Найти первые пять членов разложения в ряд решения дифференциального уравнения

Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

Предположим, что коэффициенты и представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням , так что уравнение (1) можно переписать в виде

Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда

Подставляя это выражение и его производных в (2), получаем

Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях в левой части (4), получаем ряд уравнений:

Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает , второе дает , третье — , и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить , зная .

Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения и , причем для выберем и , а для выберем и , что равносильно следующим начальными условиям:

Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений и .

Если начальные условия имеют вид , то очевидно,

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если ряды и сходятся при , то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях и явится решением уравнения (1).

В частности, если и — многочлены от , то ряд (3) будет сходиться при любом значении .

Пример 1. Найти решения уравнения в виде степенного ряда.

Решение. Ищем в виде ряда , тогда

Подставляя и в (6), получаем

Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях , получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты

Положим для определенности, что . Тогда легко находим, что

Видео:Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать

Способ последовательного дифференцирования

Способ последовательного дифференцирования

Решение уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора:

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения , , , находим третий коэффициент: . Значения находим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по и вычисления производных при . Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение уравнения (65.2) для тех значений , при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2).

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если и рассматривать как произвольные постоянные.

Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример №65.4.

Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения .

Решение:

Будем искать решение уравнения в виде

Здесь . Находим , подставив в исходное уравнение: . Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное! уравнение:

При имеем:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:301 Нахождение решения дифференци ального уравнения в виде степенного рядаСкачать

Пример решения контрольной работы №2

Задание 1.

Для уравнения найти пять первых, отличных от нуля слагаемых приближённого решения.

В данном случае

, тогда

(2)

тогда

;

.

Подставим найденные значения производных в формулу (2):

Сравним найденное решение с решением в квадратурах. Запишем уравнение в виде: . Его вид соответствует общему виду линейного дифференциального уравнения первого порядка, решаем его методом Бернулли: . Подставим в уравнение: . Функции и найдём как решение системы:

Решаем первое уравнение:

.

Подставим найденное решение во второе уравнение системы:

.

При нахождении неопределённого интеграла была использована формула интегрирования по частям. Тогда . Произвольную постоянную С найдём из начального условия:

; .

Для сравнения составим таблицу значений приближённого и точного решений на промежутке изменения х от — 1 до 1 с шагом 0,2.

х	— 1	— 0,8	— 0,6	— 0,4	— 0,2
	0,184	0,425	0,674	0,935	1,209	1,5
	0,1875	0,426	0,6747	0,948	1,213	1,5

х	0,2	0,4	0,6	0,8
	1,811	2,146	2,511	2,913	3,359
	1,8107	2,146	2,5107	2,9112	3,3542

Задание 2.Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Решение ищем в виде ряда:

.

Согласно условию

тогда

Подставляя найденное значения производных в ряд, получим искомое решение дифференциального уравнения:

Задание 3

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , заданную на отрезке .

Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она раскладывается в ряд Фурье.

Ряд Фурье для функции на отрезке имеет вид:

где коэффициенты находятся по формуле:

Замечание:

Находим коэффициенты ряда:

Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

Ряд Фурье для данной функции имеет вид:

Контрольная работа № 2

Дисциплина «Дополнительные главы математики»

Направления 23.03.03.

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора ,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию

заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора ,

найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию заданную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке , изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням хрешения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке .

Задание 1.

Решить дифференциальное уравнение ;

а) приближённо, используя формулу Тейлора , найдя, пять первых, отличных от нуля слагаемых;

Сравнить полученные решения, составив таблицу значений на промежутке, изменяя значения х с шагом 0,2.

Задание 2.

Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать 3 первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Задание 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию за-

данную на отрезке.

Оглавление

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравне — ний. 3

1.1. Основные определения и понятия………………………………………………………..3

1.2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переме —

1.3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка……………….5

1.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бе —

1.5. Задачи на составление дифференциальных уравнений………………………………. 10

1.5.1. Задачи с геометрическим. содержанием на составление дифференциальных. уравне-

1.5.2. Задачи различного характера на составление дифференциальных уравнений……..14

1.6. Дифференциальные уравнения вида ……………………………….…. 17

1.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффици —

ентами и специальной правой частью………………………………..…………….…..19

1.8. Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных..21

1.9. Пример решения контрольной работы №1…………………………………. ………….23

2. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений. Ряд Фурье…….….……33

2.1. Нахождение приближённого решения дифференциальных уравнений………. ……..33

2.2. Тригонометрические ряд. Ряд Фурье…………………………………………….……..33

2.3 Пример решения контрольной работы №2………………………………………………..35

🎬 Видео

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальное уравнение ведет к разложению в ряд Тейлора и сумме ряда?Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.Скачать

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов -3Скачать

11.1 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (часть1)Скачать

Математика без Ху!ни. Ряды. Часть 1. Сумма ряда. Сходимость. Геометрическая прогрессия.Скачать

Метод разложения по малому параметру для решения дифференциального уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Математический анализ, 39 урок, Формулы и ряды Тейлора и МаклоренаСкачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Приближенное вычисление интеграла с помощью ряда Тейлора. 2-ой пример.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать