Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена).
Способ неопределенных коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям, т. е. уравнениям вида
И состоит в следующем. Если все коэффициентыэтого уравнения и свободный членразлагаются в ряды по степеням, сходящиеся в интервале, то искомое решениетакже представляется степенным рядом
сходящимся в этом же интервале. Подставляя в уравнение функциюи ее производные, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях Из полученных при этом уравнений и заданных начальных условий находят коэффициенты
Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения. Приближённо — с помощью ряда.
Типовая задача формулируется следующим образом:
Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения …, удовлетворяющее начальному условию , в виде трёх (реже — 4-х, 5-х) отличных от нуля членов ряда Тейлора.
Искомое частное решение раскладывается в данный ряд по известной формуле:
Идея и смысл данного действия состоит в том, что для некоторых дифференциальных уравнений и при некоторых построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению . То есть, чем больше членов ряда рассмотрено, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции .Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям.
Пример 1. Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.
Решение: в условиях данной задачи , поэтому общая формула Тейлора
трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:
В практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд. Разбираемся со значениями . Этапы решения удобно занумеровать:
- 0) На нулевом шаге записываем значение , которое всегда известно из условия. Следует отметить, что данное значение не равно нулю! Т.к. по условию требуется найти четыре отличных от нуля членов ряда.
- 1) Вычислим . Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение получаем
- 2) Вычислим . Сначала находим вторую производную:
Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение получаем
Найдено три ненулевых члена разложения, необходим ещё один:
3) Находим третью производную — это производная от второй производной:
Так получается, что в данном задании каждая следующая производная оказывается выраженной через предыдущую производную.
Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение получаем
Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и проведём упрощения:
Условие рассматриваемого задания, как правило, не требует чертежа, но построение демонстрационного графика, может наглядно разъяснить сущность выполненных действий.
Изобразим точное частное решение и его приближение:
Из графического рисунка 1. видно, что уже 4 члена ряда дают достаточную точность — на довольно длинном участке дуга кубической функции практически совпала с идеальным решением. При этом оба графика проходят через точку начального условия, и естественно, что вблизи неё точность будет максимальной. Очевидно, что чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем лучше соответствующий многочлен приблизит экспоненту.
Часто в решении задействованы производные более высоких порядков. Повторим материал:
четвёртая производная — это производная от третьей производной;
пятая производная — это производная от четвёртой и т.д.;
— обозначения 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой и 10-й производных соответственно.
Помимо римских цифр, в часто используется и такой вариант:
— обязательно со скобками, чтобы не путать производную с «игреком в степени».
Для успешного выполнения данной задачи необходимо уметь дифференцировать неявную функцию.
Далее нами будут широко применяться правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции
Здесь новизна в производной (вторая строка), где в качестве внешней функции выступает степень (квадрат), а в качестве вложения — производная .
Алгоритм и технику решения рассмотрим с общего случая разложения в ряд Тейлора:
Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.
Решение начинается стандартно:
Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:
В данной задаче , следовательно:
Теперь последовательно находим значения — до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. В случае успеха, отличны от нуля будут — это идеальный случай с минимальным количеством работы.
Проводим пункты решения:
- 0) По условию .
- 1) Вычислим . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим . Подставим в правую часть известные значения
Данный результат не удовлетворяет, поскольку нас интересуют ненулевые значения.
- 2) Находим вторую производную и подставляем в правую часть известные значения:
- 3) Находим — производную от второй производной:
Подставим в правую часть известные значения
Третье ненулевое значение.
Подставляем «выделенные жирным шрифтом» числа в нашу формулу:
Ответ: искомое приближенное разложение частного решения:
В рассмотренном примере присутствовал всего один ноль на втором месте, что является хорошим результатом. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Нули очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе.
На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена:
Представить приближенно частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.
Решение: можно сразу записать разложение Маклорена, но оформление задачи академичнее начать с общего случая:
Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид:
В данном случае , следовательно:
- 0) По условию .
- 1) Вычислим . Первая производная готова.
2) Найдём вторую производную:
И подставим в неё
3) Находим . Распишем подробно:
К производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых на последнем шаге и запись произведения в виде степени: (там же).
Подставим в найденное ранее
Три ненулевых значения получены.
Подставляем «выделенные жирным шрифтом» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения:
Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда
Решение: перед нами дифференциальное уравнение второго порядка. По условию и нам необходимо воспользоваться рядом Маклорена. Запишем знакомое разложение, используя возможно больше слагаемых:
Алгоритм работает следующим образом:
- 0) — по условию.
- 1) — по условию.
- 2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной: .
И подставим :Получено первое ненулевое значение.
Находим производные и выполняем подстановки:
Второе ненулевое значение.
5) -приводим подобные производные.
Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения:
Видео:301 Нахождение решения дифференци ального уравнения в виде степенного рядаСкачать
Задача Коши онлайн
Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
при заданных начальных условиях:
При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .
Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:
удовлетворяющее начальным условиям:
Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:
Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:
Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :
Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :
Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:
Видео:Частное решение ДУ, с помощью рядаСкачать
Другие полезные разделы:
Видео:Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.Скачать
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
Видео:Формула Тейлора за 3 минуты - bezbotvyСкачать
Найти первые 4 члена разложения дифференциального уравнения в ряд если
Сходящиеся степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью вычисляют приближенные значения функций, пределы некоторых функций и «неберущиеся» или сложные для вычисления интегралы с заданной точностью, а также интегрируют дифференциальные уравнения.
1. Приближенное вычисление значений функций
Пусть требуется вычислить значение функции f ( x ) при x = x 0 с заданной точностью ε>0. Предположим, что для функции в окрестности точки x 0 имеет место теорема 3.27, то есть применима формула Тейлора (3.52) главы III с остаточным членом (3.54) в форме Лагранжа. При x 0 = 0 получим ряд Маклорена, обозначенный ранее формулой (3.55):
Примечание. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный для функции f ( x ), либо расходится, либо сходится не к функции f ( x ). Говорят, что такая функция в ряд Маклорена не раскладывается 
Вспомним разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций, обозначенных в главе III (3.57) – (3.61), на основе которых приведём соответствующие разложения в степенной ряд:
областью сходимости рядов (9.15), (9.16), (9.17) является вся числовая прямая (–∞;+∞) ;
После выяснения сходимости на концах интервала областью сходимости ряда (9.18) является полуинтервал (–1;1].
с интервалом сходимости (–1;1) ; на концах интервала при x =± 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m .
Пример 9.9. Найти sin 28 0 с точностью до 0,0001.
Решение . Переведем 28 0 в действительное число. Составим пропорцию 
. Отсюда получим 
. Согласно формуле (9.15)
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы 9.8 Лейбница. Так как четвертый член ряда меньше заданной точности 0,0000013 sin 28 0 с точностью до 0,0001 достаточно первых трех членов ряда. Окончательно получаем 
.
Значение sin 28 0 , вычисленное с помощью калькулятора равно 0,46923, найденное по таблице Брадиса равно 0,4695
Примечание . В случаях знакопеременных или знакоположительных рядов составляют ряд из абсолютных величин членов и стараются подобрать положительный ряд с большими членами (часто таким рядом является сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. В качестве оценки погрешности берут величину остатка этого нового ряда
2. Приближенное вычисление пределов функций
Применение степенных рядов к приближенному вычислению пределов различных функций является либо альтернативным методом решения, либо позволяет найти пределы, другими способами не вычисляемые. Чтобы проиллюстрировать последний случай, рассмотрим пример.
Пример 9.10. Найти предел функции 
.
Решение. В главе III нами были рассмотрены различные способы вычисления пределов функций с помощью замечательных пределов (пункт III.2) и теоремы 3.21 Лопиталя (пункт III.5). Однако для нахождения заданного предела данные методы решения не применимы, так как функция под пределом содержит одновременно экспоненциальную и тригонометрические функции, а в процессе дифференцирования по правилу Лопиталя числитель и знаменатель дроби усложняются.
Вычислим заданный предел путем разложения в степенные ряды все функции, содержащиеся под пределом. При этом возьмем столько членов разложений, чтобы наибольшая степень переменной равнялась четырем, так как x → 0 и x 4 дает точность вычислений не менее 0,0001.
После применения формул (9.15)-(9.17) получим:
3. Приближенное вычисление определенных интегралов
Пусть требуется вычислить 
с точностью до ε>0. Для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в тех случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно или трудеёмко, также применяются сходящиеся бесконечные ряды.
Если подынтегральную функцию f ( x ) можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (– R ; R ) включает в себя отрезок [ a ; b ], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяются так же, как и при вычислении значений функций.
Пример 9.11. Вычислить 
, 
с точностью до 0,001.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив в разложении (9.15) функции sin x аргумент x на 
, имеем:
Полученный ряд сходится абсолютно по теореме 9.8 (проверить самостоятельно). Так как четвертый его член по абсолютной величине 0,00011 
Пример 9.12. Вычислить интеграл 
при с точностью до 0,0001.
Решение . Разложим по (9.17) подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя x на (– x 3 ):
На отрезке 
проинтегрируем данное равенство:
Получили знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница (теорема 9.8). Так как требуемая точность вычислений составляет 0,0001 и четвертый член ряда по модулю 0,000016 меньше 0,0001, то достаточно сложить первые три слагаемые: 
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений
В главе III.5 (схема 32) был рассмотрен механический смысл производной функции одной переменной. Если уравнение траектории движения материальной точки описывается уравнением y = f ( x ), то скорость движения − это 
, а ускорение − 
. Ряд задач, встречающихся на практике, описывают движение некой механической системы уравнениями, которые одновременно содержат все эти три характеристики − 
, то есть приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Если способ решения дифференциального уравнения слишком сложен или искомое решение не выражается через элементарные функции в конечном виде, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом (3.52) Тейлора. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Пусть, необходимо решить уравнение второго порядка
4.1. Метод последовательного дифференцирования ДУ. Будем искать решение y=y(x) уравнения (9.20) в виде ряда Тейлора по степеням x – x 0 :
Алгоритм решения следующий:
1) первые два коэффициента ряда 
берем из начальных условий (9.21);
2) третий коэффициент 
находим из самого уравнения (9.20), подставляя в него начальные условия 
;
3) значения последующих коэффициентов 
, … вычисляем последовательным дифференциро-ванием заданного уравнения (9.20) по x и подстановкой в найденную производную всех полученных до этого значений при x = x 0 ;
4) процесс дифференцирования продолжаем вплоть до определения членов ряда, количество которых обычно задается условием задачи;
5) найденные значения производных подставляем в разложение (9.22).
Ряд (9.22) представляет собой искомое частное решение уравнения (9.20) для всех значений переменной x, принадлежащих его области сходимости. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением заданного ДУ.
Примечание . Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений произвольного n -го порядка. В этом случае коэффициенты первых n членов разложения берут из n заданных начальных условий; следующий ( n + 1)-ый коэффициент − из самого уравнения при подстановке в него начальных условий; с ( n + 2)-го члена ряда начинают процесс дифференцирования
Пример 9.13. Методом последовательного дифференцирования найти шесть первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения 
.
Решение . Будем искать решение уравнения в виде степенного рада по степеням x + 1:
По условию y ( – 1)=2 , 
. Находим 
, подставив x = –1 в исходное уравнение 
. Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное по условию уравнение:
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем:
4.2. Метод неопределенных коэффициентов применяется для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида
Приближенное решение уравнения (9.23) возможно лишь в предположении, что коэффициенты 
и свободный член f ( x ) разлагаются в ряды по степеням x – x 0 , сходящиеся в некотором интервале ( x 0 – R ; x 0 + R ). Тогда искомое решение y = y ( x ) ищется в виде степенного ряда
с неопределенными коэффициентами, количество членов которого обычно задано по условию.
Приведем краткий алгоритм решения:
1) первый коэффициент находят из уравнения при первом начальном условии y ( x 0 )= y 0 = c 0
2) дифференцируют ряд (9.25)
3) второй коэффициент находят из (9.26) при втором начальном условии 
, после чего ряд (9.25) принимает вид
4) вычисляют вторую производную 
, дифференцируя ряд (9.26);
5) подставляют найденные 
в исходное уравнение, одновременно коэффициенты и свободный член f ( x ) заменяют их разложениями в степенные ряды;
6) раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной x ;
7) из полученных уравнений находят неизвестные коэффициенты ci и подставляют их найденные значения в искомый ряд (9.25).
Построенный ряд (9.25) сходится в том же интервале ( x 0 – R ; x 0 + R ) и является приближенным решением заданного уравнения (9.23).
Примечание . Для решения линейных ДУ с переменными коэффициентами произвольного n -го порядка их дифференцирую n раз, то есть столько раз, каков порядок заданного уравнения.
Пример 9.14. Найти первые семь членов разложения в ряд приближенного решения дифференциального уравнения 
, используя метод неопределенных коэффициентов.
Решение . Будем искать приближенное решение заданного уравнения в виде степенного ряда по степеням переменной x :
с учетом начальных условий 
Продифференцируем дважды равенство (9.27):
Коэффициенты заданного уравнения p 1 ( x )= – x , p 2 ( x )=1. Разложим его правую часть в степенной ряд:
Подставим производные 
, функцию (9.27) и правую часть (9.28) в исходное уравнение, получим:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной в обеих частях последнего равенства:
Найденные значения коэффициентов подставим в разложен ие искомого решения (9.27):
. Очевидно, что приближенным решением заданного уравнения является функция y = cos x
📺 Видео
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
Дифференциальное уравнение ведет к разложению в ряд Тейлора и сумме ряда?Скачать
Примеры разложения в степенной рядСкачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Приближенное вычисление интеграла с помощью ряда ТейлораСкачать
Математический анализ, 39 урок, Формулы и ряды Тейлора и МаклоренаСкачать
Приближенное вычисление интеграла с помощью ряда Тейлора. 2-ой пример.Скачать
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов -3Скачать
11.1 Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (часть1)Скачать
[Calculus | глава 11] Ряд ТейлораСкачать
![[Calculus | глава 11] Ряд Тейлора](https://i.ytimg.com/vi/HJwxT9icYEk/0.jpg)
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
Математика без Ху!ни. Ряды. Часть 1. Сумма ряда. Сходимость. Геометрическая прогрессия.Скачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
Разложения e^x и sin(x) в ряды Тейлора.Скачать
