирования по частям. Тогда . Произвольную постоянную С найдём из начального условия:

; .

Для сравнения составим таблицу значений приближённого и точного решений на промежутке изменения х от — 1 до 1 с шагом 0,2.

х	— 1	— 0,8	— 0,6	— 0,4	— 0,2
	0,184	0,425	0,674	0,935	1,209	1,5
	0,1875	0,426	0,6747	0,948	1,213	1,5

х	0,2	0,4	0,6	0,8
	1,811	2,146	2,511	2,913	3,359
	1,8107	2,146	2,5107	2,9112	3,3542

Задание 2.Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Решение ищем в виде ряда:

.

Согласно условию

тогда

Подставляя найденное значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения:

Задание 3

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , заданную на отрезке .

Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она раскладывается в ряд Фурье.

Ряд Фурье для функции на отрезке имеет вид:

где коэффициенты находятся по формуле:

Замечание:

Находим коэффициенты ряда:

Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

Ряд Фурье для данной функции имеет вид:

Контрольная работа № 2

Дисциплина «Дополнительные главы математики»

Направления 23.03.03.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора ,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию

заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора ,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке.

Оглавление

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравне — ний. 3

1.1. Основные определения и понятия………………………………………………………..3

1.2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переме —

1.3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка……………….5

1.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бе —

1.5. Задачи на составление дифференциальных уравнений………………………………. 10

1.5.1. Задачи с геометрическим. содержанием на составление дифференциальных. уравне-

1.5.2. Задачи различного характера на составление дифференциальных уравнений……..14

1.6. Дифференциальные уравнения вида ……………………………….…. 17

1.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици —

ентами и специальной правой частью………………………………..…………….…..19

1.8. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных..21

1.9. Пример решения контрольной работы №1…………………………………. ………….23

2. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. Ряд Фурье…….….……33

2.1. Нахождение приближённого решения дифференциальных уравнений………. ……..33

2.2. Тригонометрические ряд. Ряд Фурье…………………………………………….……..33

2.3 Пример решения контрольной работы №2………………………………………………..35

💡 Видео

Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов -3Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Дифференциальное уравнение ведет к разложению в ряд Тейлора и сумме ряда?Скачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

11.1 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (часть1)Скачать

Математика без Ху!ни. Ряды. Часть 1. Сумма ряда. Сходимость. Геометрическая прогрессия.Скачать

Математический анализ, 39 урок, Формулы и ряды Тейлора и МаклоренаСкачать

Метод разложения по малому параметру для решения дифференциального уравненияСкачать

Приближенное вычисление интеграла с помощью ряда Тейлора. 2-ой пример.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать